(完整版)等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且q 2、通项公式：，首项：；公比：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠1a q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或,,a A b A a b 2A ab =A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列{}n a 211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前项和公式：n n S （1）当时，1q =1n S na =（2）当时，1q ≠()11111n n n a q a a qS q q--==--（为常数）11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---,,','A B A B 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列n 11(0){}n n n n n na a qa q qa a a ++==≠⇔或为常数，（2）等比中项：为等比数列21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔（3）通项公式：为等比数列()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且1{}n n n a qa a +=⇔7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。

*,m n N ∈{}n a n m n m a a q -=（3）若，则。

特别的，当时，得*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈n m s t a a a a ⋅=⋅2m n k +=注：2n m k a a a ⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列中，, ,求.{}n a 1964a a ⋅=3720a a +=11a 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出1a q 和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.1a q 11a 1937+=+3a 7a 11a 解析：法一：设此数列公比为，则q 8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由(2)得：..........(3) 241(1)20a q q +=∴.10a >由(1)得： , ∴ (4)421()64a q =418a q =(3)÷(4)得：，42120582q q +==∴,解得或422520q q -+=22q =212q =当时，，；22q =12a =1011164a a q =⋅=当时，，.21q =132a =101111a a q =⋅=定义da a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式da a n n +=-1；mda a n m n +=-q a a n n 1-=；mn m n q a a -=通项公式dn a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（0,,* k n N k n ∈）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅法二：∵,又,193764a a a a ⋅=⋅=3720a a += ∴、为方程的两实数根，3a 7a 220640x x -+= ∴ 或⎩⎨⎧==41673a a ⎩⎨⎧==16473a a ∵, ∴或.23117a a a ⋅=271131a a a ==1164a =总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【答案】±96法一：设公比为q ，则768=a 1q 8，q 8=256，∴q=±2，∴a 6=±96；法二：a 52=a 1a 9a 5=±48q=±2，∴a 6=±96。

⇒⇒【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【答案】64；∵，又a n ＞0，∴a 45=421894516a a a ==∴。

34445464564a a a a ==【变式3】已知等比数列，若，，求。

{}n a 1237a a a ++=1238a a a =n a 【答案】或；12n n a -=32n n a -=法一：∵，∴，∴2132a a a =312328a a a a ==22a =从而解之得，或，13135,4a a a a +=⎧⎨=⎩11a =34a =14a =31a =当时，；当时，。

11a =2q =14a =12q =故或。

12n n a -=32n n a -=法二：由等比数列的定义知，21a a q =231a a q =代入已知得2111211178a a q a q a a q a q ⎧++=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩21331(1)7,8a q q a q ⎧++=⎪⇒⎨=⎪⎩211(1)7,(1)2(2)a q q a q ⎧++=⇒⎨=⎩将代入（1）得，12a q=22520q q -+=解得或2q =12q =由（2）得或 ，以下同方法一。

112a q =⎧⎨=⎩1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩类型二：等比数列的前n 项和公式例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由得，，3692S S S +=369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，由q≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，因q 3≠1，故，所以312q =-q =举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。

111,,,39【答案】；364243∵，，11a =13q =6n =∴。

666111331364112324313S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5.【答案】；1211219或∵，，则a 1=1或a 1=9322273a a =⇒=31(1)113313a q q q q -=⇒==-或∴.5555191131213121S 113913S ⎛⎫⨯ ⎪-⎝⎭==-－或＝＝－【变式3】在等比数列中，，，，求和。

{}n a 166n a a +=21128n a a -⋅=126n S =n q 【答案】或2，；12q =6n =∵，∴211n n a a a a -⋅=⋅1128n a a =解方程组，得 或1112866n n a a a a =⎧⎨+=⎩1642n a a =⎧⎨=⎩1264n a a =⎧⎨=⎩①将代入，得，1642n a a =⎧⎨=⎩11n n a a q S q -=-12q =由，解得；11n n a a q -=6n =②将代入，得，1264n a a =⎧⎨=⎩11n n a a q S q -=-2q =由，解得。

11n n a a q -=6n =∴或2，。

12q =6n =类型三：等比数列的性质例3. 等比数列中，若,求.{}n a 569a a ⋅=3132310log log ...log a a a +++解析：∵是等比数列，∴{}n a 110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=∴ 1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅== 举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.{}n a 【答案】100；∵lga 1+lga 2+lga 3+……+lga 100=lg(a 1·a 2·a 3·……·a 100)而a 1·a 100=a 2·a 99=a 3·a 98=……=a 50·a 51∴原式=lg(a 1·a 100)50=50lg(a 1·a 100)=50×lg100=100。

【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为83272________。

法一：设这个等比数列为，其公比为，{}n a q ∵，，∴，183a =445127823a a q q ===⋅48116q =294q =∴。

23362341111a a a a q a q a q a q ⋅⋅=⋅⋅=⋅33389621634⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭法二：设这个等比数列为，公比为，则，，{}n a q 183a =5272a =加入的三项分别为，，，2a 3a 4a 由题意，，也成等比数列，∴，故，1a 3a 5a 238273632a =⨯=36a =∴。

23234333216a a a a a a ⋅⋅=⋅==类型四：等比数列前n 项和公式的性质例4．在等比数列中，已知，，求。