2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题

2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题知识框架

数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。

公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。

核心点拨

1、题型简介

未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

2、核心知识

形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究：

a.不定方程是否有解？

b.不定方程有多少个解？

c.求不定方程的整数解或正整数解。

（1）二元一次不定方程

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

定理1：

二元一次不定方程，

A.若其中，则原方程无整数解；

B.若，则原方程有整数解；

C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。

如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。

定理2：

若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。

方程的所有解（即通解）为（k为整数）。

（2）多元一次不定方程（组）

多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。

例：

②－①消去x得y+2z=11 ③

③的通解为，k为整数。

所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

（3）其他不定方程

3、核心知识使用详解

解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

（5）无穷递推法。

（6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

夯实基础

1、二元一次不定方程

例1：

小明在商店买了若干块5分钱的糖果和1角3分钱的糖果，如果他恰好用了1块钱，问他买了多少块5分钱的糖果？

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】

B

【解析】

[题钥]

假设若干个未知数，由给定的条件列出不定方程。

[解析]

根据题意，设小明分别买了5分钱的糖果和1角3分钱的糖果x、y块，则有：

5x和100都能被100整除，则13y(<100)也一定能被5整除，

故y只能为5，(若y=0,则选项中没有正确答案，故排除)。

故x=7，

因此，选B。

例2：

有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：

A. 1辆

B. 3辆

C. 2辆

D. 4辆

【答案】

B

【解析】

[题钥]根据条件列出方程，再根据奇偶性进行计算。

[解析]

设大客车有x辆，小客车有y辆，则有：

37x+20y= 271。

根据数字的奇偶性判断：

可知20y为偶数，而271为奇数，

所以37x为奇数，故x为奇数，排除C、D。

将A、B代入方程，可知，只有当x=3时，y为整数，符合题意，

故选B。

2、多元一次不定方程（组）

例3：

甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙买了4支同样的签字笔，10支圆珠笔，1支铅笔，共用去43元，如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共需多少元钱？

A. 21

B. 11

C. 10

D. 17

【答案】

【解析】

[题钥]

根据条件，设未知数，列出方程，采用特殊值法目的是简化解题步骤，应合理取值。

[解析]

设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x元、y元、z元，则有

设系数最复杂的y=1，则有

解得x=8，z=1，

所以签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，需要：

x+y+z=8+1+1=10。

因此，选C。

3、其他不定方程

例4：某大学军训，军训部将学员编成8个小组，如果每组人数比预定人数多1人，那么学员总数将超过100人；如果每组人数比预定人数少1人，那么学员总数将不到90人。由此可知，预定的每组学员人数是：

A. 20人

B. 18人

C. 16人

D. 12人

【答案】

【解析】

[题钥]根据条件列出不等式，再根据整除的性质判断。

[解析]

假设预定的每组学员人数为x, 故学员总人数为8x。

“每组人数比预定人数多1人，那么学员总数将超过100人”，

即8(x+1)>100,8x>92，

可知总人数大于92人。

“每组人数比预定人数少1人，那么学员总数将不到90人”，

即8(x-1)<90,8x<98，

可知总人数小于98人。

(92，98)范围内能被8整除（x为非负整数，故8x是8的倍数）的数只有96，

故每组有学员96÷ 8=12人。

因此，选D

进阶训练

1、二元一次不定方程

例5：

工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个；工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝比螺丝帽多几个？

A. 34个

B. 32个

C. 30个

D. 28个

【答案】

A

【解析】

[题钥]

假设甲生产螺丝帽x分钟，生产螺丝x’分钟，则

得：

同理，

在列不定方程时，即可使用20-x来代替，从而简化方程、减少未知数个数，降低题目难度。

[解析]

设工人甲生产螺丝帽x分钟，工人乙生产螺丝帽y分钟，则有：

，即：

，

化简得，

x、y均为非负整数，经检验（代入排除法），

只有x=4，y=2符合条件。

则生产的螺丝比螺丝帽多个。

因此，选A。

2、多元一次不定方程（组）

例6：在1500年前的“张立建算经”里曾提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”鸡翁、鸡母、鸡雏的个数均不为0，则共有几种情况？

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】

D

【解析】

[题钥]

根据条件列方程（组），然后再根据数的奇偶性进行判断。

[解析]

设鸡翁、鸡母、鸡雏各x、y、z只，

则有

3×①-②得7x+4y=100，

数字的奇偶性可知：

100、4y均为偶数，则7x必为偶数，即x必为偶数。

根据题意，x、y、z均为非负整数：

由方程①可得是整数，即z能被3整除。

由7x+4y＝100可知，x的取值范围在[0,15)之间，

根据x+y+z=100②经验证（代入法），共有3组正整数解，分别为

，

因此，选D。

3、其他不定方程

例7：

甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册、有2人各捐7册，其余各捐11册；乙班有1人捐6册，有3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册。已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400～550之间。那么，甲、乙、丙三个班各有多少人？

A. 48,50,53

B. 49,51,53

C. 51,53,49

D. 49,53,51

【答案】

C

【解析】

[题钥]

不定方程（组）问题的求解，往往不需要全部求得每个方程的解，利用某个方程的解即可推断出其它方程的解。利用代入法也可快速排除选项。

[解析]

根据题意可知，甲班捐赠的图书最多，丙班捐赠的图书最少，

甲班比丙班多捐赠：28+101=129册。

而丙班捐赠的图书不少于400册，甲班捐赠的图书不多于550册，

则甲班捐赠的图书在529—550册之间；

设甲班人数为x，则

529≤1×6+2×7+11(x-3)≤550，

即，

故x可取50或51。

观察选项，只有C符合。

下载文档Ctrl + 鼠标左键点击查看：2015年安徽公务员考试笔试专题下载文档Ctrl + 鼠标左键点击查看：2015年安徽公务员考试笔试指南安徽人事考试网合肥人事考试网