一个导数压轴题的解法探究与命制背景的分析

一个导数压轴题的解法探究与命制背景的分析
张嘉钦 福建省惠安荷山中学 362141
发表于《福建中学数学》2015
1．试题再现
【2014年高考陕西卷理科第21题】设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.
（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；
（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明. ２．解法探究：
（1）由题设可知1()n g x +与()n g x 有一定的递推关系，可否运用数列的递推公式进行求解呢？ 解：由题设可得：11()()(),()(())11()
n n n n g x x g x g x g x g g x x g x +====++， 因此有：11()111()()()n n n n g x g x g x g x ++==+，所以，数列1()n g x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11()1x g x x =+为首项， 公差为1的等差数列，因此有
11(1)1()1n x nx n g x x x +=+-⨯=+，故有()(0)1n x g x x nx =≥+ 评析：注意到1()n g x +与()n g x 的递推关系，巧妙地运用数列的递推公式，结合数列的知识进行求解，另辟蹊径，令人拍案叫绝．
（2）考虑到恒成立问题的两种处理方法，可采用直接构造函数法和分离参数法进行求解． 解法一：令()()()ln(1)(0)1ax h x f x ag x x x x =-=+-≥+，()
2(1)'()1x a h x x --=+(0)x ≥， 令'()0h x =得：1x a =-．
当1a ≤时，'()0h x ≥，()h x 在[0,)+∞单调递增；当1a >时，若(0,1)x a ∈-，'()0h x <，()h x 在(0,1)a -单调递减，且(0)0h =，所以，当1a >时存在0(0,1)x a ∈-使得0()0h x <，不合题意． 综上可得，a 的到值范围内是(,1]-∞．
解法二：由题设得： ln(1)1ax x x
+≥+在[0,)+∞恒成立．
当0x =时，上式显然成立，a R ∈；
当0x >时，上式可化为(1)ln(1)x x a x ++≤
，设(1)l n (1)()(0)x x x x x ϕ++=>，2
ln(1)'()x x x x ϕ-+=，令()ln(1)(0)t x x x x =-+>，因为'()01x t x x =>+，所以()t x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0t x t >=，故有'()0x ϕ>，所以()x ϕ在(0,)+∞单调递增，min ()(0)x ϕϕ→，
由洛必塔法则可得(0)1ϕ=，所以1a ≤． 评析：若采用直接法进行求解，势必对所构造函数中的参数进行讨论；若采用变量分离的方法，分离后的函数是确定的，可借助导数进行求解，但经常会遇到所求的函数值运用中学数学知识无法求解的情景，如0,0∞∞
等，因此在平时的教学中，可适当介绍一些中学阶段常用的高等数学方面的知识． （３）若注意到本题中(1)(2)()g g g n +++是一个“n 项和式”，便可考虑另一个式子是否也可以写以这种形式，沿着这个方向，对两个式子进行变形，通过比较两个和式中通项的大小，借助前面小题的提示进行求解；另外，对于“n 项和式”，是否也可以考虑用定积分进行解题呢？若可行的话，(1)(2)()g g g n +++必为某个函数在特定区间上的“不足近似值”或是“剩余近似值”，而ln(1)
n n -+则可能是这个函数在该区间上的定积分． 解法一：令12(1)(2)(),ln(1)231n A g g g n B n n n =+++=+++
=-++，由题设可知比较A 与B 的大小关系，只需比较n A -与ln(1)n +的大小即可，
111,231n A n -=+++
+ 12ln(1)ln ln ln 11
n n n n n ++=+++-， 在（２）中令1a =，可得ln(1)1x x x +>+，再令1x n =，即有11ln()1n n n
+>+ 取2,3,4,,n n =，各式相加，则有111ln(1)231
n n +++<++， 所以有12(1)(2)()ln(1)231n g g g n n n n
+++=+++<-++ 解法二：因为0ln(1)1n x dx n n x =-++⎰表示由曲线()1x g x x
=+，直线0,x x n ==及x 所围成的曲边梯
形的面积，而12(1)(2)()231n g g g n n
+++=++++则表示()1x g x x =+在区间[0,]n 剩余近似值（如图中所示的各小矩形的面积和），所以令(1)(2)()ln(1)g g g n n n +++<-+．
３．试题背景分析
３.１基于教材
翻阅教材，普通高中课程标准实验教科书人教Ａ版数学选修2-2第18页，习题1.2的A 组第6题：“已知函数()ln f x x x =．（１）求这个函数的导数．（２）求这个函数的图象在1x =处的切线方程．”利用导数不难得出函数()f x 在1x =处的切线方程恰好是1y x =-且图象恒在函数()f x 图象的下方，即
ln 1x x x ≥-，当且仅当1x =时取等号．适当变形得：1ln x x x
-≥
，基于这样的背景，取1x ≥进行试题的命制。

３.２高于教材 （1）把函数()ln f x x x =的图象进行平移，如向左平移一个单位，适当地变形，得到ln(1)1x x x +≥+，使得不等式在结构特征上略显复杂，在解题时若能在整体上把握式子的结构特征，利用换元法，就能揭穿其表象，发现其题源．
（２）通过函数()f x 的导函数（或原函数）来构造另一个函数()g x ，使得两个函数看起来似乎没有多大的联系，增大了试题的层次性和考查方向的不确定性．这样的命题手法在近几年的高考中经常出现，如2013年全国课标卷II ，2013年陕西卷，2012年天津卷等．
（３）引入参数．通过参数a 的参与，增加了分类讨论的思想，无限与有限等重要数学思想方法的考查，加大了试题的难度；为了实现其压轴的功能，在ln(1)1x x x +≥+中令1,x n x n ==或1n x n =-等，进一步与数列，不等式进行交汇．体现了“源于教材，高于教材”的风格．
３.３命题的拓展 利用1ln x x x
-≥不难得到以下结论： 结论１：111123!n n e e
n ++++≥ 结论２：11111ln 123
21n n n +++≤≤+++- 结论３：1
!
n e n n -< !(1)21,(n 1,n N ),n n n e +=-⨯⨯>∈其中为自然对数的底数，证明略．
４．解后反思
解题活动是高中数学教学的重要环节，解题时若能加强不同知识模块间的联系，往往能起到意想不到的效果，如第（1）小题的由递推关系迁移到数列通项的求法让人拍案叫绝；第（3）小题中由一个“n 项和式”联想到定积分的证明方法也能让人耳目一新。

导数是数学的一个重要组成部分，研究函数，方程，不等式等问题的有力工具，利用导数求函数的单调性，极值，最值等，会涉及函数与方程，分类讨论，化归与转化，有限与无限等重要数学思想和分析法，综合法，换元法，构造法等常用数学方法．有关函数的压轴题，多涉及以e ,ln x x 为背景的一些恒成立，不等式等问题，这也是导数考题命制的热点，难点，只要细心观察，把握结构特征，就能巧妙地运用课本所学的知识进行有效解题．
纵观高考试题，很多好的试题都是源于教材而高于教材．命题专家常以教材中一些典型的例习题为背景，以此作为题源来命出高质量，高品味的试题．一定要高度关注教材的作用与教材编写专家的智慧，与教材对话，对教材中的例习题进行适当拓展或改编．基于教材的试题命制策略的研究，有利于教师教学理念，教学方式，方法的转变；有利于教材资源的开发与利用，促进教师的迅速成长．。