等比性质与应用
第二讲等比数列的性质及应用(学生版)
等比数列的性质及应用【等比数列的概念】 （1）等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q 表示()0≠q . （2）对等比数列的概念的认识 理解这个概念，要注意以下四点：①每一项与它前一项的比是同一个常数，具备任意性； ②每一项与它前一项的比是同一个常数，强调是同一个；③每一项与它前一项的比是同一个常数，是有序的，也正是这种有序性才决定q 的确定性； ④公比0≠q 这是必然的，也就是不存在0=q 的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不可能存在数值为0的项. （3）等比中项一般地，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.若G 是a 与b 的等比中项，则Gba G =，所以ab G =2，即.ab G ±= ①同号非零两数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数.②一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项.【例题1】下面各数列是等比数列的是__________（填序号）. ①;8,4,2,1----②;4,3,2,1 ③;,,,x x x x④;1,1,1,1432a a a a【例题2】32+与32-的等比中项是__________.【等比数列的通项公式】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则这个等比数列的通项公式是,11-=n n q a a ()0,*≠∈q N n .（2）若{}n a 是等比数列，则,11-=n n q a a m n m n m n mnm m q a a q a a qa a ---=∴==,,11. 【例题3】一个等比数列的前三项依次是33,22,++a a a .那么2113-是该数列中的第__________项.【例题4】已知等比数列{}n a ，若8,7321321=⋅⋅=++a a a a a a ，则=n a __________.【例题5】已知{}n a 是等比数列，则在下列数列：{}n a c -，c 为常数；③{}2n a ；④{}n a 2；⑤{}1-+n n a a ；⑥{}n a lg 中，成等比数列的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【等比数列性质】（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，那么：①当0,100,111<<<>>a q a q 或时，数列{}n a 是递增数列；当或0,11<>a q 10<<q ，01>a 时，数列{}n a 是递减数列；当1=q 时，数列{}n a 是常数列；当0<q 时，数列{}n a 是摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号） ②mn m n qa a -=()*,N m n ∈.③当l k n m +=+()*,,,Nl k n m ∈时，有l k m na a a a⋅=⋅.④数列{}n a 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即123121...+---⋅==⋅=⋅=⋅m n m n n n a a a a a a a a .⑤数列{}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为'q 的等比数列，则数列{}n n b a ⋅是公比为q 'q ⋅q 1的等比数列；数列{}n a 是公比为q 的等比数列.⑥在数列{}n a 中，每隔()*N k k ∈项取出一个项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为1+k q .⑦当数列{}n a 是各项都为正数的等比数列时，数列{}n a lg 是公差为q lg 的等差数列. ⑧在数列{}n a 中，连续相邻k 项的和（或积）构成公比为k q （或2k q ）的等比数列.⑨若()*,,,,N p n m p n m ∈成等差数列，则p n m a a a ,,成等比数列.【例题6】已知数列{}n a 为等比数列.若0>n a ，且362645342=++a a a a a a ，则53a a +的值为__________.【例题7】已知在等比数列{}n a 中，11062=a a a ，则=⋅93a a __________.【例题8】已知数列{}n a 是公比1≠q 的等比数列，四个数列中，是等比数列的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【例题9】在正项等比数列{}n a 中，7538,2a a a ==，则10a 等于（ ）A.1281 B.2561 C.5121 D.10241【例题10】等比数列{}n a 同时满足以下三个条件：①1161=+a a ；②93243=⋅a a ；③三个数94,,324232+a a a 依次成等差数列.求数列{}n a 的通项公式. 答案：1231-⋅=n n a ()*N n ∈. 【等比数列的设项方法】对于等差、等比数列的综合运算问题，应该合理地设出所求量. 一般来说，三个数成等比数列时可设这三个数分别为aq a qa,,；三个数成等差数列时可设这三个数分别为d a a d a +-,,；四个数成等差数列时，可设为d a d a d a d a 3,,,3++--，但当四个数成等比数列时，不能设这四个数分别为33,,,aq a qa q a ，这样隐含了公比02>q 这一条件，可能会产生失根；【例题11】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.【例题12】数列{}n a 是等差数列，若5,3,1531+++a a a 构成公比为q 的等比数列，则=q __________.【例题13】在等差数列{}n a 中，已知公差2,2a d =是41a a 与的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21+=n n n a b ，记()n nn b b b b b T 1...4321-+-+-+-=，求n T .【例题14】已知数列{}n a 中，12111+==+n n a a a 且，则=n a __________.【例题15】如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，然后擦去此段，得图（2），如此继续下去，得图（3），...，那么第n 个图形的边长和周长分别为__________、__________.【等比数列的前n 项和】 （1）等比数列的前n 项和公式若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，其前n 项和的公式为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==11111111q q qa a q q a q na S n n n 【例题16】已知在等比数列{}n a 中，214,2333==S a ，则=1a __________.【例题17】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，则数列的公比=q __________.【等比数列的前n 项和的性质】（1）连续m 项的和（如,...,,232m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列. （注意：这连续m 项的和必须非零才成立）【例题18】等比数列{}n a 中，60,202==m m S S ，则=m S 3__________.（2）若项数为n 2()*N n ∈，则q S S =奇偶.【例题19】一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则通项公式=n a __________.（3）m nn n m S q S S +=+. 【例题20】在等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，若255,783==S S ，且公比为2，则=11S __________.【例题21】已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比=q __________.【等比数列前n 项的和公式的应用】（1）等比数列{}n a 中，已知()1,,1≠q q a a n 时，利用公式qqa a S n n --=11求和较为方便；已知()n q q a ,1,1≠时，利用公式()qq a S nn --=111求和较为方便.（2）等比数列前n 项的和的公式的应用中，要注意前n 项和公式需分类讨论，即11=≠q q 和时不同的公式形式，不可忽略1=q 的情况.（3）在等比数列中，对于n n S q n a a ,,,,1五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常列方程组来解答问题，有时会涉及高次方程或指数方程，可能遇到困难，这时要注意表达式有什么特点，在采取必要的数学方法处理.（4）求非等差、等比数列的前n 项和，首先要确定数列的通项公式，然后根据通项公式的特点确定如何分拆，一般情况下，分拆后可分别用等差或等比数列的前n 项和公式求解.【例题22】（1）设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项的和，证明：15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .（2）求证：等比数列中有()n n n n n S S S S S 32222+=+.【常用性质】（1）项的个数的“奇偶”性质：等比数列{}n a 中，公比为q . ①若共有n 2()*N n ∈项，则q S S =奇偶:；②若共有12+n ()*N n ∈项，则()111221-≠≠++=-+q q qa a S S n 且偶奇.（2）“片断和”性质：等比数列{}n a 中，公比为q ，前m 项的和()0≠m m S S ，则,,2m m m S S S -,...,...,)1(23m k km m m S S S S ---构成公比为m q 的等比数列，即等比数列的前m 项的和与以后依次m 项的和构成等比数列.（3）“相关和”性质：m nn m n S q S S +=+.【例题23】已知等比数列{}n a 中，前10项和1010=S ，前20项和3020=S ，则=30S __________.【例题24】已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S .{}n b 是等比数列，且211==b a ， 10,274444=-=+b S b a .（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记n n n b a b a b a T +++=...2211()*N n ∈，证明118+-=-n n n b a T ()2,*>∈n N n .【例题25】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n ()*N n ∈等于__________.【例题26】某地现有居民住房的总面积为2am ，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以%10的住房增长率建新住房.（1）如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少（可取6.21.110≈）？（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当地住房总面积的百分比是多少（保留到小数点后1位）？【例题27】给出一个“三角形数阵”：...163,83,4341,2141已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第i 行第j 列的数为()*,N j i j i a ij ∈≥、. （1）求83a ；（2）试写出ij a 关于j i 、的表达式；（3）记第n 行所有数的和为n A ，求数列{}n A 的前m 项和m B 的表达式.。
等比数列的性质及其应用
等比数列的性质及其应用等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比值相等。
具体地说，如果一个数列的首项为a1，公比为q，那么它的第n个项an应该为an=a1*q^(n-1)。
等比数列常常出现在各种数学问题中，尤其是有关增长和衰减的问题，同时也被广泛地应用在物理、工程、经济和环境等领域。
在本文中，我们将介绍等比数列的一些基本性质，以及它们在实际问题中的应用。
1. 比率在等比数列中，每一项和前一项的比值是相等的。
如果我们设第k 项和第k-1项的比值为r，那么有r=ak/ak-1=q，其中q为等比数列的公比。
这意味着，对于任意两项之间，你都可以用它们的比率r = ak / ak-1 来计算它们之间的关系。
2. 前n项和等比数列的前n项和可以用下面的公式来计算：sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1是等比数列的首项，q是等比数列的公比。
3. 通项公式中的a1和q等比数列的通项公式是an=a1*q^(n-1)。
从这里可以发现，当我们知道首项和公比时，我们可以轻松地计算出数列中的任何一项。
另外，如果我们知道数列中的两项，我们也可以计算出公比和首项。
4. 应用等比数列在各种实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些例子：成倍增长：如果一个流行病的感染者数量每天都成倍增长，那么这个增长就可以被建模为一个等比数列。
在这种情况下，第n天的感染者数量可以表示为P=Pa^(n-1)，其中P是第n天的感染者人数，Pa是第一天的感染者人数，a是增长的倍数（公比）。
污染问题：如果我们知道一个环境污染物的衰减速率和初始浓度，那么等比数列就可以被用来建立这个污染物的浓度随时间变化的模型。
在这种情况下，等比数列的首项是污染物的初始浓度，公比是污染物每一次衰减的比率，数列的第n项则是随着时间推移被衰减后的污染物浓度。
财务问题：等比数列也被用来描述各种财务问题中的增长或衰减。
例如，如果一笔投资的每年增长率是10%（利率固定），那么等比数列就可以被用来计算出投资在未来数年中的总价值。
初二数学等比数列性质详解
初二数学等比数列性质详解等比数列是数学中常见的一种数列形式，其性质和特点非常重要。
本文将详细介绍等比数列的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与它的前一个数的比值都相等的数列。
这个比值称为公比，通常用字母q表示。
具体地说，一个等比数列可以写成下面的形式：a，aq，aq²，aq³，……其中a为首项，q为公比。
二、等比数列的性质1. 任意项与首项的比值为公比对于等比数列中的任意一项，与它之前的一项的比值都等于公比q。
这可以用公式表示为：an/an-1=q其中an为数列的第n项，an-1为其前一项。
2. 任意项与任意前一项的比值为公比对于等比数列中的任意两项，它们的比值都等于公比q。
这可以用下面的公式表示：an/am=q^(n-m)其中an和am为数列的第n项和第m项，n>m。
3. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以表示为：an=a*q^(n-1)其中an为数列的第n项，a为首项，q为公比。
4. 等比数列前n项和的公式对于等比数列的前n项和，可以使用下面的公式计算：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中Sn为前n项和，a为首项，q为公比。
三、等比数列的应用等比数列广泛应用于各种数学问题和实际应用中。
以下是一些常见的应用场景。
1. 财务问题在一些财务问题中，等比数列可以用于计算利息的变化。
例如，某存款每年按照8%的利率计算利息，那么每年的利息金额就构成一个等比数列。
2. 几何问题等比数列常常与几何图形和比例有关。
例如，一条长蛇爬行，每次爬行的距离都是前一次的一半，可以用等比数列来计算爬行的总距离。
3. 科学问题在科学研究中，等比数列可以用于模拟和描述一些现象的变化规律。
例如，放射性物质的衰变过程、细胞分裂的次数等，都可以用等比数列来表示。
综上所述，等比数列是一种常见且重要的数列形式。
通过了解等比数列的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和利用等比数列，解决各种数学问题和实际应用中的挑战。
高中数学总结归纳 等比数列的性质及应用
等比数列的性质及应用与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为nS '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22233610812n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．2302040302010()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，有t kp m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若99123992a a a a =···…·，求50a ． 解：19929849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为mq （m 为等距离的项数之差）． 例4 在等比数列{}n a 中，若12341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···． 解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．设112341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。
初中数学知识归纳等比数列的性质与应用
初中数学知识归纳等比数列的性质与应用初中数学知识归纳：等比数列的性质与应用在初中数学学习中，等比数列是一个重要的概念。
它的性质和应用广泛存在于各类数学题目中。
本文将对等比数列的性质与应用进行归纳和阐述。
一、等比数列的基本性质等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与它的前一个数的比等于一个常数。
该公比常被表示为q。
1. 公比的概念公比q是等比数列中相邻两项的比值，可以通过以下公式计算：```q = 第n项 / 第(n-1)项```其中，n表示数列的项数。
在等比数列中，任意两项之间的比值都相等，即相邻两项的比值等于公比q。
2. 通项公式等比数列的通项公式可以根据已知条件得到。
设首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则通项公式为：```aₙ = a₁ * q^(n-1)```这个公式可以帮助我们直接计算等比数列中任意一项的值。
3. 等差数列与等比数列的区别等比数列与等差数列是两个不同的数列概念。
在等差数列中，两个相邻项之间的差是常数，而在等比数列中，两个相邻项之间的比是常数。
因此，等比数列中的项之间的增长或减小呈倍数关系，而等差数列中的项之间的增长或减小是固定的。
二、等比数列的应用等比数列的性质使得它在各类数学题目中有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 成绩评定某班级的同学们在一次数学测验中，考试分数符合等比数列的规律。
已知第1位同学得了80分，而第5位同学得了5分。
我们可以利用等比数列的通项公式来求得第n位同学的分数。
设第n位同学的分数为aₙ，则有：```a₁ = 80a₅ = 5q = a₅ / a₁ = 5 / 80```带入通项公式，我们可以得到：```aₙ = 80 * (5 / 80)^(n-1)```这样我们就可以根据题目给出的条件，计算任意一位同学的分数。
2. 几何图形等比数列的概念也与几何图形有关。
例如，在绘制分形图形时，我们经常使用等比数列来确定各个图形的大小比例。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。
在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。
1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。
等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。
2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。
例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。
根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。
2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。
在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。
2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。
例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。
2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。
利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。
3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。
通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。
3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列（geometric progression）是指数列中任意两个相邻项的比等于同一个常数的数列。
在数学中，等比数列具有一些独特的性质和应用，本文将介绍这些性质以及如何应用等比数列解决一些实际问题。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比例都相等。
具体而言，如果一个数列满足对于任意的正整数 n，都有 an/an-1 = r (r ≠ 0)，其中an 表示数列的第 n 项，an-1 表示数列的前一项，r 表示公比，则该数列可以被称为等比数列。
二、等比数列的性质1. 公比的性质等比数列的公比 r 是决定数列特征的重要因素。
当 r 大于 1 时，数列呈现递增的趋势；当 0 < r < 1 时，数列呈现递减的趋势；当 r 等于 1 时，数列的各项相等；当 r 小于 0 时，数列的各项交替变号。
2. 通项公式对于等比数列的通项公式，即 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示数列的首项，an 表示数列的第 n 项。
3. 等比数列的和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) 求得。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，特别是在金融、工程、物理等领域中。
以下将介绍一些等比数列的典型应用。
1. 财务投资在财务投资中，利率往往以等比数列的形式递增或递减。
通过计算等比数列的前 n 项和，可以帮助投资者评估不同时间段内的资金增长情况，从而做出更明智的决策。
2. 网络传输等比数列在网络传输中的应用非常广泛。
例如，下载文件时，下载速度可能以等比数列递增或递减；发送数据包时，包的大小可能以等比数列的形式递增或递减。
3. 器械运动许多器械运动（如弹簧）的行为都可以通过等比数列来描述。
器械的某些性质随着使用次数的增加而发生变化，这种变化往往符合等比数列的规律。
4. 科学实验在科学实验中，等比数列被广泛用于模拟实验数据。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列的性质与应用在数学中具有重要的地位和应用价值。
一、等比数列的性质1. 公比的性质：在等比数列中，公比不为0。
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比介于0和1之间时，数列呈现递减趋势。
2. 通项公式：对于等比数列 a₁, a₂, a₃, ... ，若 a₁是首项，r 是公比，n 是项数，则第 n 项 aₙ = a₁ * r^(n-1)。
3. 特殊性质：若等比数列的首项不等于0，则任意一项都不为0。
若等比数列的首项为a，公比为r，则数列中除了首项以外的其他项的和为 S = a * (r^n - 1) / (r - 1)。
二、等比数列的应用1. 高利贷问题：高利贷问题中的本金和利息往往呈现等比数列的关系。
通过计算等比数列的和，可以帮助我们理解高利贷背后的利息计算原则，并避免陷入高利贷的陷阱。
2. 折半查找算法：在计算机科学中，折半查找算法常常运用等比数列的性质。
该算法通过将查找范围不断折半，缩小查找范围，直到找到目标元素为止。
这种算法的时间复杂度为 O(log n)，具有高效的特点。
3. 复利计算：在金融领域中，复利计算常常与等比数列紧密相关。
当存款、贷款或投资的利率按照一定的期限计算时，利息会按照等比数列的方式不断增长。
通过对等比数列的计算，可以帮助我们了解复利计算的规律，指导我们做出科学的理财决策。
总结：等比数列作为一种数学工具，具有重要的性质和广泛的应用。
通过了解等比数列的性质，我们可以在数学问题中灵活运用，提高解题能力；同时，等比数列的应用也渗透到各个领域，为我们解决实际问题提供了理论和方法支持。
因此，熟练掌握等比数列的性质和应用，对于我们的数学学习和实际生活都具有积极的意义和影响。
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等比数列
一、基本概念与公式： 1、等比数列的定义；
;)
,*∈N n m
的正比例式)；
1、等比数列
{}n a 中，若),,,(*∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ∙=∙
注意：由n S 求n a 时应注意什么？
1n =时，11a S =；
2n ≥时，1
n n n a S S -=-.
2、等比数列
{}n a 中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列．
3、公比为q 的等比数列{}n a 中的任意连续m 项的和构成的数列S m
、S
2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……（S m ≠0）仍为等
比数列，公比为m
q . 4、若{}n a 与{}n b 为两等比数列，则数列{}n ka 、{}k n a 、{}n n b a ∙、⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a （0≠k ，k 为常数）仍成等比数列． 5、若
{}n a 为等差数列，则{}n
a
c (c>0)是等比数列．
6、在等比数列{}n a 中：
（1）若项数为n 2，则 q S S =奇
偶 （2）若项数为12+n ，则
q S a S =-偶
奇1
8、数列{}n a 是公比不为1的等比数列⇔数列{}n a 前n 项和S n
=,
(1,0)n A q A q A ⋅-≠≠
9、等比数列的判定方法
（1）、a n =a n －1·q（n≥2），q 是不为零的常数，a n －1≠0{a n }是等比数列.
（2）、a n 2
=a n －1·a n ＋1（n≥2, a n －1,a n ,a n ＋1≠0）{a n }是等比数列. （3）、a n =c·q n
（c ，q 均是不为零的常数）
{a n }是等比数列。