不定方程选讲

不定方程选讲
一、一次不定方程（组）
1．求不定方程x +y +z =2007正整数解的个数。

2．求不定方程2x +3y +5z =15的正整数解。

3．解不定方程11x +15y =7。

4．解不定方程50x +45y +36z =10。

5．解不定方程组⎩⎨⎧5x +7y+2z ＝24，
3x －y －4z ＝4．
6．解不定方程6x +15y +21z +9w =30。

7．求有多少个正整数对(m ,n )，使得7m +3n =102004，且m ︱n 。

(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法
8．求满足方程2x 2+5y 2=11(xy －11)的正整数数组(x ，y )。

9．解不定方程14x 2－24xy +21y 2+4x －12y －18=0。

10．解不定方程3x 2+5y 2=345。

11．解不定方程x 2－5xy +6y 2－3x +5y －11=0。

12．求方程xy －2x +y =4的整数解。

13求能使等式3m + 5
n =1成立的所有正整数m ，n 。

14．求方程2xy －2x 2+3x －5y +11=0的整数解。

15．求方程3xy +y 2－6x －2y =2的整数解。

16．求方程x 2+y = x 2y －1000的正整数解。

17．求所有的整数对(x ，y )，使得x 3 = y 3+2y 2 +1。

18．求方程x 2+y 2= z 2中0＜z ＜10的所有互质的解。

三、证明不定方程无解
19．求证方程x 2+y 2= 2007没有整数解。

20．试证：不定方程x 2－3y n =－1 (n 是正整数)没有正整数解。

21．求证方程x 2－3y 2=17没有整数解。

22．求证方程x 2－2xy 2+5z +3=0没有整数解。

23．证明方程x 14+x 24+x 34+……+x 144=2015无整数解。

24．求证方程x 2+y 2=1992没有整数解。

25．证明方程x 2+y 2－19xy －19=0无正整数解。

四、其他不定方程的解
26．求下面方程组的正整数解：⎩⎨⎧6x －y －z ＝18，
x 2+y 2+z 2＝1987．
27求使(a 3+b )(a+b 3)= (a+b )4成立的所有整数对(a,b )。

(04年澳大利亚数学奥林匹克) 28．解不定方程xyz +xy +yz +zx +x +y +z =2008。

29．解不定方程5x 2+2y 2=98。

30．求不定方程4xyz =5(xy +yz +zx )的正整数解。

31．解不定方程y 2+y =x 4+x 3+x 2+x 。

32．求方程 2x ·3y －5z ·7w = 1 的所有非负整数解(x ，y ，z ，w )。

(05年中国数学奥林匹克) 练习：
1．不定方程7x －15y =31的解为 。

2．不定方程组⎩⎨
⎧=+-=++.
452,1032z y x z y x 的解为 。

3．不定方程5x －14y =11的正整数解为 。

4．不定方程4x 2－4xy －3y 2=21的正整数解为 。

5．方程x 2－dy 2=1，d =－1时的非负整数解为 。

6．不定方程x 2－18xy +35=0的正整数解为 。

7．取1分、2分、5分的纸币共10张，付给1角8分钱，问有几种不同的取法？ 8．求x 2+y 2= z 2中0<z <60的所有互质的解。

9．求不定方程组⎩⎨⎧x +y +z ＝0，x 3+y 3+z 3＝－18
的整数解。

10．求不定方程5x －3y =2的正整数解。

11．证明：不定方程x 2+y 2+z 2+3(x +y +z )+5=0没有有理数解。

12．求不定方程1
2
(x +y )(y +z ) (z +x )+(x +y +z )3=1－xyz 的所有整数解。

练习答案
1．⎩⎨⎧+-=+=.731,1563t y t x 2．⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=--=.
23,3,
85t z t y t x (t 为整数)。

3．)0(.51,145≥⎩⎨⎧+=+=t t t y t x 为整数，且。

4．由4x 2
－4xy －3y 2
=21得：(2x +y )(2x －3y )=21，故解为：⎩⎨⎧==,5,8y x ⎩
⎨
⎧==.1,
3y x 5．x =0，y =1和x =1，y =0。

6．由x 2－18xy +35=0得：18y =35
x +x ，x 是35的约数，得⎩
⎨⎧==⎩
⎨⎧==.
2,35,2,1y x y x 。

7．解：设1分、2分、5分的纸币分别有x 张，y 张，z 张，得：⎩⎨
⎧=++=++.
1852,
10z y x z y x
消去z 得：4x +3y =32。

因为x ，y ，z 是非负整数，所以不同的取法有：⎪⎩
⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===.0,8,2;1,4,5;2,0,8z y x z y x z y x 8．解： a 2+b 2＜60，a ＞b ＞0，得a ≤7。

又因为a ，b 一奇一偶，求出a ，b 的值即得所有解。

所有互质的解列表如下：
9．解：由原方程组中x +y +z =0得z =－(x +y )，代入x 3+y 3+z 3=－18得:xy (x +y )=6，故xyz =
－6，x 、y 、z 都是6的约数，并且只有一个是负数，从而得其整数解为：x =－3，y =2，z =1。

10．解：显然x =1，y =1是原方程的解，若x ≠1，则y ≠1。

因≡x
51(m od4)，)4(mod )1(3y y -≡，1－)4(mod 2)1(≡-y
，故y =2y 1+1是奇数(y 1∈N )
因)9(mod 03≡y
，故)9(mod 25≡x。

因)9(mod 25),9(mod 15),9(mod 155
6
3
≡≡-≡，
故)9(mod 255556≡≡+q ，正整数x 为6q+5形式的整数。

因为)7(mod 1)2(566≡-≡，所以)7(mod 3)2(5555≡-≡≡x ， 而)7(mod 356323
3111
2⨯⨯≡⨯≡≡+y y y ，故对任意不为1的正整数x ，y ，
y
x 35-2(m od7)。

此时原方程无解。

综上，原方程只有一组正整数解：（1，1）。

11．解：将方程两边乘以4配方知：原方程等价于7)32()32()32(222=+++++z y x 。

上述方程有有理数解等价于不定方程:2
2
2
2
7m c b a =++有整数解(a ，b ，c ，m )，其中m >0. 若方程有整数解(a ，b ，c ，m )，m >0，设m 是所有这样的解中最小的正整数。

如果m 是偶数，则)4(mod 0222≡++c b a ，注意到，完全平方数≡0或1(m od4)，所以，
a ，
b ，
c 都为偶数，设n m c c b b a a 2,2,2,2111====，则221212
17n c b a =++，这表明
),,,(111n c b a 也是方程的整数解，与m 的最小性矛盾。

如果m 是奇数，则由于奇数的平方≡1(m od8)，故)8(mod 72
2
2
≡++c b a ，这时，当然有
)4(mod 3222≡++c b a ，由于前面的讨论，可知a ，b ，c 都为奇数，这导致)8(mod 3222≡++c b a ，与)8(mod 7222≡++c b a 矛盾。

所以方程没有整数解（使m >0的），故原命题成立。

12．解：作代换，设x +y =u ，y +z =v ，z +x =w ，则方程变形为：
4uvw +(u +v +w )3=8－(u －v +w )(u +v －w )(－u +v +w )，即4(u 2v +v 2w +w 2u +uv 2+vw 2+wu 2)+8uvw =8，
即u 2v +v 2w +w 2u +uv 2+vw 2+wu 2+2uvw =2。

故(u +v )(v +w )(w +u )=2.于是：（u +v ，v +w ，w +u ）=（1，1，2），（－1，－1，2），（－2，－1，1）及对称的情形，分别求解得：（u ，v ，w ）=（1，0，1），（1，－2，1），（－1，0，2），故（x ，y ，z ）=(1，0，0)，(2，－1，－1)。

故整数解为(x ，y ，z )=(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(2,-1,-1)，(-1,2,-1)，(-1,-1,2)共6组解。