带电粒子在有界磁场中运动解题方法总结

带电粒子在有界磁场中运动解题方法总结

此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是：

①轨迹圆的缩放：

当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”.

例1一个质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），

从O点处沿+y方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强

磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别是

y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B满足条件_________

时，粒子将从上边界射出：当B满足条件_________时，

粒子将从左边界射出：当B满足条件_________时，粒子

将从下边界射出：

例2 如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。

【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则

相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。

临界半径R0由

d

Cosθ

R

R0

=

+

有: θ

+

=

Cos

1

d

R 0

；

故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0

即:

θ

+

≥

=

Cos

1

d

qB

mv

R0

有:

)

Cos

1(

m

qBd

v0

θ

+

≥

。

图9-8 图9-9 图

9-10

由图知粒子不可能从P 点下方向射出EF ，即只能从P 点上方某一区域射出；

又由于粒子从点A 进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG 直线上方射出；由此可见EF 中有粒子射出的区域为PG ，

且由图知:

θ

+θ+θ

=

θ+θ=cot d Cos 1dSin cot d Sin R PG 0。

例3 如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为

B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ = 30°、大小为v 0的带正电

粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，

求：（1）粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围. （2）如果带电粒子不受上述v 0大小

范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.

解析：（1）若粒子速度为v 0，则qv 0B =

R v m

2

， 所以有R =qB mv 0， 设圆心在O 1处对应圆弧与ab 边相切，相应速度为v 01，则R 1＋R 1sin θ =

2

L

， 将R 1 =

qB mv 01代入上式可得，v 01 =m

qBL

3 类似地，设圆心在O 2处对应圆弧与cd 边相切，相应速度为v 02，则R 2－R 2sin θ =

2

L

， 将R 2 =

qB mv 02代入上式可得，v 02 =m

qBL

所以粒子能从ab 边上射出磁场的v 0应满足

m qBL 3＜v 0≤m

qBL

（2）由t =

T π

α

2及T =

qB m 2π可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场中运动的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径r ≤R 1时，运动时间最长，弧所

对圆心角为（2π－2θ），

所以最长时间为t =qB m )22(θπ-=qB

m

5π

a b c d

例4 如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L ，宽为L /2。磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？

解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d 点射出，由图可知其半径R 1=L/4，再由R 1=mv 1/eB ，得

当速率最大时，粒子恰好从c 点射出，由图可知其半径R 2满足，即

R 2=5L/4，再由R 2=mv 2/eB ，得

电子速率v 的取值范围为：。

例5、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．

解析：如图６所示，设粒子速率为1v 时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．

由图知，在E AO 1∆中，11R E O =，113R a A O -=

，由

A

O E O 11030cos =

得

1

1323R a R -=，解得a R )32(31-=，则a R a A

O AE )332(2

321

1-=-=

=． 又由1

2

11R v

m Bqv =得m aqB m BqR v )32(311-==，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于1v ．

图5

D

B

•

⨯⨯

⨯⨯

⨯⨯

C

图6

D •⨯

⨯⨯

⨯⨯⨯C

E 1

v 1o •1R

F

⨯⨯

⨯

C

G

v