(完整word版)一类高考导数压轴题的统一解法

一类高考导数压轴题的统一解法
163316 黑龙江省大庆实验中学 姜本超
导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 2011年全国新课标卷理科数学21题就是一道典型的以导数为背景，通过求最值分类讨论解决恒成立问题。

学生在思考的过程中会产生两种常见的想法，但并不是每一种方法都能达到预期的效果，下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。

原题：（2011年高考试题全国新课标卷理科数学21题）
已知函数ln ()1a x b f x x x
=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．
（I ）求,a b 的值；
（II ）如果当0x >且1x ≠时，ln ()1x k f x x x
>+-，求k 的取值范围． 解：（I ）略（II ）由（Ⅰ）知22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--． 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x
--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=． (i)设0k ≤，由22
2(1)(1)'()k x x h x x
+--=知，当1x ≠时，'()0h x <．而(1)0h =， 故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得2
1()01h x x >-；当(1,)x ∈+∞时，()0,h x < 21()01h x x >-可得从而当0,x >且1x ≠时，ln ()1x k f x x x
>+-恒成立 （ii ）设01k <<时由于当21(1,)(1)(1)20,1x k x x k
∈-++>-时，故'()0,h x > 而1(1)0,(1,)1h x k =∈-故当时，()0,h x >2
1()01h x x <-与题设矛盾 （iii ）设1,'()0,(1)0,k h x h ≥>=此时而故当(1,)()0,x h x ∈+∞>时，可得出矛盾 综合可得k 的取值范围是(,0]-∞
评析：该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数，通过讨论该函数的单调性和零点，找
出恒成立的范围，再举出反例将其它范围舍去。

在解决该类问题时还有一个常见的办法，就是分离变量，下面我们试一试。

解：分离变量得221ln 1x k x x <-
-由于在1x =时没有意义， 故变形为221(12ln )1
k x x x x <---，令2()12ln g x x x x =-- 则1'()2(1ln ),''()2(1)g x x x g x x
=--=-，易知当1x =时'()g x 取到最小值 所以'()'(1)0g x g >=，(1)0g =所以1()0,01()0x g x x g x >><<<时时 所以221(12ln )01
x x x x -->-恒成立，故k 的取值范围是(,0]-∞ 评析：采用分离变量方法使计算过程变得简单明了，但仔细观察不难发现，这样的分离变量是有问题的，因为在1x =时原函数是没有意义的，我们并不知道在1x =时的极限，并且要证明函数的连续性，这些知识超出了高中的学习范围，是大学知识。

事实证明，采用分离变量是存在问题的。

对于这样的类型题有两个常见的方法可以选择，方法一：利用导数性质判断函数的单调性，研究函数的值域，分类讨论得出结果。

方法二：大学知识辅助分离变量法。

在高中阶段适合学生的是方法一，下面再举一例：
案例1：（2010年高考试题全国新课标卷理科数学21题）
设函数2()1.x f x e x ax =---
（I ）若0,a =求()f x 的单调区间.
（Ⅱ）若0x ≥时()0,f x ≥求a 的取值范围.
解：（I ）略（Ⅱ）解：'()12x f x e ax =--，若12a ≤
，则'()1x f x e x ≥-- 由（I ）知10x e x --≥所以'()0f x ≥，所以()(0)0f x f ≥=即()0f x ≥ 若12
a >，由（I ）知1x e x ≥+，则1x e x -≥-， 即(1)(2)'()12(1)x x x x x e e a f x e a e e
---≤-+-=，当(0,ln 2)x a ∈时， '()0f x <由于(0)0,f =所以()(0)0f x f ≤=，所以当12a >时不成立，故12a ≤ 这道题的第二问是否也可以采取分离变量的方法呢？我们可以尝试一下：
由已知得21x e x a x --≤，令2
1()(0)x e x g x x x --=>,由图像知0x =时取到极小值，且0x ≠，由罗必塔法则可求得极限为01lim ()2
x g x →=，再根据函数的连续性可知12a ≤.在高中阶段我们并没有学习求极限的方法，所以这道题不可以分离变量。

那么2011年的高考题也有这样的情况吗？令221()(12ln )1
u x x x x x =---，由函数图像知1x =时取得极小值，可对()u x 求极限，由罗必塔法则得1lim ()0x u x →=，所以0k ≤。

还有其它的高考题具有同样的
特点吗？
案例2：（2007年高考试题全国卷Ⅰ理科数学22题）
设函数()x x f x e e -=-
（I ）证明：()f x 的导数'()2;f x ≥
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有(),f x ax ≥求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）略（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()x x g x f x a e e
a -''=-=+-， （ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()20x x g x e e a a -'=+->-≥，
故()g x 在(0)+∞，上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2
a x +=， 此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，
该题若进行分离变量即x x e e a x --≤，令()x x
e e g x x
--=，由图像可知0x =时取到极小值，但0x ≠，由罗必塔法则可求得极限0lim ()2x g x →=，所以2a ≤，该题仍然可以用相
同的方法解决。

评析：以上三道高考题具有相同的特点，即第二问都可以通过讨论的方式，一部分范围是恒成立的，而另一部分范围则需要举出反例，舍去。

在解决的过程中，通常还得用到恒等变形，
适当放缩，所以难度都很大，在考场上想利用高中知识迅速准确的做对，都非常困难。

在近五年高考中，全国卷共考了五次，不得不让我们对它给予高度的重视和研究。

探究一下这类问题的本质，他们都不是连续函数，在无意义的点是不连续的，该点是函数的间断点，而且是函数的可去间断点，在间断点的两侧，该函数是单调函数，而且都是左减右增。

利用大学知识，罗必塔法则可以求出该点的极限值，这三题的答案都是小于等于号，说明该极限值是一个极小值，这个极限值就是临界值。

此类问题以大学数学中的函数连续为背景，存在着一个可去间断点，这个点就是讨论的重点。

在高中阶段，无法求出极限值，极小值，只能通过分类讨论等办法，探求参数的取值范围。

由上面的几道例题不难得出解决该类问题的统一方法，分两步走：一、通过分类讨论，探求使结论成立的参数范围，证明其恒成立。

二、通过举出反例，将不符合要求的部分舍去。

下面给出两个练习题，供大家思考：
练习1：（2010年全国Ⅱ理数22题）设函数()1.x f x e -=-
（I ）证明：当1();1x x f x x >≥
+时，（Ⅱ）设当0x ≥时，(),1x f x ax ≤+求a 得取值范围。

答案：（I ）略（Ⅱ）1[0,]2
练习2：（2011年高考全国Ⅰ文数21题）设函数2()(1)x f x x e ax =--
（I ）若12
a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0,f x ≥求a 的取值范围；
答案：（I ）略（Ⅱ）(,1]-∞。