动态规划0-1背包和资源分配
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
0-1背包问题的多种解法
问题描述0/1 背包问题 :现有 n 种物品，对 1<=i<=n ，已知第 i 种物品的重量为正整数 W i ，价值为正整数 V i ， 背包能承受的最大载重量为正整数 W ，现要求找出这 n 种物品的一个子集，使得子集中物 品的总重量不超过 W 且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取， 不允许只取一部分)算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i W i 1 i i(1)x i { 0,1}( 1 i n)nmax v i x i (2) i1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1 )，并使目标函数式( 2 )达到最大的 解向量 X (x 1, x 2 ,x 3, ........... , x n ) 。
首先说明一下 0-1 背包问题拥有最优解。
假设 (x 1,x 2,x 3, ........ ,x n ) 是所给的问题的一个最优解， 则(x 2,x 3, ............... ,x n )是下面问题的n n n个问 题 的 一 个 最 优解 ， 则v i y iv i x i ， 且 w 1x 1w i y i W 。
因此 ，i 2 i 2 i 2一个最优解：w i x i Wi2w 1x 1nmax v i x i 。
如果不是的话，设(y 2,y 3, , y n ) 是这x i {0,1}( 2 i n)i2n n nv1x1 v i y i v1x1 v i x i v i x i ，这说明(x1,y2,y3, ............. ,y n) 是所给的0-1 背包问i 2 i 2 i 1题比( x1 , x 2 , x3 , ... , x n ) 更优的解，从而与假设矛盾。
穷举法：用穷举法解决0-1 背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集) ，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
0-1背包问题课程设计
0-1背包问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生理解0-1背包问题的定义，掌握其数学模型及相关概念。
2. 学生掌握0-1背包问题的动态规划解法，并能够运用此方法解决相关问题。
3. 学生了解0-1背包问题在实际生活中的应用，如资源分配、行程规划等。
技能目标：1. 学生能够运用数学语言描述0-1背包问题，并建立相应的数学模型。
2. 学生通过编程实践，掌握动态规划算法在0-1背包问题中的应用。
3. 学生具备分析问题、提出解决方案并优化方案的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对问题时的积极态度，激发学生解决问题的兴趣和热情。
2. 增强学生团队合作意识，培养沟通协调能力。
3. 使学生认识到数学建模在解决实际问题中的重要性，提高学生的应用意识。
课程性质：本课程为高中数学选修课程，结合计算机科学领域的内容，旨在培养学生的跨学科素养。
学生特点：高中生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对实际问题有一定的探索欲望。
教学要求：教师需引导学生从实际问题出发，通过数学建模、算法设计等环节，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
在教学过程中，注重理论与实践相结合，关注学生的个性发展。
通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，并在实际操作中展示具体的学习成果。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 0-1背包问题基本概念与数学模型：介绍0-1背包问题的定义、特性以及与实际生活的联系。
结合教材相关章节，让学生掌握数学建模的基本方法。
2. 动态规划原理：讲解动态规划的基本思想、原理及其在0-1背包问题中的应用。
引导学生通过实例分析，理解动态规划的优势。
3. 编程实现：结合教材内容，教授学生如何使用编程语言（如Python）实现0-1背包问题的动态规划解法。
要求学生掌握编程技巧，能够独立完成代码编写。
4. 算法优化与拓展：探讨0-1背包问题的变种及优化方法，如贪心算法、回溯算法等。
指导学生分析各种算法的优缺点，培养学生的算法优化意识。
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。
将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。
背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。
一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。
此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。
二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。
假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。
当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。
根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中,可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。
若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。
(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
背包问题：0-1背包、完全背包和多重背包
背包问题：0-1背包、完全背包和多重背包背包问题泛指以下这⼀种问题：给定⼀组有固定价值和固定重量的物品，以及⼀个已知最⼤承重量的背包，求在不超过背包最⼤承重量的前提下，能放进背包⾥⾯的物品的最⼤总价值。
这⼀类问题是典型的使⽤动态规划解决的问题，我们可以把背包问题分成3种不同的⼦问题：0-1背包问题、完全背包和多重背包问题。
下⾯对这三种问题分别进⾏讨论。
1.0-1背包问题0-1背包问题是指每⼀种物品都只有⼀件，可以选择放或者不放。
现在假设有n件物品，背包承重为m。
对于这种问题，我们可以采⽤⼀个⼆维数组去解决：f[i][j]，其中i代表加⼊背包的是前i件物品，j表⽰背包的承重，f[i][j]表⽰当前状态下能放进背包⾥⾯的物品的最⼤总价值。
那么，f[n][m]就是我们的最终结果了。
采⽤动态规划，必须要知道初始状态和状态转移⽅程。
初始状态很容易就能知道，那么状态转移⽅程如何求呢？对于⼀件物品，我们有放进或者不放进背包两种选择：（1）假如我们放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，这⾥的f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]应该这么理解：在没放这件物品之前的状态值加上要放进去这件物品的价值。
⽽对于f[i - 1][j - weight[i]]这部分，i - 1很容易理解，关键是 j - weight[i]这⾥，我们要明⽩：要把这件物品放进背包，就得在背包⾥⾯预留这⼀部分空间。
（2）假如我们不放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j]，这个很容易理解。
因此，我们的状态转移⽅程就是：f[i][j] = max(f[i][j] = f[i - 1][j] , f[i - 1][j - weight[i]] + value[i])当然，还有⼀种特殊的情况，就是背包放不下当前这⼀件物品，这种情况下f[i][j] = f[i - 1][j]。
动态规划求解01背包问题
动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。
如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。
动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。
思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
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0-1背包问题实例详解
有5个物品，其重量分别是{2,2,6,5,4}，价值分别为{6,3,5,4,6}， 背包的容量为10.
0-1背包问题判断下一个物品是放还是不放；不放时： M ( i , v )= M ( i-1 , C ) ；放时：M ( i , v ) = max{M ( i-1 , C ) , M ( i-1 , C – W(i) + V(i)}
04
结果讨论
结果讨论
动态规划优缺点
1、由于约束条件确定的约束集 合往往很复杂，即使指标函数较 简单，也很难求出全局解，而动 态规划可以把全过程化为一系列 结构显示的子问题，变量大大减 少，约束集合变简单，易于得到 全局最优解。 2、实际问题往往是动态的，而 动态规划方法反映了过程逐段演 变的前后联系和动态特征，在计 算中可以利用实际知识和经验提 高求解效率。
1、动态规划没有同意的模型， 也没有构造模型的通用方法，甚 至还没有判断一个问题能否构造 动态规划模型的准则，因此只能 凭借经验具体分析，这也带来了 应用上的局限性。 2、用数值方法求解时，对于状 态变量取值的n维问题，对每个 状态都要计算，就存在维数灾问 题，动态规划对于这一类问题是 无效的
结果讨论
0-1背包问题基本思路
0-1 背包问题，特点就是：每种物品仅有一件，可 以选择放或者是不放，其状态转移方程就是： M ( i , v ) = max{第i件物品不放入背包,第i件物品放 入背包} M ( i , v ) = max{M ( i-1 , C ) , M ( i-1 , C – W(i) + V(i)} 用子问题定义状态：即M ( i , v )表示前i件物品恰好 放入一个容量为C的背包可以获得的最大价值。 M ( i , v ) = max{(不放入物品i)将前i-1件物品放入容 量为 C的背包中的最大价值， ( 放入物品i) 将前 i-1件 物品放入容量为C-W(i)的背包中的最大价值+V(i)}
动态规划的应用
动态规划问世以来，在经济 管理、生产调度、工程技术和 最优控制等方面得到了广泛的 应用。例如最短路线、库存管 理、资源分配、设备更新、排 序、装载等问题。
01
动态规划最优化原理
02
作为整个过程最优策略具有这样 的性质：无论过去的状态和决策 如何，对前面的决策所形成的的 状态而言，余下的决策必须构成 最优策略
动态规划的基本组成
（4）策略：一个由每个阶段的决策所组成的集合称为策略，用P 表示，即 P(s1)={u1(s1),u2(s2),……,un(sn)}一个 n阶段决策过程，从 1 到 n 叫作问题的原过程．对于任意给定的 k(1≤k≤n) ，从第 k 阶段 状 态 sk 到 第 n 阶 段 状 态 sn 的 过 程 称 为 原 过 程 的 一 个 后 部 子 过 程．后部子过程的策略记为 pk(sk)={uk(sk),uk+1(sk+1),......,un(sn)} ， 在实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，此范围成为允许 策略集合。允许策略集合中达到最优效果的策略成为最优策略. (5) 状态转移：动态规划中本阶段往往是上一阶段状态和上一阶 段的决策进行综合的结果．如果给定了第 k段的状态 sk，且该阶 段决策为uk(sk)，则第k+1段的状态sk+1也就完全确定．它们的关 系可表示为：sk+1=Tk(sk,uk) 由于上式表示了由k阶段到k+1阶段的状态转移规律，所以称该式 为状态转移方程
二、动态规划的设计思想
动态规划法将求解问题分解成若干个相互重 叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一 个阶段。一般来说，子问题的重叠关系表现 在对给定问题求解的递推关系（也就是动态 规划函数）中，将子问题的解求解一次并填 入表中，当需要再次求解此子问题时，就可 以通过查表获得该子问题的解而不用再次求 解，从而避免了大量重复计算。为了达到这 个目的，可以用一个表来记录所有已解决的 子问题的解，这就是动态规法的设计思想。 具体的动态规划法是多种多样的，但是他们 具有相同的填表形式。
动态规划
张起 控制工程
动态规划
动态规划的基本概念 动态规划原理值0-1背包问题 发电厂设备分配问题 结果讨论
01
动态规划的基本概念
一、什么是动态规划？
动态规划是运筹学的重要分支之一，是解 决多阶段决策过程最优化的一种方法。 对于一个多阶段决策过程，可以根据问题 的特点，把整个过程分为几个相互联系的 阶段，各个阶段采取的决策，一般来说是 与时间有关的，决策依赖于当前状态，又 随即引起状态的变化，故有“动态”的含 义，称这种解决多阶段决策最优化问题的 方法为动态规划方法。
02
动态规划原理之0-1背包问题
0-1背包问题
问题描述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi， 背包的容量为c。请问如何选择装入背包中的物品，使 得装入背包中物品的总价值最大？
对于0-1背包问题，每种物品i都只有一件，可以选 择装入或者是不装入背包。不能将物品i装入背包 多次，也不能只装入部分。
（2）状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态，描述各阶段的 变量叫做状态变量，常用Sk表示第k阶段的状态变量，状态变量 Sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。 （3）决策：当各段的状态确定以后，就可以做出不同的选择， 从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策，表示决策的变 量叫做决策变量，常用Uk表示第k阶段状态为Sk时的决策变量。 在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，称此 范围为允许决策集合，常用 Dk(Sk) 表示第 k 阶段从状态 sk 出发的 允许决策集合，显然有“Uk∈Dk(Sk)．
二、动态规划的实质——记忆化搜索
最优化子结构性质：若问题的最优解所包含 的子问题的解也是最优的，则称该问题具有 最优子结构的性质（即满足最优化原理） 能用动态规划解决的求最优解问题，必须满 足最优解的每个局部也都是最优的
子问题重叠性质：在用递归算法对问题进行 求解时，每次产生的子问题并不总是新问题， 有些子问题可能被重复计算多次，动态规划 算法利用此性质，对每个子问题只计算一次， 然后将其结果保存起来以便高效利用。
动态规划的基本组成
（6）指标函数 用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数．一个n阶段 决策过程，从 1 到 n 叫作问题的原过程．对于任意一个给定的 k(1≤k≤n)，从第k阶段到第n阶段的过程称为原过程的一个后部子 过程。 V1,n(s1,p1,n) 表示初始状态为 s1 采用策略 p1,n 时原过程的 指标函数值。而Vk,n(sk,pk,n)表示在第k阶段，状态为sk采用策略 pk,n 时后部子过程的指标函数值．最优指标函数记为 fk(sk) ，它 表示从第 k 阶段状态 sk 采用最优策略 pk,n 到过程终止时的最佳效 益值．fk(sk)与Vk,n(sk,pk,n)间的关系为： fk(sk)=Vk,n(sk,pk,n)=optimize Vk,n(sk,pk,n) 当 k=1 时， f1(s1) 就是从初始状态 s1 到全过程结束的整体最优函 数．
发电机组分配问题
问题描述：现有5套发电机组分配给甲乙丙三个发电厂， 各个发电厂利润与发电机组数量之间的关系如下表所示， 请问如何分配可使3个发电厂的总利润最大化？ 建立动态规划的数学模型 1、阶段K：按发电厂划分阶段，k=1,2,3（分别代表甲乙 丙发电厂） 2、状态变量Sk：表示可用于分配给第k个发电厂的发电机 组的数量 3、决策变量Uk：表示分配给第k阶段（发电厂）的发电 机组数量 4、状态转移Tk：Sk+1=Sk-Uk 5、阶段指标Vk：第k阶段的指标函数，表示分配给第k个 发电厂Uk台设备所获的利益
发电机组分配问题
综上可知，基本方程为
同时可知： s1={5} s2={0,1,2,3,4,5} s3={0,1,2,3,4,5}
发电机组分配问题
发电机组分配问题
发电机组分配问题
MATLAB实现结果
第一阶段，Sk=5，Uk=2，Vk=7 第二阶段，Sk=3，Uk=2，Vk=10 第三阶段，Sk=1，Uk=1，Vk=4 Vk（max）=7+10+4=21
03
动态规划在电网上的应用
电力项目投资、发电机组负荷优 化以提高经济性、供电系统无功 优化、配电网电压无功控制、配 电网开关优化配置等方面有着广 泛的应用
0-1背包问题MATLAB实现结果
03
动态规划应用之资源分配问题
发电机组分配问题
问题描述：现有5套发电机组分配给甲乙丙三个发电厂， 各个发电厂利润与发电机组数量之间的关系如下表所示， 请问如何分配可使3个发电厂的总利润最大化？
动态规划的基本组成
（1）阶段：将所给问题的过程，按照时间或空间特征分解成若 干相互联系的阶段，以便于按次序求解最有阶段的解，每个阶 段就是一个子问题，常用字母K表示阶段变量