高一数学《函数的最值》教学设计
高一数学必修1 函数的最值
高一数学必修1 函数的最值【学习导航】知识网络学习要求1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域．自学评价1．函数最值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；2．单调性与最值：设函数()y f x =的定义域为[],a b ，若()y f x =是增函数，则max y =()f a ，min y =()f b ；若()y f x =是减函数，则max y =()f b ，min y =()f a ．【精典X 例】一．根据函数图像写单调区间和最值：例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解】 由图可以知道：当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-；当3x =时，函数取得最大值为3；函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)；该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7)二．求函数最值：例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x=，[]1,3x ∈． 【解】（１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； （２）因为函数1()f x x =在[]1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x=取得最小值为13．听课随笔追踪训练一1.函数2()4(0)f x x mx m =-+>(,0]-∞上的最小值（A ）()A 4 ()B 4-()C 与m 的取值有关 ()D 不存在０ ，最大值是32． 2. 函数()f x =的最小值3.求下列函数的最值：(1)4()1,{1,0,1,2}f x x x =+∈-；(2)()35,[3,6]f x x x =+∈ 析：值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的． 解(1)(1)(1)2f f =-=;(0)1f =;(2)17f = 所以当0x =时，min 1y =；当2x =时max 17y =； (2)函数()35f x x =+是一次函数，30>故()35f x x =+在区间[3,6]所以当3x =时，min 14y =； 当6x =时，max 23y =；【选修延伸】含参数问题的最值：例３:求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈值．【解】22()()f x x a a =--，称轴为x a =的抛物线．[]min ()(0)0f x f ==； ①若0a ≤，则()f x 在[0,4)[]2min ()()f x f a a ==-；②若04a <<，③若4a ≥，则()f x 在[0,4)()f x 的最小值不存在．点评:含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！思维点拔：一、利用单调性写函数的最值？我们可以利用函数的草图，如果函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递增的，在[,]b c 上是单调递减的，则该函数在区间[,]a c 上的最大值一定是在x b =处取得；同理，若函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递减的，在[,]b c 上是单调递增的，则该函数在区间[,]a c 上的最小值一定是在x b =处取得．追踪训练１．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( D)()A 54()B 45()C 43()D 34 2. y=x 2+12-x 的最小值为( C ) A.0B.43C.1D 不存在.3. 函数2()21(0)f x ax ax a =++>在区间[3,2]-上的最大值为4，则a =____38____． 4.函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为5. 5．已知二次函数2()21f x ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，某某数a 的值．解：函数2()21f x ax ax =++的对称轴为1x =-，当0a >时，则当2x =时函数取最大值4，即814a +=即38a =； 当0a <时，则当1a =-时函数取得最大值4，即14a -=，即3a =-所以，38a =或3a =-。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
高一数学必修一 教案 第2课时 函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义最值 条件几何意义最大值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≤M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≥M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最低点的纵坐标思考 函数f (x )＝x 2＋1≥－1总成立，f (x )的最小值是－1吗？ 答案 f (x )的最小值不是－1，因为f (x )取不到－1. 知识点二 求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 预习小测 自我检验1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．答案 －1 22．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．答案 123．函数y ＝2x 2＋2，x ∈R 的最小值是________． 答案 24．函数y ＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．答案 32一、图象法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示，由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 二、利用函数的单调性求最值例2 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )是增函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3x 1－x 2x 1＋2x 2＋2，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3,5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.反思感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练2 已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2,4])，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是[2,4]上任意两个实数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝61－x 2－61－x 11－x 11－x 2＝6x 1－x 21－x 11－x 2，因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0,1－x 1<0,1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2,4]上是增函数，所以f (x )max ＝f (4)＝1，f (x )min ＝f (2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，x ∈N ，0≤x ≤5，11，x ∈N ，x >5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，x ∈N ，0≤x ≤5，8.2－x ，x ∈N ，x >5.(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数最值分类讨论问题典例 已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最小值． 解 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. (2)当t ≤1<t ＋2，即－1<t ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝－4.(3)当1<t ，即t >1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为增函数，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最小值为g (t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1 D ．以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]， 所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值答案 A4．已知函数f (x )＝2x －3，当x ≥1时，恒有f (x )≥m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．∅答案 B解析 因为f (x )＝2x －3在x ∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝－1，故满足f (x )≥－1. 又因为在x ≥1时，f (x )≥m 恒成立， 所以m ≤－1，故m ∈(－∞，－1]． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图象求最值 答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：(1)最值M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案 A解析 选项B ，C 在[1,4]上均为增函数，选项A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A 正确． 2．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，x ∈N ， 公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________． 答案 f (－2) f (6)解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 7．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________． 答案2714解析 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减， 所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.所以y max ＋y min ＝32＋37＝2714.8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0.9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解 (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．11．若函数f (x )＝k x在区间[2,4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．10 B ．10或20 C ．20 D ．无法确定答案 C解析 当k ＝0时，不满足．当k >0时，y ＝f (x )＝k x在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝k4＝5，∴k ＝20满足条件，k <0时，y ＝f (x )＝kx 在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝k2＝5，∴k ＝10，又∵k <0，∴k ＝10舍去， 综上有k ＝20.12．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k8≤5或k8≥20，所以k ≤40或k ≥160.13．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．答案 {m |1≤m ≤2}解析 y ＝f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，利用图象(图略)得1≤m ≤2.14．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．答案 12解析 令t ＝2x －1，t ≥0，∴x ＝t 2＋12， ∴y ＝t 2＋12＋t ＝12(t 2＋2t ＋1)＝12(t ＋1)2， ∵t ≥0，∴当t ＝0时，y min ＝12.15．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，则F (x )的最值情况是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析 由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3， 所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，0≤x ≤3，x ，x <0或x >3.作出函数F (x )的图象(图略)，可得F (x )无最大值，无最小值．16．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．(1)证明 设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)解 由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
【秋季课程人教版高一数学】函数的最值问题-教案
适用学科 高中数学适用年级高一适用区域 人教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点 教学目标单调性的应用，最值问题 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，是函数单调性的应用． 通过渗透数形结合的思想方法，掌握求函数最值的方法．教学重点 函数最大(小)值的定义和求法．教学难点 如何求一个具体函数的最值．【教学建议】 函数的最大（小）值的定义，是借助于二次函数及其图像引出的，概念的出现仍然是遵循特殊到一般的原则.鉴于学生对于二次函数已经有了一个初步的了解，因此本节课多从学 生接触过的二次函数入手，这样能使学生容易找到最高点和最低点.但这只是感性上的认识， 要培养学生能用数学语言描述函数最值的概念，通过对概念的辨析，真正让学生理解最值概 念的内涵，同时，在做题时多培养学生画图的能力，体会到数形结合的魅力.【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：(1)由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日， 请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况． 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬，平 均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图 是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图．问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天最高温度、最低温度是多少以及何时达到；(2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低． 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是 很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 设计意图：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．从而引入 最大值、最小值的概念．二、知识讲解【教学建议】通过前面的引导，得到函数最值的定义，建议老师在引导学生得到最大值的定 义以后，可以让学生来类比写出最小值的定义：前提设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足①对于任意 x I ，都有 f (x) M ； ①对于任意 x I ，都有 f (x) M ；条件②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M结论M 为最大值M 为最小值考点 2 函数的最大值函数图象上任意点 P 的坐标 (x, y) 的意义：横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是自变 量为 x 时对应的函数值的大小．(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(2)由于点 C x0, y0 是函数 y f (x) 图象上的最高点，则点 A 在点 C 的下方，即对定义域内任意 x ，都有 y y0 ，即 f (x) f (x0 ) ，也就是对函数 y f (x) 的定义域内任意 x ， 均有 f (x) f (x0 ) 成立．(3)一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．大．值．．． (4) f (x) M 反映了函数 y f (x) 的所有函数值不大于实数 M ；这个函数的特征是 图象有最高点，并且最高点的纵坐标是 M . (5)函数 y 2x 1，x (1, ) 没有最大值，因为函数 y 2x 1，x (1, ) 的图象没有最高点． (6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．考点 3 函数的最小值(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．小．值．。
3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)教学设计 - 高一数学 人教A版2019 必修第一册
《3.2.1单调性与最大（小）值》教学设计第2课时函数的最值教材内容：函数的最大、最小值与函数的单调性有着密切的关系。
通常要想求出函数的最大、最小值，首先要求出函数的单调性。
本节课是对函数的单调性内容的进一步深化，也是对值域这一函数性质的进一步学习。
同时，本节课所展现出的极限的数学思想对于接下来学习幂函数、函数的实际应用也有着不可替代的作用。
教学目标：1.理解函数的最大(最小)值及几何意义，培养学生数学抽象的核心素养；2.利用图象、单调性求最值，提升直观想象和数学运算的核心素养；3.会利用单调性解决比较大小、解不等式等问题，提升逻辑推理的核心素养。
教学重点与难点：1.重点：函数最值的定义；函数最值的求法。
2.难点：单调性求最值；讨论二次函数的最值问题．教学过程设计：（一）新知导入1. 创设情境，生成问题科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？【提示】气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。
2.探索交流，解决问题【探究1】观察下列两个函数的图象,回答有关问题:【问题1】比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?【提示】图①中函数y=−x2的图象上有一个最高点;图②中函数y=-x的图象上没有最高点.【问题2】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R,都有f(x)≤f(0)，f(0)是最大值。
【探究2】观察下列两个函数的图象,回答有关问题.【问题3】比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?【提示】图①中函数y=x2的图象有一个最低点.图②中函数y=x的图象没有最低点.【问题4】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R都有f(x)≥f(0)，f(0)是最小值。
【设计意图】通过探究，引导学生直观感受函数的最大值是函数图象的最高点纵坐标，最小值是函数图象最低点的纵坐标，并尝试用数学语言表示函数的最值，提高学生用数形结合的思维方式思考并解决问题的能力。
高一数学函数教案
高一数学函数教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学函数的单调性与最值教案
高一数学——函数第三讲函数的单调性与最大（小）值【教学目标】：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性；（4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。
【重点难点】：1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，2.难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。
【教学过程】：用具：一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：y y yy（1）随x的增大，y的值有什么变化？1 1 1（2）能否看出函数的最大、最小值？1-1 -11 x 1 x -1 1 x（3）函数图象是否具有某种对称性？-1 -1 -12、画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x -1 1 x -1y○从左至右图象上升还是下降______?1○在区间____________上，随着x的增2大，f(x)的值随着________．（2）f(x) =-2x+1 1○从左至右图象上升还是下降______?1-1 11 x x○在区间____________上，随着x的增2-1 大，f(x)的值随着________．（3）f(x) = x2 y○在区间____________上，f(x)的值随1着x的增大而________． 1○在区间____________上，f(x)的值随2 -1着x的增大而________．-1二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x ，x，当x <x时，都有f(x )<f(x )，1 2 1 2 1 2 那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increas ing func t i on）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性 ○1 是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
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1.3.1．2函数的最值
【内容与解析】
本节课要学的内容有函数的最值指的是函数值的最大值和最小值，理解它关键就是把握好最值的定义。
学生已经学过了函数的相关知识，本节课的内容函数的最值就是在此基础上的发展的。
由于它还与函数的单调性、值域等内容有必要的联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。
教学的重点是最值的定义，所以解决重点的关键是通过大量实例，归纳出最值的定义。
【教学目标与解析】
1．教学目标
（1）理解函数最值的含义及其几何意义；
（2）初步掌握用定义及函数的单调性求最值的方法；
2．目标解析
（1）理解函数最值的含义及其几何意义指的是能叙述函数最大值、最小值的概念，理解函数的最大值与图像最高点纵坐标的对应，最小值与图像最低点纵坐标的对应；
（2）初步掌握用定义求最值的方法指的是能够利用定义证明或者求解一些简单函数的最值；【问题诊断分析】
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是最值的定义难以归纳出来，产生这一问题的原因是：最值中的“最”不是“大于其它”或者“小于其它”，而是“不小于”与“不大于”。
要解决这一问题，就要在教学中通过具体函数的图像，让学生去说，其中关键是选例精当，引导到位。
【教学过程】
问题1：我们已经学习过函数的图像，并利用图像研究了函数的单调性，下面，请看几张幻灯片：
1.1 这些函数图像是否具备单调性？
1.2 请观察图像的特殊点，你有什么发现？
1.3 对于最高点和最低点，你有什么发现？
设计意图：通过以上问题，让学生通过函数图像，对最值有一个直观的认识。
问题2：图像仅仅是函数的表示法之一，对于一般的函数，不一定用图像来表达，那么，相应于刚才我们研究的结论，如何将其一般化？
2.1 图像的最高点、最低点可能有很多，对应到一般的函数，就对到什么？
2.2 图像的最高点、最低点也可能很多，也可能没有，在叙述中要注意什么？
2.3 最高点或最低点对应的函数值应在值域中，这点如何表达？
2.4 如果我们把最高点的纵坐标叫做相应函数的最大值，请你说出最大值的含义。
2.5 仿照最大值的含义，你能说出最小值的含义吗？
设计意图：通过这些问题，让学生理解最值的含义的发生、发展过程，并且自主归纳出函数最值的含义，实现有特殊到一般，由具体形象到一般概念的转化。
问题3：判断下列函数的最值，并说明理由：
（1），]3,1[,1)(∈+=x x x f
（2），)3,1(,1)(∈+=x x x f
（3），]4,2[,2)(2
∈-=x x x x f 设计意图：通过这些问题，让学生理解用定义的方法来处理最值问题，需要先对最值有一个判断，可能是猜测的，可能是有图像的最高点、最低点获得直观感受的，但，要对问题做出完整的解答，最终是必须要依据定义的；同时，通过这些问题，让学生进一步明确函数最值可能存在可能不存在，可能存在多个最值，最大值和最小值也有可能相等.
【课堂目标检测】
1，已知函数]3,1[,4)(∈+=x x
x x f （1） 判断上的单调性和在]3,2[]2,1[)(x f
（2） 根据的最值的单调性写出)()(x f x f
设计意图：通过这些问题，让学生理解利用函数的单调性来求函数的最值的一般方法，并复习前面学习过的函数的单调性。
【课堂小结】
1、最大值和最小值的含义；
2、利用定义来说明函数的最小值；
3、利用函数的单调性来求函数的最值。