高中数学总结归纳 等比数列的性质及应用
等比数列的性质及其应用 课件
例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0. 求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.
变式：
已知数列an满足a1 1, an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
(2)求数列an的通项公式.
小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
(2)在等比数列an中，a15 10, a45 90,则a60 270.
(3)在等比数列an中，若a1 a2 2, a3 a4 4，
则a4 a5
(4)在 1 和n间插入n个正数，使得这n 2个数成等比数列， n
求插入的这n个数的积.
Tn
1 n
a1
全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫
就叫做等差数列.
做等比数列.
数学 表达
an+1-an= d(常数)
an+1 an
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bm q nm
性质２：若n+m=2p，
则am+an=2ap.
若n+m=2p，
则aman=（ap）2.
性质３： 若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
若n+m=p+q
则bn bm=bp bq
等比数列的性质及应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
息不少于按月结算的利息（精确到10−5 ）？
分析：
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若
原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 { } ，则 { } 是等比数列，
首项 1 = 104 (1 + 0.400%)，
价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为(
A．300元
B．900元
C．2 400元
公比q=1+0.400% ，所以
12 = 104 (1 + 0.400%)12 ≈ 10 490.7
所以， 12个月后的利息为10 490.7 − 104 ≈ 491（元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列{ }，
则{ }也是一个等比数列，
首项 1 = 104 (1 + )，公比为1+r，于是
数列．
（ 2 ） 若 数 列 { } ， { } 均 为 等 比 数 列 ， c 为 不 等 于 0 的 常 数 ， 则 数 列
,
2
, ∙
, { }
也为等比数列.
【典例 3】在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1，a2，a4 成等比数列，已知数列 a1，
a3，ak1，ak2，…，akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
2
【解析】由题意得a2
＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，所以a1＝d.
又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
a3 3d
所以该数列的公比q＝a ＝ d ＝3，
等比数列定义知识点归纳总结
等比数列定义知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一种数列形式，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等比数列的定义、性质和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。
比值常用字母q表示，称为公比。
换言之，一个数列满足an+1 = an * q的关系，其中an表示第n项，an+1表示第n+1项，q表示公比。
二、等比数列的性质1. 公比的影响：公比q的绝对值决定了等比数列的性质。
当|q|<1时，等比数列的值越来越小；当|q|>1时，等比数列的值越来越大；当q=1时，等比数列的值保持不变。
2. 通项公式：对于等比数列an，第n项的通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中a1为首项。
3. 公式推导：可以通过递归或数学归纳法得到等比数列的通项公式，进而求解数列中任意一项的值。
4. 前n项和：等比数列的前n项和（部分和）可用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
三、等比数列的应用等比数列在诸多领域有广泛的应用，如金融、物理、工程等。
以下列举几个常见的应用场景：1. 财务投资：与利率相关的问题往往可以转化为等比数列问题，如计算定期存款每年的本息总额。
2. 自然科学：许多自然界的现象或物理规律可以用等比数列来描述，如累积衰减、分裂增殖等。
3. 几何问题：等比数列广泛应用于几何问题中，如计算等比数列构成的等边三角形的面积。
4. 数据分析：等比数列可用于分析一些数据序列或随机变量的增长规律，如人口增长、疾病传播等。
综上所述，等比数列是一种重要的数列形式，具有较广泛的应用价值。
通过对等比数列的定义、性质和应用的归纳总结，读者可更好地理解等比数列，并能在实际问题中灵活运用。
在解决问题时，读者可以根据题目给定的条件，利用等比数列的相关公式和性质进行推导和计算，以得到准确的结果。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
新人教版高中数学选择性必修二等比数列的应用及性质
[解] (1)等比数列{an}中，因为 a2a4＝12， 所以 a23＝a1a5＝a2a4＝12，所以 a1a23a5＝14. (2)由等比数列的性质知 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10.
[解] 法一：设前三个数依次为 a－d，a，a＋d，
则第四个数为a＋a d2，
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
解得ad＝＝44， 或ad＝＝9－，6.
所以当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0，4，8，16；
当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15，9，3，1.
法二：设第一个数为 a，则第四个数为 16－a， 设第二个数为 b，则第三个数为 12－b，
[母题探究] 1．(变条件，变结论)将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1， Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数 列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式． [证明] an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an. bbn＋n 1＝aan＋n＋2－1－22aan＋n 1＝4an＋a1－n＋14－an2－an2an＋1＝2aann＋＋11－－24aann＝2. 所以数列{bn}是公比为 2 的等比数列，首项为 a2－2a1. 因为 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以 a2＝5， 所以 b1＝a2－2a1＝3，所以 bn＝3·2n－1.
【例 3】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝2an＋n－4. (1)求 a1 的值； (2)若 bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列． [解] (1)因为 Sn＝2an＋n－4， 所以当 n＝1 时，S1＝2a1＋1－4，解得 a1＝3. (2)证明：因为 Sn＝2an＋n－4， 所以当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)， 即 an＝2an－1－1，所以 an－1＝2(an－1－1)， 又 bn＝an－1，所以 bn＝2bn－1，且 b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以 b1＝2 为首项，2 为公比的等比数列．
高中数学第四章等比数列的性质及应用课件新人教A版选择性必修第二册
(2)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列
a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是等比数列吗?其公比是什么?
提示 由于
+1
-1
的等比数列.
=
+1
2
*,所以{a a
2为公比
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等
比数列.( × )
2.(1)若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件
吗?如果不是,则是什么条件?
提示 不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有
又 a1+a3=21-a2=15,
∴a1,a3 是方程 x2-15x+36=0 的两根 3 和 12.
当 a1=3
2
时,q= =2,an=3·2n-1;
1
当 a1=12
1 -1
1
.
时,q=2,an=12· 2
(2)∵a4a8=a3q·a5q3=a3a5q4=18q4=72,
∴q4=4,∴q=±√2.
年底在原有基础上翻两番,则总产值年平均增长率为(
1
4
A.2 -1
1
5
B.2 -1
1
4
C.3 -1
)
1
5
D.3 -1
答案 A
解析 设2019年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a(1+x)8=4a,得x=
故选A.
1
24-1,
第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质 【新人教版】高中数学选修性必修第2册
反思 感悟
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1＝q(n∈N*，q 为常数且不为零) 或aan－n1＝q(n≥2，且 n∈N*，q 为常数且不为零)，则数列{an}是 等比数列. (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0， q≠0)，则数列{an}是等比数列.
021等于
019
A.－3
B.－1
√C.1
√D.9
解析 由 3a1，12a3,2a2 成等差数列可得 a3＝3a1＋2a2，
即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1.
∴a2 a2
020－a2 018－a2
021＝a2 019 a2
00128011－－qq＝aa22
又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
等比数列.
(数4)列若，{a且n}是公等比比分数别列是，q公，比1q，为q2q，. 则数列{λan}(λ≠0)，a1n，{a2n}都是等比
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 p
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
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第四章 4.3.1 等比数列的概念
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列的性质与应用在数学中具有重要的地位和应用价值。
一、等比数列的性质1. 公比的性质：在等比数列中，公比不为0。
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比介于0和1之间时，数列呈现递减趋势。
2. 通项公式：对于等比数列 a₁, a₂, a₃, ... ，若 a₁是首项，r 是公比，n 是项数，则第 n 项 aₙ = a₁ * r^(n-1)。
3. 特殊性质：若等比数列的首项不等于0，则任意一项都不为0。
若等比数列的首项为a，公比为r，则数列中除了首项以外的其他项的和为 S = a * (r^n - 1) / (r - 1)。
二、等比数列的应用1. 高利贷问题：高利贷问题中的本金和利息往往呈现等比数列的关系。
通过计算等比数列的和，可以帮助我们理解高利贷背后的利息计算原则，并避免陷入高利贷的陷阱。
2. 折半查找算法：在计算机科学中，折半查找算法常常运用等比数列的性质。
该算法通过将查找范围不断折半，缩小查找范围，直到找到目标元素为止。
这种算法的时间复杂度为 O(log n)，具有高效的特点。
3. 复利计算：在金融领域中，复利计算常常与等比数列紧密相关。
当存款、贷款或投资的利率按照一定的期限计算时，利息会按照等比数列的方式不断增长。
通过对等比数列的计算，可以帮助我们了解复利计算的规律，指导我们做出科学的理财决策。
总结：等比数列作为一种数学工具，具有重要的性质和广泛的应用。
通过了解等比数列的性质，我们可以在数学问题中灵活运用，提高解题能力；同时，等比数列的应用也渗透到各个领域，为我们解决实际问题提供了理论和方法支持。
因此，熟练掌握等比数列的性质和应用，对于我们的数学学习和实际生活都具有积极的意义和影响。
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等比数列的性质及应用
与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．
一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为n
S '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2
n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．
例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．
解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22
233610812
n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．
例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，
即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．
2
302040302010
()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，
且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，
有t k
p m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若9912
3992a a a a =···…·，求50a ． 解：1992
9849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912
399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．
三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为m
q （m 为等距离的项数之差）． 例4 在等比数列{}n a 中，若12
341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···． 解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．
设112
341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．
10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。