【配套K12】九年级下册数学知识点整理：正切
九年级下册数学知识点整理：正切
正切函数
英文：tangent
简写：tan
中文:正切
概念
如图，把∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan=∠A的对边/∠A的邻边=a/b
锐角三角函数
tan15°=2-√3
tan30°=√3/3
tan45°=1
tan60°=√3
正切函数的定义
对于任意一个实数x，都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。
形式是f=tanx
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,
它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性.
正切函数的性质
定义域：{x|x∈R且x≠+π,∈Z}
值域：实数集R
奇偶性：奇函数
单调性：在区间，上是增函数
周期性：最小正周期π
最值：无最大值与最小值
零点：π,∈Z
对称性：
轴对称：无对称轴
中心对称：关于点对称
图像
实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=π点都是它的对称中心.
正切函数诱导公式
tan=tanα
tan=-tanα
tan=-tanα
tan=-tanα
tan=tanα。
tan知识点归纳总结
tan知识点归纳总结tan（正切）是三角函数中的一种，它与sin（正弦）和cos（余弦）一样是常用的三角函数之一。
在数学中，tan函数代表了直角三角形中对边与邻边的比值，它的定义如下：tan(θ) = 对边/邻边其中，θ表示夹角，对边表示θ角的对边，邻边表示θ角的邻边。
tan函数在数学中有很广泛的应用，它常常用于求解三角形的各种问题，也常常出现在物理、工程、计算机等领域的问题中。
因此，了解tan函数的性质和应用是十分重要的。
下面将对tan函数的知识点进行归纳总结，包括tan函数的定义、性质、图像、求值、应用等方面。
一、 tan函数的定义：tan函数的定义如前所述，表示了一个夹角的对边与邻边的比值。
在直角三角形中，对边和邻边的长度可以直接得到，从而可以求得tan函数的值。
二、 tan函数的性质：1. 周期性：tan函数是周期性函数，其周期为π。
2. 奇函数：tan函数是奇函数，即tan(-θ) = -tan(θ)。
3. 无界性：tan函数在某些点处是无界的，比如在tan(π/2)和tan(-π/2)处无定义。
4. 渐近线：tan函数有两条垂直渐近线x=π/2+kπ 和 x=-π/2+kπ。
5. 单调性：tan函数在每个周期内是单调递增或单调递减的。
三、 tan函数的图像：tan函数的图像呈现出周期性和无界性。
在定义域内，其图像在每个周期内呈现出相似的形状，是一条曲线。
在垂直渐近线的两侧，tan函数图像逼近于无穷或负无穷，呈现出无界性。
四、 tan函数的求值：tan函数可以通过计算对边和邻边的比值来求得。
在数学和物理问题中，可以通过已知的角度和边长来求得tan函数的值，从而解决相关问题。
五、 tan函数的应用：1. 解三角形问题：tan函数常常用于解决三角形中的各种问题，包括求边长、求角度等。
2. 物理问题：在物理学中，tan函数被广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的变化关系。
3. 工程问题：在工程中，tan函数常常用于设计、测量、计算等方面的问题。
九年级三角函数知识点整理
九年级三角函数知识点整理三角函数是数学中一个重要的概念，特别是在处理角度、弧度、三角形和圆等方面。
以下是九年级三角函数知识点整理：1. 锐角三角函数的定义：锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）：等于对边比斜边，即sinA=a/c。
余弦（cos）：等于邻边比斜边，即cosA=b/c。
正切（tan）：等于对边比邻边，即tanA=a/b。
余切（cot）：等于邻边比对边，即cotA=b/a。
正割（sec）：等于斜边比邻边，即secA=c/b。
余割（csc）：等于斜边比对边，即cscA=c/a。
2. 特殊角的三角函数值：对于一些特定的角度，三角函数有特定的值。
例如，当角度为30°、45°和60°时，正弦、余弦和正切的值分别是1/2、√2/2、√3/3等。
3. 互余角的关系：sin(π-α)=cosα，cos(π-α)=sinα，tan(π-α)=cotα，cot(π-α)=tanα。
4. 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1，tan^2(α)+1=sec^2(α)，cot^2(α)+1=csc^2(α)。
5. 积的关系：sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα。
6. 诱导公式：对于角度的和差、倍角等运算，可以通过诱导公式简化计算。
例如，sin(A+B)和cos(A+B)可以通过诱导公式转化为sinAcosB+cosAsinB 和cosAcosB-sinAsinB。
7. 图像与性质：正弦、余弦和正切的图像是周期函数，具有对称性。
例如，正弦函数在y轴两侧对称，余弦函数在x轴上对称。
此外，三角函数的最大值和最小值以及对应的x值也是重要的知识点。
8. 应用：三角函数在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在测量、航海、工程、物理和数学等领域中，经常需要用到三角函数的知识。
九年级数学下册知识点总结（最新最全）
九年级数学下册知识点总结（最新最全）九年级下册知识点第一章直角三角形边的关系1、正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边；3、余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边；4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=∠A的邻边/∠A的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则①sinA=cos(90°?∠A）等等。
6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。
（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
同角的三角函数间的关系：tαnα·cotα=1，tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=18、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；（2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；（3)边与角之间的关系：sinα等；（4）面积公式；（5）直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为(a+b-c)/2；（6）直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为c/2。
初三下三角函数知识点归纳总结
初三下三角函数知识点归纳总结下面是初三下学期关于三角函数的知识点归纳总结：1. 弧度制和角度制三角函数中，我们常常使用两种制式来度量角度：弧度制和角度制。
弧度制使用圆的弧长作为度量单位，角度制使用度数作为度量单位。
两种制式之间可以通过换算公式进行转换。
2. 正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）正弦函数、余弦函数和正切函数是最基础的三角函数。
对于单位圆上的任意一点P（x, y），其中x和y分别为该点在x轴和y轴上的坐标：- 正弦函数定义为点P的纵坐标y与P到原点的距离r之比：sinθ = y/r- 余弦函数定义为点P的横坐标x与P到原点的距离r之比：cosθ = x/r- 正切函数定义为点P的纵坐标y与横坐标x之比：tanθ = y/x3. 三角函数的周期性三角函数都具有周期性。
以正弦函数为例，sin(θ+2π) = sinθ，也就是说，从一个θ的值加上一个2π的整数倍，其正弦值保持不变。
这个周期为2π，而余弦函数和正切函数也有相似的周期。
4. 三角函数的诱导公式诱导公式是三角函数中的重要公式之一，它们可以将一个三角函数表示成其他两个三角函数的形式。
下面是一些常用的诱导公式： - 正弦函数的诱导公式：sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ- 余弦函数的诱导公式：cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ- 正切函数的诱导公式：tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)5. 三角函数图像的性质三角函数的图像表现出一些特定的性质，包括振幅、周期、相位、对称轴等。
这些性质对于分析和解决三角函数的问题非常有帮助。
6. 三角函数的应用三角函数在现实生活中有广泛的应用，比如测量高度、计算天体运动、建筑设计等等。
熟练掌握三角函数的知识，可以帮助我们更好地理解和解决这些实际问题。
总结：三角函数是初中数学中的重要知识点，掌握它们的定义、性质和应用对于提升数学水平和解决实际问题至关重要。
九年级正切函数的定义
A. (sin,sin) B. (cos,cos) C. (cos,sin) D. (sin,cos)
y
A
P
α
O
Bx
7、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA=2cos∠BCD. C
（1）求证：BC=2AD；
（2）若cosB= 3 ，AB=10,求CD的长.
4
（1）证明：
∵
tan A
CD , AD
又∵∠D= ∠A （同弧所对的圆周角相等）
∴tanD=tanA =
BC AC
42
=
2
2
2
5、如图，在等腰直角△ABC中，∠C=900，AC=6，D是AC上一点，
若tan∠DBA= 1 ,则AD的长为____2_____.
C
5
分析： 没有对应的直角三角形，必须作出.
D
解： 过D作DE垂直于AB交于E点，垂足为E.
三、三角函数定义 ----正切函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=900，如图
B
弦
斜边
股
对边
∠A正切函数=
BC
（tangent) 邻边 AC
A
勾C
问题发现
∠A对边
tanA=
BC
邻边
AC
tanA × tanB BC × AC =1 AC BC
tanB= ∠B对边 AC
邻边
BC
余角三角函数值：
tan(900-A）=
12
12
D. 5
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，tanA= 4 ,
BC=8，则Rt△ABC的面积为__2__4___.
3B
O
y
α
九年级数学知识点总结tan
九年级数学知识点总结tan九年级数学知识点总结在九年级学习数学，我们接触到了许多有趣而重要的知识点。
其中一个重要的知识点是tan函数。
tan函数是三角函数中的一种，它在九年级数学中占据着重要的地位。
在本文中，我们将对tan函数进行详细的总结和探讨。
一、tan函数的定义和性质tan函数是三角函数中的一种，它表示一个角的正切值。
我们用tan来表示这个函数。
对于一个角θ，tanθ的值定义为θ的对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
需要注意的是，如果邻边等于0，则tanθ是无穷大。
tan函数的周期是180度，也就是说，tanθ = tan(θ + 180)。
这就意味着，如果我们知道一个角的正切值，我们可以通过加减180度来得到相似的角的正切值。
二、tan函数的图像和性质我们可以通过绘制正切函数的图像来更好地理解它的性质。
当我们绘制tan函数的图像时，我们可以发现，它是一个周期性的函数，呈现出类似正弦函数的形状。
正切函数的图像在x轴上有无穷多个渐近线，也就是说，当x 趋近于某些特定值时，tan函数的值趋近于无穷大或负无穷大。
这些特殊值称为tan函数的不连续点。
三、tan函数的应用tan函数在实际生活中有许多应用。
例如，在建筑工程中，我们可以使用tan函数来计算斜坡的角度。
通过测量斜坡的高度和长度，我们可以使用tan函数来计算斜坡的角度，以便在设计和建设过程中做出合适的决策。
此外，tan函数还在物理学和电工学中有广泛应用。
例如，在物理学中，我们可以使用tan函数来描述沿斜面下滑的物体的加速度。
在电工学中，我们可以使用tan函数来计算电路中电阻和电流之间的关系。
四、tan函数的求解问题在九年级数学中，我们经常需要使用tan函数来解决一些三角函数的问题。
例如，我们可以使用tan函数来计算两个不同角度之间的差值。
通过使用tan函数的周期性质，我们可以将一个角度转化为相对较小的角度，从而更方便地进行计算。
另外，我们还可以使用tan函数来解决一些复杂的几何问题。
九年级下人教新课标28.1正切2教学资料
正切和余切【基础知识精讲】1.基本概念在Rt ΔABC 中，∠C 为直角，我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tgA ，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记ctgA ，即：tgA=的邻边的对边A A ∠∠，ctgA=tgAA A 1=∠∠的对边的邻边注意：当∠A 固定时，这一比值为定值.锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 2.特殊角的正切、余切值 tg30°=33,tg45°=1,tg60°=3 ctg30°=3,ctg45°=1,ctg60°=33 3.互余角的正、余切之间的关系 tgA=ctg(90°-A),ctgA=tg(90°-A)4.在0°—90°之间正切、余切值的变化情况当角度从0°增加到90°时，它的正切值从0开始逐渐增大，而余切值逐渐减小到0；当角度从90°减小到0°时，它的正切值逐渐减小到0，而余切值从0开始逐渐增大. 【重点难点解析】理解正切、余切的定义，熟记特殊角的三角函数值是本节的重点，本节的难点在于正确地应用tgA 、ctgA 表示直角三角形中两直角边的比以及会用三角函数解决一些实际的问题.例1 已知tgB=31,且∠B 为锐角，求cosB. 解：在Rt ΔABC 中，∠C=90°(图6-3)设AC=k, ∵tgB=31, ∴BC=3k 则：AB=k k k 10)3(22=+∴cosB=10103 简析：已知一个锐角的三角函数值，求这个锐角的其它三角函数值，一般解法是构造一个直角三角形，应用三角函数的定义，设出有关边的长，用勾股定理求出第三边的长，再用三角函数的定义求出所要求的三角函数的值.例2 计算(1+sin20°)(1-cos70°)+tg45°·sin 220°-tg65°·ctg65°解：(1+sin20°)(1-cos70°)+tg45°·sin 220°-tg65°·ctg65°=1-sin 220°+sin 220°-1 =0简析：这里用到cos70°=sin20°,tg65°·ctg65°=1,及tg45°=1等知识，主要考察三角函数的基础知识.例3 求tg15°解：作一直角△ABC ，使∠BCA=90°，∠A=30°，且BC=1(如图6-4)，则AC=3,AB=2 延长CA 到D ，使AD=AB=2 则DC=2+3，且∠D=15° 在Rt △DBC 中，依正切定义： tg15°=tgD=321+=DC BC =2-3 简析：本题巧妙利用特殊角30°构造直角三角ABC 及等腰△ABD ，从而出现15°角，再由定义求15°角的正切值.例4 如图6-5，已知∠C=90°，∠A=75°，AC=2,求BC 的长.解：∠B=180°-∠C-∠A=45°，作AD ⊥BC 于D ，AD=AC ·sin60°=3，BD=AD ·ctg45°=3,CD=AD ·ctg60°=1则BC=BD+CD=3+1简析：作三角形的高，将原三角形划分成两个直角三角形来解决问题，是一种常用的解题方法.【难题巧解点拨】例1 如图6-6，在四边形ABCD 中，∠A=150°∠B=∠D=90°AB=5，CD=15，求AD 、BC.解：延长DA 、CB 相交于E ，在Rt △ABC 中 ∵∠DAB=150°∴∠EAB=30° ∴AE=︒30cos AB =235=3310BE=5tg30°=335 在Rt △ABC 中，∠C=360°-∠D-∠ABC-∠BAC=30° ∴DE=CD ·tg30°=15×33=53 ∴AD=DE-AE=53-3103=335∴CE=2DE=103 ∴BC=CE-BE=103-335=3325简析：这是一个四边形的问题，通过“添补”使它转化为直角三角形，再利用三角函数所提示的边角关系解决问题，这种“添补”是一种重要的方法，它将不规则图形“添补”为规则图形，从而将问题简化.例2 如图6-7，△ABC 为锐角三角形，求证tgA ·tgB ＞1证明：以AB 以直径作半圆，C 必落在圆外.设半圆交高于CD 于M ，则 tgA ·tgB=DB CD AD CD •＞DBMDAD MD •又MD 2=AD ·BD ∴tgA ·tgB ＞1简析：本题通过将tgA ·tgB 用线段的比表示出来，再通过作图将AD ·BD 转化为DM 2，从而达到证题目的.【课本难题解答】1.已知∠A 为锐角，求证：tgA=AAcos sin . 分析：此题主要考察学生对三角函数的定义的理解.同时也给出了正弦、余弦函数与正切、余切函数之间的关系(同样有ctgA=AAsin cos ). 其证明只须作出一个直角三角形，其中一锐角为∠A ，由定义表示tgA 、sinA 、cosA 代入即得证. 2.在Rt △ABC 中，AC=18，BC=14，求AB 及∠A 的四个三角函数值.(其中∠C=90°)分析：首先由勾股定理可求AB=2130,其次再由定义求出四个三角函数值，此题应注意分母有理化. 【典型热点考题】例1 在4、 tg45°、cos30°、2、-9五个实数中，有理数的个数是( )(常州市中考题) A.5 B.2 C.3 D.4 分析：本题主要考察无理数及特殊角的三角函数值，选C.例2 燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图6-8其中燕尾角B 是55°，外口宽AD 是180mm ，燕尾槽的深度是16mm ，求它的里口宽BC(精确到1mm)以下数据可供选用：sin55°=0.82 ,cos55°=0.57 ,tg55°=1.43 ,ctg55°=0.70(厦门市中考题)解：分别作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F在Rt △ABC 中，ctgB=AEBE∴BE=AE ·ctgB=60×0.70=42.0(mm) BC=2BE+AD=2×42.0+180=264(mm) 答：燕尾槽的里口宽BC 为264mm.分析：这是一道常见的应用题类型.本题通过作高得直角三角形，再用余切函数求出相关边长. 例3 计算2sin30°-2cos60°+tg45°+ctg44°·ctg46°(1997年辽宁省中考题) 简析：由sin30°=21=cos60°,tg45°=1,ctg44°=tg46°,tg46°·ctg46°=1等知识易求得原式=2，这里主要考察特殊角的函数值及互余角的三角函数关系，正、余切的关系等，题目虽不以难，但涉及知识的比较全面.【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分)一、填空(6分×5=30分)(1)在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=7则tgA= ，tgB= ,ctgA= .(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2则tgA= ,tgB= ,ctgA= .(3)tg10°·tg20°·tg30°·tg40°·tg50°·tg60°·tg70°·tg80°= .(4)tg 230°+2sin60°·ctg45°-ctg60°-sin 228°-sin 262°= . (5)在Rt △ABC 中，∠C=90°，tgA=36,则sinA= . 二、选择题：(6分×5=30分)(1)若tg α·tg10°=1,则锐角α等于( ) A.10°B.80°C.(101)° D.(801)° (2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边上的高，则DBCD等于( ) A.sinA B.cosA C.tgA D.ctgA (3)下列各式正确的是( )A.tg20°+ctg20°=1B.tg20°-ctg20°=1C.tg20°·ctg20°=1D.(tg20°) 2+(ctg20°)2=1 (4)下列关系成立的是( )A.sin60°＞cos30°,tg30°＜ctg60°B.sin60°＞cos30°,tg30°＞ctg60°C.sin60°-cos30°=tg30°-ctg60°=0D.sin 260°+cos 230°=1 (5)若A 、B 、C 为任意三角形的三个内角，下列各式能成立的是( )A.sin2A =cos 2C B + B.sin 2A =tg 2CB +C.cos2A=cos 2C B + D. tg2A =tg 2CB +三、解答题(8分×5=40分) (1)已知锐角α满足tg α=2,求ααααsin 2cos 5cos 3sin 4+-的值.(2)已知sinA=33，求tgA 的值.(3)已知Rt △ABC 中，∠A=45°，∠B=15°，AC=1，求BC. (4)计算231+-(2-3)+2cos45°-3tg30°(5)如图6-9，从山顶A 望地面C 、D 两点，俯角分别45°、60°、测得CD=100m ，求山高AB.【素质优化训练】1.在正方形ABCD的边CD上取一点E，使BC+CD=AE，又DC的中点为M，记∠DAM=α.∠EAB=β，求证tg2α+ctgβ=12. △ABC中，AD是BC边上的高，∠C=60°，BC=2+3，tgB=2，求AD的长.【生活实际运用】如图6-10有人在湖边离湖面高h的A处测得湖面上方气球M的仰角为α.测得气球在湖面中的影子M′的府角β，求气球M的高度.参考答案【同步达纲练习】一、(1)1032;3102,20103 (2)26,26,36(3)1 (4)3)13(2- (5)510二、B D C C A三、(1)分子分母同除以cos α得结果为95；(2)sinA=33=c a ，设c=k,则a=33k,b=36k,tgA=22 (3)作高CD ，则AC ·sin45°=22，则BC=︒15tg CD ≈2.7，(也可作高BE 列方程)求准确值. (4)23- (5)设：AB=x ，则BC=x,BD=AB ·ctg60°=33x ，∵CD=BC-BD=100，∴x-33x=100，∴x=150+503【素质优化训练】1．作EF ⊥AB 于F ，设正方形边长为1，AF=x ，则CE=1-x ，则CE=1-x ，AE=2-x ，故(2-x)2=x 2+1，x=43，ctg β=43,tg α=21=AD DM ,∴(tg α)2+ctg β=1 2．23【生活实际运用】设气球M 的高为x ，则MC=MD-CD=x-h ，M ′C=x+h ，∵AC=MC ·ctg α=(x-h)ctg α，AC=M ′C ·ctg β=(x+h)ctg β,∴(x-h)ctg α=(x+h)ctg β,∴x=βαβαctg ctg ctg ctg -+h。
三角函数知识点归纳总结初三
三角函数知识点归纳总结初三三角函数是数学中重要的一部分,在初三阶段的学习过程中,三角函数的知识点是较为集中的。
以下是三角函数知识点归纳总结:一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数的定义域是任意实数x,值域是x不等于0的情况下,正弦函数是x,余弦函数是π-x。
正弦函数的周期是2π,正弦函数的最大值在x=0处取得。
余弦函数的周期也是2π,但余弦函数的最大值在x=π/2处取得。
二、正切函数正切函数的定义域是任意实数x和y,值域是x不等于0且y不等于0的情况下,正切函数是x,y。
正切函数的周期性是2π/2,即正切函数的值在两个周期之间循环。
在极坐标系中,正切函数的值可以通过对x取极值来表示。
三、三角函数的图像正弦函数和余弦函数的图像呈“S”形,当x=0时,y取最大值,当y=0时,x取最小值。
正切函数的图像呈“E”形,在x=0处取得最大值,在y=0处取得最小值。
四、三角函数的应用正弦函数和余弦函数在解直角三角形、立体几何、平面向量等方面有广泛的应用。
正切函数在解直角三角形应用最为广泛,可以用于计算角、边的关系。
五、三角函数的公式正弦函数和余弦函数的公式如下:正弦函数:sinθ=√(1-cos2θ)sinθ=2cos2θ-1cosθ=2(1-cos2θ)/√(1-cos2θ)sin2θ=2cos2θ=1-cos2θ余弦函数:cosθ=√(1-sin2θ)cosθ=2sin2θ-1cosθ=2(1-sin2θ)/√(1-sin2θ)cos2θ=2sin2θ=1-sin2θ六、三角函数的解题方法正弦函数和余弦函数的解题方法较多,一般可以通过求导、化简、代入等方法求解。
正切函数的解题方法较多,可以通过直接计算、求导、化简等方法求解。
以上是三角函数的知识点归纳总结,希望能有所帮助。
在后续的学习中,可以多练习,加深对三角函数的理解和掌握。
九年级数学下册知识点总结
图1九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
九年级数学正切和余切
正切和余切【学习目标】1．了解正切、余切概念的意义及正切和余切互为倒数的关系．2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并会用这些数值计算、化简含有特殊角的三角函数的式子，会根据特殊角的三角函数值说出对应角的度数．3．了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系． 4．会用有关锐角三角函数的知识解决一些求直角三角形中未知元素的问题． 【主体知识归纳】1．正切：如图1，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan ．即tanA ＝baA A =∠∠的邻边的对边．2．余切：如图1，∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotB ＝Aa b A A tan 1==∠∠的对边的邻边． 3．锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．4．互余两个锐角的正切值与余切值之间的关系：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值，即tanA ＝cot （90°－A ），cotA ＝tan （90°－A ）． 5．特殊角的正切、余切值【基础知识讲解】1． 理解锐角三角函数的意义，必须注意：一个锐角的三角函数值实际上是一个比值，无单位，只是一个数值；当这个锐角取任意一个固定值时，这一比值也是一个固定值．这个值与它所在三角形的大小没有关系．如图2的甲、乙两个直角三角形，大小显然不等，但∠A ＝∠A ′＝30°，tan ＝33，tan ′＝33，也就是说，∠A 的正切值没有因为所在三角形的大小而改变，同样，余切值也没有改变．2．求锐角三角函数的值我们知道，求一个锐角的三角函数值，就是应用相关概念、性质、定理等，求该锐角所在直角三角形某两边的比值．而确定有关比值的方法，在常见的题目中，根据已知条件的不同，一般可分为两类：第一类是已知各边的大小或能够求出各边的大小；第二类是无法求出各边的大小，已知各边间的倍数关系或能够求出各边间的倍数关系．解决第二类问题一般采用辅助元的方法，通过已知条件的转化，用辅助元表示直角三角形的各边，消元后求得．显然，此类问题体现着概念的灵活运用，题目常具有一定的综合性，涉及到初中代数、几何等知识．3．直角三角形中各元素之间的关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则 (1)两个锐角的关系——互余，即A ＋B ＝90°； (2)边与边的关系——勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角的关系——锐角三角函数，即 sinA ＝ca＝cosB ， cosA ＝c b ＝sinA ，tanA ＝b a ＝cotB ， cotA ＝ab＝tanB ． 【例题精讲】 例1：计算：（1）2)60tan 1(︒-–sin60°； （2）22tan 301tan 45cot 301cot 60cot 45tan 60︒-︒︒--︒︒+︒； （3）4sin 30cos 72cos(45)sin18cos 72cos(45)αα︒︒︒++︒+︒︒-–cot(45°＋α)(0°＜α＜45°)；（4）tan 260°–2cos45°＋sin 225°＋sin 265°–3cot 260°． 解：（1）原式＝｜1–tan60°｜–sin60°＝｜1–3｜–23＝23–1． (2)原式＝)32(3313193133231311)33(13322+--=+---=+⨯---⨯＝2． (3)原式＝)45cos()45cos(72cos 72cos 72cos 2αα-︒+︒+︒+︒︒–cot(45°＋α) ＝︒︒72cos 272cos 2＋cot(45°＋α)–cot(45°＋α)＝1．(4)原式＝(3)2–2×22＋(sin 225°＋cos 225°)–3×(33)2＝3–2＋1–1＝3–2．说明：（1）三角函数的计算要遵循以下原则：当所给的角是特殊角时，只要把特殊角的三角函数值代入计算即可；当所给的角不是特殊角而又要求不查表时，要注意灵活运用同角的三角函数关系和互为余角的三角函数关系进行化简．(2)本例的第（4）题，用到了“sin 2α＋cos 2α＝1”这个关系式，你不妨证明一下．例2：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边长都扩大3倍，那么∠B 的正切值和余切值( )A ．没有变化B ．都扩大3倍C ．都缩小3倍D ．不能确定剖析：在Rt △ABC 中，各边长都扩大3倍后，三角形是否是直角三角形，若是，则可用三角函数定义；若不是，则不能直接用三角函数定义．由(3a)2＋(3b)2＝9(a 2＋b 2)＝9c 2＝(3c)2．所以三角形还是直角三角函数，故可用三角函数的定义．解法一：∵a 2＋b 2＝c 2，(3a)2＋(3b)2＝9a 2＋9b 2＝9(a 2＋b 2)， ∴(3a)2＋(3b)2＝(3c)2．即各边长扩大3倍后，三角形仍然是直角三角形． 由三角函数定义，得 tan ＝b a b a =33，cot ＝aba b =33． ∴∠B 的正切值和余切值不变．故选A ． 解法二：∵三角形各边扩大相同的倍数， ∴得到的三角形与原三角形相似． ∴对应角相等．即∠B 的三角函数值不变．例3:在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且已知AC ＝b ，∠A ＝α，那么边BC 的长为( )A ．b ·sin αB ．b ·cos αC ．b ·tan αD ．b ·cot α剖析：在直角三角形中，由三角函数定义知，已知三角函数中三个量的任何两个量，都可以求出另外一个量．解：在Rt △ABC 中，由三角函数定义，得 tan α＝ACBC，∴BC ＝AC ·tan α． 即a ＝b ·tan α． 故应选C ．说明：由于AC 、∠A 是已知的，所以要求a 的值，就必须用与AC 、与∠A 有关的三角函数来表示．本题主要考查两点，其一是正确理解如何用已知元素表示未知元素；其二是能熟练地用直角三角形两边的比表示一锐角的三角函数．例4:计算：tan 260°＋tan(43°＋α)–cot(47°–α)–tan44°·tan45°·tan46°．剖析：要求上式的值，必须知道各项的值，或者可以把未知项消去．显然本式中的tan60°、tan45°的值都是已知的，tan （43°＋α）、cos(47°–α)、tan44°、tan46°的值都不知道．通过观察分析可知，tan(43°＋α)与cot(47°–α)的值相等，tan44°与tan46°的积等于1．所以上式的值可求．解：原式＝(3)2＋tan(43°＋α)–tan ［90°–(47°–α)］–tan44°·1·cot(90°–46°)＝3＋tan(43°＋α)–tan(43°＋α)–tan44°·cot44° ＝3–1＝2．说明：在遇到非特殊角的三角函数式求值时，要注意灵活运用互为余角三角函数及同角三角函数之间的关系．例5：如图3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，连结CD ，若tan ∠ECB ＝31，求∠A 的四个三角函数值．解：如图3，取CD 的中点E ，连结BE ． ∵点B 、E 分别为AD 、CD 的中点， ∴B Ｅ∥AC ，且AC ＝2B Ｅ． ∴∠CBE ＝∠ACB ＝90°． ∴tan ∠ECB ＝BCBE ＝31． 设BE ＝m （m ＞0），则AC ＝2m ，BC ＝3m ． 在Rt △ABC 中，AB ＝1322=+BC AC m ． ∴sinA ＝13133133==m m AB BC ，cosA ＝13132132==mm AB AC ， tanA ＝2323==m m AC BC ，cotA ＝3232==m m BC AC . 说明：(1)为了利用tan ∠ECB ＝31，需构造∠ECB 所在的直角三角形．(2)在求sinA, tanA 的值后，还可用同角的三角函数关系求cosA 、cotA 的值．同角的三角函数有以下几种关系：①平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1②商式关系：tanA ＝A A cos sin ，cotA ＝A Asin cos ． ③倒数关系：tanA ＝Acot 1，即tanA ·cotA ＝1．例6：已知tan α＝2，求ααcos sin 2cos 3sin +-a a的值．剖析：（1）要求该式子的值，只要求出sin α、cos α的值即可，而已知的是tan α的值，如果通过恒等变形，把式子中的sin α、cos α用tan α表示也可以，显然分子、分母同除以cos α即可．(2)由已知tan α＝2，可知sin α＝2cos α，把该式代入原式也可以求值．解法一：原式＝1tan 23tan cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin +-=+-αααααααααα， ∵tan α＝2，∴原式＝5112232-=+⨯-．解法二：∵tan α＝ααcos sin ＝2， ∴sin α＝2cos α． 原式＝51cos 5cos cos cos 22cos 3cos 2--=+⨯-αααααα．说明：在进行三角函数的有关计算时，常利用有关公式进行恒等变形，怎样变形？要根据题目的特点有目的地进行变形．【知识拓展】你知道古埃及是怎样测量金字塔高度的吗？你知道古埃及的金字塔吗?它们是古代埃及国王们的坟墓，那是一些古老雄伟的建筑，也是古埃及劳动人民智慧的结晶．两千六百多年前，埃及有个国王，想要知道已经盖好了的大金字塔的高度，可是谁也不知道怎样测量．人爬到塔顶上去吧，不可能．因为塔身是斜的，就是爬上去了，又用什么方法来测量呢?后来，国王找到了一个名叫法列士的学者来设法解决这个问题，法列士答应了，他选择了一个风和日丽的日子，在国王、祭司们的亲自驾临下，举行了测塔仪式．看热闹的人当然不少，人们拥挤着、议论着．看看时间已经不早了，太阳光给每一个在场的人和巨大的金字塔都投下了长长的影子。