对数
对数公式
推导公式
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b) loga(b)logb(a)=1 loge(x)=ln(x) lg(x)=log10(x)
求导数
(xlogax)'=logax+1/lna 其中，logax中的a为底数，x为真数； (logax)'=1/xlna 特殊的即a=e时有 (logex)'=(lnx)'=1/x
运算法则
① ② ③ ④ (M,N∈R+) 如果，则m为数a的自然对数，即，e=2.…为自然对数 的底，其为无限不循环小数。定义：若则 基本性质： 1、 2、 3、
换底公式
换底公式推导一： 设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn) ① 对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m ② 对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn ③ ③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a) 推导二： 注：log(a)(b)表示以a为底b的对数。 换底公式拓展： 以e为底数和以a为底数的公式代换： logae=1/（lna）
性质
基本知识
恒等式及证 明
①； ②； ③负数与零无对数. ④ =1； ⑤；
对数公式运算的理解与推导by寻韵天下(8张)a^log(a)(N)=N (a>0，a≠1）推导：log(a) (a^N)=N恒等式 证明
在a>0且a≠1，N>0时 设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R) 则有a^t=N; a^(log(a)(N))=a^t=N; 证明完毕
对数公式
数学中的一种常见公式
对数总结知识点
对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
对数的概念
2 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
【解析】选C.由log64x=
2 3
得，x=
2
64 3
1
，所以①错误；由logx8=6得，
16
x6=8，所以x2=2且x>0，
所以x= 2 ，所以②正确； 由log10100=x得，10x=100.所以x=2，所以③错误； 由-ln e2=x得，x=-2，所以④正确；
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编) 若10m= 3 ，则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ，则m=lg 3 . 答案：lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案：0
D.2 2
【思路导引】1.先利用指数运算性质拆分，再利用对数恒等式求值. 2.利用指数对数互化表示出x，再代入利用对数恒等式求值.
【解析】1.选A. 21log2 2 21 2log2 2 1 2 2 .
2
2
2.由x=log43，
则2·4x+4-x=2· 4log43 4－log43 =2×3+ 答案：19
3
1 ＝6 1 19．
4log4 3
33
【解题策略】关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形，变形为 alogab 的形式，再利用对数恒等式计算 求值.
【跟踪训练】
(2020·绍兴高一检测)若a=log23，则2a+2-a=_______.
数学 对数
数学对数
对数（Logarithm）是指某个数a，经过换底公式后，与另一个正数b
之积相等的指数p的值（p也称为以a为底b的对数，即loga b=p）。
即。
b=a^p。
对于任意的正整数a和b，a^(loga b) = b。
其中a称为底数，b称
为真数，loga b称为对数，p称为指数。
对数的性质包括：
1.对数具有唯一性，即两个不同的数不可能有相同的对数。
2.对数的值域为实数。
3.相同底数的对数可以用乘法法则和幂法则计算。
4.不同底数的对数可以用换底公式进行转换。
5.对数的基本运算有加减乘除四则运算法则。
常用的对数包括：
1.自然对数（以e为底的对数）：loge x（通常表示为ln x）。
2.常用对数（以10为底的对数）：log10 x（通常不写底数，直接表
示为log x）。
3.二进制对数（以2为底的对数）：log2 x。
对数在数学中有广泛的应用，如在指数函数中、在计算质数等方面。
数学对数知识点总结
数学对数知识点总结一、对数的定义对数是指数的逆运算。
设a是一个正数且不等于1，b是一个正数，则称指数y是对数a 的b的（用符号表示为y=logab），当且仅当a^y=b。
其中，a称为对数的底数，b称为真数。
对数的定义是由指数的概念推广而来的。
指数运算是将一个数乘以自身多次，而对数运算则是找到一个数是底数的多少次方。
对数的定义可以推广到任意的底数，不仅仅限于正数，也可以是复数、矩阵等。
在实际应用中，我们通常使用对数的底数为10（常用对数）或者自然对数（底数为自然常数e）。
二、对数的性质1. 对数的基本性质对数有一系列基本性质：（1）对数的底数不等于1；（2）对数的底数不能为0或者负数；（3）对数的真数必须是正数。
2. 对数的运算性质在对数运算中，有一系列运算性质：（1）对数与幂的运算法则：loga(mn)=logam+log an；对数与商的运算法则：loga(m/n)=logam−logan。
（2）换底公式：logab=logcb/logca。
（3）对数的负数和零：loga(1)=0，loga(a)=1，loga(1/a)=-1。
（4）对数的乘方法则：logaax=x。
3. 对数函数的性质对数函数是一个重要的函数类型，它有一系列的性质：（1）对数函数的图像是一条直线，斜率为1，截距为0。
（2）对数函数是单调增函数，即x1<x2时，logax1<logax2。
4. 对数的极限性质对数函数在极限计算中有一些特殊性质：（1）lim(x→+∞) logax=+∞。
（2）lim(x→0+) logax=−∞。
5. 对数的导数性质对数函数的导数性质是：（1）(logax)′=1/(xlna)。
三、对数的应用对数在数学和其他学科的应用中有着广泛的应用。
以下是对数的一些典型应用：1. 计算问题对数在计算中有很多应用。
例如在计算机科学中，对数是一种常用的数据结构。
对数的运算性质可以帮助我们在计算中简化复杂的问题，提高计算的效率。
对数的概念(高中数学)
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
22
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________． 3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.] 2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值． [解] ∵x＝10，∴x－12＝10－12＝ 1100.
31
(2)由log2x＝－23，可得x＝2－23，
∴x＝1223＝ 3 14＝322. (3)由x＝log2719，可得27x＝19， ∴33x＝3－2，∴x＝－23. (4)由x＝log1216，可得12x＝16， ∴2－x＝24，∴x＝－4.
a>0， a≠1， 解得0<a<5且a≠1，故选B.]
4．ln 1＝________，lg 10＝ ________.
10
0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝ 0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
11
合作探究 提素养
12
指数式与对数式的互化 【例 1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5； (3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
5
10 e
6
思考：为什么零和负数没有对数？ 提示：由对数的定义：ax＝N(a>0 且 a≠1)，则总有 N>0，所以转化为 对数式 x＝logaN 时，不存在 N≤0 的情况．
7
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故 1．若 a2＝M(a>0 且 a≠1)，则有 选B.] () A．log2M＝a B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M
2．若 log3x＝3，则 x＝( ) A．1 B．3 C．9 D．27
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数的所有公式
对数的所有公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：对数是数学中的一个重要概念，常常出现在各种数学问题中。
它是指某个数（底数）以什么次方等于另一个数（真数）。
对数在数学中有许多重要的应用，尤其在解决指数增长问题和测定数据变动幅度等方面起到重要的作用。
以下是一些关于对数的所有公式。
1.对数的定义：设a和b是正数，且a≠1，b>0，则称b是以a为底数的对数。
a 称为对数的底数，b称为真数。
用符号表示为loga b。
（1）对数的底数不等于1，底数大于1时对数为正数，底数小于1时对数为负数。
（2）loga(mn) = loga m + loga n3.常见对数公式：（1）以10为底数的对数是常用的对数，称为常用对数，表示为lg b。
（2）以e为底的对数称为自然对数，表示为ln b。
其中e≈2.71828。
（3）若a>0且a≠1，则有loga a = 1（5）loga a^k = k4.对数函数的性质：对数函数也是一种常见的数学函数，具有以下性质：（1）对数函数y = loga x的图像位于第一象限，且必过点(1,0)（2）对数函数的图像在a>1时递增，在0<a<1时递减（3）对数函数的反函数是指数函数，其图像为y = a^x对数在数学和科学中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：（1）解决指数增长问题：当一个指数增长问题中自变量是指数时，我们通常会使用对数函数来解决问题，以便更清晰地理解问题背后的增长规律。
（2）数据变动幅度测定：对数也常用于数据的变动幅度测定，例如在生态学中对种群数量的变动进行分析，以及在金融学中对资金的增长进行评估等。
对数作为数学中的一个重要概念，不仅在学术领域具有重要意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用价值。
熟练掌握对数的概念和运用对数的公式可以帮助我们更清晰地理解数学和科学中的各种问题，并为我们的计算和分析提供便利。
希望通过学习对数的相关知识，我们能够更好地解决实际问题，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
对数
1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am·an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5 73.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（舍去）.∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20·12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧 8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y log33x=log34y x=ylog34 2x=2ylog34=ylog316,∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0 380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1 308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0 380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0 380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠ ，M ｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12 设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25. ∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝ ｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠ 且M ｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0.16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x·lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.对数的运算法则及变式法则答：若a^b=C,(a>0,a≠1),则b=log(a)C.把b=log(a)C代回去，便得a^log(a)C=C.（此式很有用）log(a)MN=log(a)M+log(a)Nlog(a)(M/N)=log(a)M-log(a)Nlog(a)(M^n)=nlog(a)Mlog(a)M=log(b)M/log(b)a.(换底公式）log(a^n)(M^n)=log(a)M此式由换底公式演化而来：log(a^n)(M^n)=log(a)(M^n)/log(a)(a^n)=nlog(a)M/nlog(a)a=log(a)M.例如：log(8)27=log(2³)3³=log(2)3再如：log(√2)√5=log(2)5.这些公式度可倒过来用。
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对数是由苏格兰数学家纳皮尔发明的，纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没有指数概念的情况下发明了对数，并于1614年在《奇妙对数定律说明书》中，介绍了他的方法和研究成果.
18世纪的欧拉深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源出于指数”。
在纳皮尔的著作发表40年后，对数传入我国，logarithm一词被译成“比例数”，后又逐步演变成“对数”，意指“对（照）表中的数”，清代数学家戴照等，经过独立的刻苦研究，也取得了很多成就。
现在通用的“常用对数”，是与纳皮尔同时期的英国数学家布里格斯引入的，并于1617年出版了常用对数表.1622年，英国数学家斯皮德尔给出了以e为底的自然对数表.
恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”
由此可见，对数的发明对于人们研究科学和了解自然起了重大作用.。