第六节不定方程
不定方程的概念
不定方程的概念嘿，朋友！咱今天来聊聊不定方程这个有点神秘又挺有趣的家伙。
你想啊，咱们平常解的方程，比如说“x + 3 = 7”，解出来 x 就等于 4，这多简单直接，结果明明白白。
可不定方程就不一样啦，它就像个调皮的孩子，没那么听话，答案不是唯一确定的。
那到底啥是不定方程呢？简单说，不定方程就是未知数的个数多于方程的个数，而且解不是唯一确定的方程。
比如说“3x + 2y = 10”，这里有两个未知数 x 和 y，可方程就这一个，你说怎么能一下子就确定 x 和 y 到底是多少呢？这就好比你有一把钥匙，但不知道能开哪扇门，也许能开好几扇呢！不定方程在生活中也有不少影子。
就像你去买水果，苹果一个 3 块钱，香蕉一根 2 块钱，你一共花了 10 块钱，那你能一下子就知道买了几个苹果几根香蕉吗？不能吧，这就有点像不定方程的情况。
再举个例子，你要装修房间，已知每卷壁纸能贴 5 平方米，每桶油漆能刷 10 平方米，总共的墙面面积是 50 平方米，可你不知道到底用了几卷壁纸几桶油漆，这是不是也像个不定方程？解不定方程可不是件容易的事儿，得有点小技巧。
有时候可以通过整除的性质来判断，有时候要考虑余数，这就像走迷宫，得找对方向才能走出去。
咱来看看这个不定方程“5x + 7y = 31”，如果一个一个去试 x 和 y 的值，那得试到啥时候？这时候就得想想办法啦。
因为 31 除以 5 余 1，5x 肯定能被 5 整除，那 7y 除以 5 就得余 1，这样就能缩小 y 的取值范围啦。
总之啊，不定方程虽然有点让人头疼，但掌握了方法，也就没那么可怕。
就像爬山，看着高，一步步走，总能到山顶。
所以，别害怕不定方程，多练练，多琢磨琢磨，咱也能把它拿下！。
六年级奥数——第六讲 不定方程
第六讲 不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x ＞0，y ＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211-x ，11x －2能被3整除且x ＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间？例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400.A 除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少？ 【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
不定方程
不定方程（组）解读课标如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组）．不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在． 简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是ax by c +=（a ，b ，c 为整数，且0ab ≠），与之相关的性质有： 1．无整数解的判定方法若(),a b d =，而|d c ，则方程ax by c +=没有整数解．2．全部整数解的表示若方程ax by c +=有一组解（特解）．00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax by c +=全部整数解（通解）可表示为：00x x bt y y at =−⎧⎨=+⎩（t 为整数）． 例1 某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱用尽的条件下，有____种购买方案．试一试 设购买甲、乙两种运动服套数为x 套、y 套，则2035365x y +=，即4773x y +=．将问题转化为求不定方程的正整数解的个数．例2 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为34x +、109y +（x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程34109x y +=+的正整数解．例3 （1）求方程254x y −=的全部整数解；（2）求方程537x y −=−的正整数解．试一试 对于（2），先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解．例4 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于32人）试一试 设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，则()()22112332x k x k +=−≤≤，解此不定方程即可．例5 购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需多少元？分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为a 、b 、c ，则7331044a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，需求1152a b c ++的值．解法1 原方程组变形为3374410,b c a b c a +=−⎧⎨+=−⎩，解得132,b a c a =−⎧⎨=⎩ ()115211513225a b c a a a ∴++=+−+⨯=．解法2 把1152a b c ++直接用73a b c ++、104a b c ++的式子表示．()()11523731043345a b c a b c a b c ++=⨯++−++=⨯−=．解法3 ()()11521044a b c a b c a b c a b c ++=+++++=+++，需求出a b c ++，原方程组变形为()()623934a b c a b a b c a b ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩①② ①3⨯−②2⨯，得33421a b c ++=⨯−⨯=，1152415a b c ∴++=+=．例6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？分析与解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x ，y ，z ，则有10053100,3x y z z x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．②3⨯−①，得148200x y +=，即74100x y += ③到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解． 由③得100725244x x y x −==−+，令4x t =，则4x t =， 252258257y x t t t t ∴=−+=−+=−，()1001004257375z x y t t t =−−=−−−=+，这样，得到方程组的通解为4257375x t y t z t =⎧⎪=−⎨⎪=+⎩（t 为非负整数）． 4025703750,t t t ⎧⎪−⎨⎪+⎩≥≥≥043725t t t ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪−⎩≥≤≥ 解得03t ≤≤． 令0t =，1，2，3，得下列四组解：()(),,0,25,75x y z =，()4,18,78，()8,11,81，()12,4,84巩固练习1．若方程36832x y +=有一组解为6026,x y =⎧⎨=−⎩则方程的通解可表示为___________． 2．若方程231x y +=有一组整数解为11,x y =−⎧⎨=⎩则由此得方程236x y +=的通解为___________．3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有______种不同的买法．4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了________朵．5．方程4598x y +=的正整数解的个数是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）．A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支7．三元方程1999x y z ++=的非负整数解的个数有（ ）． A ．20001999个 B ．19992000个 C ．2001000个 D ．2001999个8．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（ ）．A ．15种B ．11种C ．5种D ．3种9．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时祖用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？10．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘()010n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能的少？11．一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完．间盒子里共有多少粒棋子？。
不定方程ppt课件
解：因为（107，37）=1，所以有解；故
y 2x 25 33x 37
令y1
25 33x 37
,即7 y1
33x
25
x
y1
25 4 y1 33
令
25 4 y1 33
x1有 33 x1
4 y1
25
故y1
6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4
y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
程有无穷解，其一切解可表示成
x y
x0 y0
b1t a1t
t 0,1,2,
其中
证 是：方把程的y解x 。yx00
b1t a1t
代入不定方程成立，所以
又设 x, y 是不定方程的任一解，又因为 x0 , y0
是一特解
则有 a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ,即有 a1(x x0 ) b1( y y0 ) 有 a1 | b1( y y0 )
a1x1 a2 x2 d2t2 , d2t2 a3x3 d3t3, d t n1 n1 an xn c
先解最后一个方程的解，得 tn1, xn 然后把其代入倒数第二个方程求得一 切解，如此向上重复进行，求 得所有 方程的解。
例1：求不定方程 25x 13y 7z 4的整数解.
不定方程
要点提示:未知数的个数不少于两个的方程称为多元方程。
未知数的个数多于方程的个数叫做不定方程。
在列方程解应用题时经常会出现多元方程，看似未知数个数要比方程多，很难求解，但是题目中往往会给出其他一些限制条件，这些条件有明显的，也有隐蔽的，它们对问题的解决至关重要，在解题过程中需要酌情进行讨论。
不定方程的解法：用一个未知数表示另一个未知数，代值确定符合条件的解。
经典例题:1、小朋要买一只4角9分的卷笔刀，他手上有贰分和伍分的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？2、一商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完.如果弹子数为99.盒子数大于9，问两种盒子各有多少个3、一学生发现自己今年(1991年)的年龄正好等于他出生那年的年份的各位数字之和,问这个学生今年几岁?4、公鸡1只值钱5,母鸡1只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100，买鸡100只,问公鸡、母鸡和小鸡各买几只？5、一个生产大队有猪牛羊各若干头，牛的头数的10倍减去羊的头数结果再乘上10正好比猪牛羊的总数多4，如果猪牛羊的头数是质数。
问这个生产队有猪牛羊各多少头？反馈练习:1、一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车乘22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所以旅客正好能平均分乘到其他各车上。
已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少旅客？2、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己愿望?3、一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6支，二等奖每人3支，三等奖每人2支；后来改为一等奖每人9支，二等奖每人4支，三等奖每人1支，问获一、二、三等奖的学生各几人？4、采购员用一张1万元支票去购物，购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张)。
不定方程定义
不定方程定义不定方程定义及相关定义1. 不定方程定义不定方程是指含有未知数的方程，其解可能是整数或有理数，并且方程的系数是已知的。
不定方程的一般形式为：A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B其中，A1, A2, …, An 是方程中的系数，x1, x2, …, xn 是未知数，B 是已知的常数。
2. 二元一次不定方程二元一次不定方程是指只含有两个未知数的一次方程。
一般形式为：A1x + A2y = B其中，A1、A2 和 B 是已知的常数。
解二元一次不定方程可以用到数论的知识，如贝祖等式、扩展欧几里得算法等。
3. 举例及理由例1：解二元一次不定方程 3x + 5y = 7。
•理由：这是一个经典的二元一次不定方程，解之可以帮助我们理解贝祖等式的应用。
例2：解二元一次不定方程 2x + 4y = 10。
•理由：这是一个特殊的二元一次不定方程，通过求解该方程，我们可以讨论贝祖等式的无解情况。
例3：解二元一次不定方程 4x + 3y = 2。
•理由：这是另一个特殊的二元一次不定方程，解之可以为我们提供扩展欧几里得算法的实际应用。
4. 相关书籍推荐•“Elementary Number Theory” by David M.Burton: 这本书是数论的经典教材，涵盖了不定方程以及其他数论概念的详细内容。
适合对数论感兴趣的读者，提供了丰富的例题和练习题。
•“An Introduction to the Theory of Numbers”by Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L.Montgomery: 这是另一本优秀的数论教材，对不定方程及其解法进行了深入讲解。
书中提供了大量的例题和习题，适合进一步深入学习不定方程的读者。
以上是关于不定方程定义及相关定义的简要介绍和举例说明。
对于想要深入了解和研究不定方程的读者，推荐阅读上述书籍以获取更详细的知识。
不定方程求解方法
不定方程求解方法一、不定方程是啥。
1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。
比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。
这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。
1.2 这种方程在数学里可是很常见的。
它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。
这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。
二、求解不定方程的一些常用方法。
2.1 枚举法。
这就像一个一个去试。
比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。
当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。
就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。
就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。
2.2 利用数的性质。
比如说奇偶性。
如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。
这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。
再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。
这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。
2.3 换元法。
就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。
这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。
这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。
三、实际应用中的不定方程求解。
3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。
比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。
不定方程公式
不定方程公式不定方程，这听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，在咱们数学的世界里，它就像一个神秘的小怪兽，有时候会把同学们弄得晕头转向。
先来说说什么是不定方程。
不定方程呢，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
比如说，3x + 4y = 10，这里有两个未知数 x 和y ，但只有一个方程，这就是不定方程啦。
我记得有一次给学生们讲不定方程的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大着呢！”就拿咱们分糖果来说吧。
假设老师手里有 20 颗糖果，要分给小明和小红，小明得到的糖果数是 3 倍的小红得到的糖果数再加上 2 颗，那咱们就能列出一个不定方程 3x + 2 + y = 20 ，这里 x 是小红得到的糖果数，y 是小明得到的糖果数。
通过求解这个不定方程，就能知道小明和小红可能分别得到几颗糖果啦。
那怎么求解不定方程呢？这就需要一些小技巧和公式啦。
比如说，如果是求整数解的不定方程，咱们可以用整除的性质来判断。
像 5x + 7y = 12 ，因为 12 能被 5 整除，所以 7y 也要能被 5 整除，y 就可能是 0 或者 5 的倍数。
还有一种常见的方法是同余法。
比如说 6x + 8y = 20 ，咱们可以先把方程两边同时除以 2 ，得到 3x + 4y = 10 。
然后看 3x 和 10 除以 4 的余数，通过分析余数来找到可能的解。
在实际解题中，咱们还常常会用到穷举法。
虽然听起来有点笨笨的，但有时候却很管用。
就像找钥匙一样，一把一把地试，总能找到那把对的。
比如说 2x + 3y = 15 ，咱们可以从 x = 0 开始，一个个地试，直到找到满足方程的整数解。
不过啊，同学们在解不定方程的时候，可别马虎大意。
我就碰到过一个同学，计算的时候丢三落四，结果解出来的答案风马牛不相及。
我跟他说：“你这解题啊，就像在黑夜里走路，没个准头。
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第六节 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(；定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。
定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++Λ2211，(N c a a a n ∈,,,,21Λ)有解的充要条件是c a a a n |),,,(21Λ.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++Λ2211时，可先顺次求出332221),(,),(d a d d a a ==， ……，n n n d a d =-),(1.若n d c ，则方程无解；若n d |c ，则方程有解，作方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+--------c x a t d t d x a t d t d x a t d t d x a x a n n n n n n n n n n 11111122333322222211ΛΛΛΛ求出最后一个方程的一切解，然后把1-n t 的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．m 个n 元一次不定方程组成的方程组，其中n m <，可以消去1-m 个未知数，从而消去了1-m 个不定方程，将方程组转化为一个1+-m n 元的一次不定方程。
（二）高次不定方程（组）及其解法1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2．同余法：如果不定方程0),,(1=n x x F Λ有整数解，则对于任意N m ∈，其整数解),,(1n x x Λ满足)(mod 0),,(1m x x F n ≡Λ，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4．无限递降法：若关于正整数n 的命题)(n P 对某些正整数成立，设0n 是使)(n P 成立的最小正整数，可以推出：存在*1N n ∈，使得01n n <成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。
同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。
（三）特殊的不定方程1．利用分解法求不定方程)0(≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路：将)0(≠=+abc cxy by ax 转化为ab b cy a x =--))((后，若ab 可分解为Z b a b a ab i i ∈===Λ11，则解的一般形式为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii ，再取舍得其整数解； 2．定义2：形如222z y x =+的方程叫做勾股数方程，这里z y x ,,为正整数。
对于方程222z y x =+，如果d y x =),(，则22|z d ，从而只需讨论1),(=y x 的情形，此时易知z y x ,,两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
定理3.勾股数方程222z y x =+满足条件y |2的一切解可表示为： 2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中1),(,0=>>b a b a 且b a ,为一奇一偶。
推论：勾股数方程222z y x =+的全部正整数解（y x ,的顺序不加区别）可表示为： d b a z abd y d b a x )(,2,)(2222+==-=其中0>>b a 是互质的奇偶性不同的一对正整数，d 是一个整数。
勾股数不定方程222z y x =+的整数解的问题主要依据定理来解决。
3．定义3.方程*22,,(4,1N d Z y x dy x ∈∈±±=-且不是平方数)是c dy x =-22的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程。
这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程c dy x =-22的研究，其中d c ,都是整数，0>d 且非平方数，而0≠c 。
它主要用于证明问题有无数多个整数解。
对于具体的d 可用尝试法求出一组成正整数解。
如果上述pell 方程有正整数解),(y x ，则称使y d x +的最小的正整数解),(11y x 为它的最小解。
定理4.Pell 方程*22,,(1N d Z y x dy x ∈∈=-且不是平方数)必有正整数解),(y x ，且若设它的最小解为),(11y x ，则它的全部解可以表示成： [][])()()(21)()(21*11111111N n y d x y d x d y y d x y d x x n n n n n n ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=-++=. 上面的公式也可以写成以下几种形式：（1）nn n d y x d y x )(11+=+；（2）⎩⎨⎧+=+=++n n n n n n x y y x y y dy x x x 111111；（3）⎩⎨⎧-=-=-+-+11111122n n n n n n y y x y y x x x . 定理5.Pell 方程*22,,(1N d Z y x dy x ∈∈-=-且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解),(y x ，且在后一种情况下，设它的最小解为),(11y x ，则它的全部解可以表示为[][])()()(21)()(21*1211121112111211N n y d x y d x d y y d x y d x x n n n n n n ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=-++=---- 定理6. （费尔马（Fermat ）大定理）方程3(≥=+n z y x nn n 为整数)无正整数解。
费尔马（Fermat ）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles 完全解决了这一难题。
至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。
典例分析例1．求不定方程2510737=+y x 的整数解。
解：先求110737=+y x 的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：33372107+⨯=，433137+⨯=， 18433+⨯=将上述过程回填，得：378)372107(9378339)3337(93749374843748331⨯-⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯-=⨯-=⨯--=⨯-=9107)26(3737261079⨯+-⨯=⨯-⨯=由此可知，9,2611=-=y x 是方程110737=+y x 的一组特解，于是650)26(250-=-⨯=x ，2259250=⨯=y 是方程2510737=+y x 的一组特解，因此原方程的一切整数解为：⎩⎨⎧-=+-=ty t x 37225107650。
例2．求不定方程213197=+y x 的所有正整数解。
解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：753230719213y y y x -+-=-=因为y x ,是整数，故u y =-753也一定是整数，于是有375=+u y ，再用5去除比式的两边，得523573u u u y -+-=-=，令523u v -=为整数，由此得352=+v u 。
经观察得1,1=-=v u 是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：2,2500==y x ，所以原方程的一切整数解为：⎩⎨⎧+=-=ty t x 721925。
例3．求不定方程40823=++z y x 的正整数解。
解：显然此方程有整数解。
先确定系数最大的未知数z 的取值范围，因为z y x ,,的最小值为1，所以4823401=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤≤z 。
当1=z 时，原方程变形为3223=+y x ，即2332x y -=，由上式知x 是偶数且102≤≤x 故方程组有5组正整数解，分别为⎩⎨⎧==132y x ，⎩⎨⎧==104y x ，⎩⎨⎧==76y x ，⎩⎨⎧==48y x ，⎩⎨⎧==110y x ；当2=z 时，原方程变形为2423=+y x ，即2324x y -=，故方程有3组正整数解，分别为：⎩⎨⎧==92y x ，⎩⎨⎧==64y x ，⎩⎨⎧==36y x ；当3=z 时，原方程变形为1623=+y x ，即2316x y -=，故方程有2组正整数解，分别为：⎩⎨⎧==52y x ，⎩⎨⎧==24y x ； 当4=z 时，原方程变形为823=+y x ，即238x y -=，故方程只有一组正整数解，为⎩⎨⎧==12y x 。