数学文化题汇总

一、数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题；
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下
问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”
其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），
米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各
为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出
堆放的米约有（）
（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛
二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题；
13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。

三、数学名著中的算法题，例如：2015年全国2卷文8理8题；
（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=
A.0
B.2
C.4
D.14
四、数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题
2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
五、 杨辉三角，例如：2004年上海春季卷11题；
11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.
六、 祖暅原理，例如：2013年上海卷理13题；
13．在xOy 平面上，将两个半圆弧2
2
(1)1(1)x y x -+=≥和
22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封
闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________
七、 形数，例如：2009年湖北卷文10理10题；
10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
八、 斐波那契数列，例如：2009年福建卷理15题
第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……
15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同 学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为
九、 阿波罗尼斯圆，例如：2014年湖北卷文17题；
17．（5分）（2014•湖北）已知圆O ：x2+y2=1和点A （﹣2，0），若定点B （b ，0）（b ≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB|=λ|MA|，则： （Ⅰ）b= ； （Ⅱ）λ= ．
十、 伯努力不等式，例如：2012年湖北卷理22题；
22.(本小题满分14分)
（1）已知函数()()()=-+1->0r
f x rx x r x ，其中r 为有理数，且0<<1r .求()f x 的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：
设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若12+=1b b ，则12121122+b
b
a a a
b a b ≤；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。

注：当α为正有理数时，有求导公式()
-1'=x x ααα
十一、回文数，例如：2012年湖北卷文13题；
13．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为______；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为______．
十二、数字黑洞，例如：2014年湖北卷理13题；
13．(2014湖北，理13)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a ＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝__ ______.
十三、 角谷猜想，例如：2009年湖北卷理15题
15．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,n
n n n n a a a a a +=+⎧⎪⎨⎪⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。

十四、 四色定理，例如：2003年全国卷理15题；
15．如图，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）
十五、格点问题，例如：2013年湖北卷文17题；
17．在平面直角坐标系中，若点(,)
P x y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L. 例如图中
△ABC是格点三角形，对应的1
L=.
N=，4
S=，0
（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,
S N L分别
是；
（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为
=++，其中a，b，c为常数.
S aN bL c
若某格点多边形对应的71
L=，
N=，18
则S=（用数值作答）.
第17题图
十六、 米勒问题，例如：2005年天津卷理20题
(20)(本小题满分12)
某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC ，塔高BC 80(米)，山高OB 220(米)，OA 200(米)，图中所
示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，2
1
tan =
αt 试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)？
十七、 摆线问题，例如：2011年江西卷理10题；
10．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )
十八、 黄金分割，例如：2009年四川卷文5题
5、设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝
618.02
1
5≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

黄金矩形常应用于工艺品设计中。

下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近
C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
十九、 逻辑推理，例如：2014年全国1卷文14理14题；
（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
二十、 算术-几何平均数，例如：2010年湖北卷理15题；
15．设00a b ＞，＞，称
2ab
a b
为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段 的长度是a ，b 的几何平均数，线段 的长度是a ，b 的调和平均数．。