【人教版】九年级上册数学：《因式分解法解一元二次方程》教学课件ppt
3．用因式分解法解下列方程： (1)(x－1)2－2(x－1)＝0； (2)9x2－4＝0； (3)(3x－1)2－4＝0； (4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)．
解：(1)x1＝3，x2＝1； (2)x1＝－23，x2＝23； (3)x1＝－13，x2＝1； (4)x1＝3，x2＝41.
6．[ 2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从 右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab ＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋ 2 )(x＋ 4 )． (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
分层作业
1．方程(x＋1)2＝x＋1 的解是( B )
A．x＝－1
B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝0，x2＝－2
D．x1＝1，x2＝－1
2．下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小 刚不明白，你能帮帮他吗？
解一元二次方程：(2x－1)2＝2x－4x2. 解：原方程变形为(2x－1)2＝2x(1－2x)，① 即(2x－1)2＝－2x(2x－1)，② 化简，得 2x－1＝－2x，③ 得 4x＝1，④
解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由： 把 x＝－1 代入方程，得 2a－2b＝0. ∴a＝b，∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变为 2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
4．按要求或选择适当的方法解下列方程： (1)x2－5x＋1＝0(用配方法)； (2)3(x－2)2＝x(x－2)； (3)2x2－2 2x－5＝0(用公式法)； (4)2(x－3)2＝x2－9.
解：(1)x2－5x＝－1， x2－5x＋522＝－1＋522， x－522＝241，x－52＝± 221， ∴x1＝5＋2 21，x2＝5－2 21；
(3)分别令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程； (4)解这两个方程，得到一元二次方程的两个根． 2．解一元二次方程的基本思路与方法 基本思路：将二次方程化为 一次 方程，即降次． 基本方法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法． 注 意：解一元二次方程要根据方程特点灵活选择方法．
归类探究
类型之一 用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋3＝3(x＋1)； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0； (3)(2x＋1)2－25＝0.
解：(1)整理，得 x2－3x＝0， 因式分解，得 x(x－3)＝0， 于是得 x＝0 或 x－3＝0， ∴x1＝0，x2＝3； (2)因式分解，得(x－3)(x－3＋4x)＝0， 即(x－3)(5x－3)＝0， 于是得 x－3＝0 或 5x－3＝0， ∴x1＝3，x2＝35；
形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为 80 m，测量
人员说：“正方形土地面积是矩形土地面积的一半．”你能帮助工作人员计算一
下正方形土地的面积吗？
知识管理
1．因式分解法 定 义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式， 再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法，即 若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0. 步 骤：(1)移项，将方程的右边化为 0； (2)把方程的左边因式分解为两个一次式的积；
(3)因式分解，得(2x＋1＋5)(2x＋1－5)＝0， 即(2x＋6)(2x－4)＝0， 于是得 2x＋6＝0 或 2x－4＝0， ∴x1＝－3，x2＝2. 【点悟】 (1)在用因式分解法解一元二次方程时，一定不能将方程的两边 同时约去含未知数的代数式； (2)用因式分解法解方程的关键是对方程左边的因式分解，常用到的分解因 式的方法有提公因式法和运用公式法．
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
★教学目标★
学习指南
1．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程；
2．学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程．
★情景问题引入★
在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩
化为 3x(x－2)＝0，于是得到两个一元一次方程：3x＝0 或 x－2＝0，从而得到
原方程的解为 x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( A )
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
4．[2017·德州]方程 3x(x－1)＝2(x－1)的根为x＝1 或 x＝23 . 5．[2017·丽水](x－3)(x－1)＝3. 解： 原方程整理为 x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4.
∴x＝－－25×±4 137， ∴x1＝5＋8 137，x2＝5－8 137； (4)移项，得(x－ 2)2－5( 2－x)＝0， 即(x－ 2)2＋5(x－ 2)＝0， ∴(x－ 2)(x－ 2＋5)＝0， ∴x－ 2＝0 或 x－ 2＋5＝0， ∴x1＝ 2，x2＝ 2－5.
【点悟】 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程．如果方程可以用直 接开平方法或因式分解法，一般用直接开平方法或因式分解法，能使过程更简 便．
当堂测评
1．方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
2．[2016·朝阳]方程 2x2＝3x 的解为( D )
A．0
3 B.2
C．－32
D．0，32
3．我们解一元二次方程 3x2－6x＝0 时，可以运用因式分解法，将此方程
解：∵x2－3x－4＝0， x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0， ∴(x－4)(x＋1)＝0， 则 x＋1＝0 或 x－4＝0， ∴x1＝－1，x2＝4.
7．已知关于 x 的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中 a，b，c 分 别为△ABC 的三边的长．
(1)如果 x＝－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
即 x＝41.⑤ 在上述解法中，你认为第 ③ 步有问题，问题在于 2x－1可能等于0 ，
请将你认为正确的解法写在下面．
解：原方程变形为(2x－1)2＝2x(1－2x)， 即(2x－1)2＝－2x(2x－1)， (2x－1)2＋2x(2x－1)＝0， (2x－1)(2x－1＋2x)＝0， 2x－1＝0 或 2x－1＋2x＝0， ∴x1＝12，x2＝14.
类型之二 用适当的方法解一元二次方程 选择适当的方法解一元二次方程：
(1)25(x－2)2＝49； (2)x2－2x－4＝0； (3)4x2－5x－7＝0； (4)(x－ 2)2＝5( 2－x)．
解：(1)原方程可化为(x－2)2＝4295， 直接开平方，得 x－2＝±75，∴x1＝157，x2＝53； (2)移项，得 x2－2x＝4， 配方，得 x2－2x＋12＝4＋12，即(x－1)2＝5， ∴x－1＝± 5，∴x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5； (3)∵a＝4，b＝－5，c＝－7， Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×(－7)＝137，
(2)3(x－2)2－x(x－2)＝0， (x－2)(3x－6－x)＝0， ∴x1＝2，x2＝3； (3)Δ＝(－2 2)2－4×2×(－5)＝48，
x＝2 22×±248＝2
2±4 4
3＝
2±2 2
3，
∴x1＝
2＋2 2
3，x2＝
2－2 2
3；Leabharlann (4)原方程可化为 2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)， 2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0， (x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0， (x－3)(x－9)＝0， ∴x－3＝0 或 x－9＝0， ∴x1＝3，x2＝9.
5．[2017·菏泽]关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0 的一个根是 0， 则 k 的值是 0 .
【解析】 把 x＝0 代入方程 (k－1)x2＋6x＋k2－k＝0 得 k2－k＝0，解得 k1 ＝0, k2＝1，∵方程是一元二次方程，∴k－1≠0，即 k≠1，∴k 的值为 0.
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初中-数学-人教版-九年级上册-21.2.3因式分解法一元二次方程 课件
x x 2 3 0
x=0或x 2 3 0
x1=0或x2 2 3
1、解下列方程：
2 4x2 121 0
解：因式分解，得
2x+112x 11 0
2x 11=0或2x 11 0
x1 =
11 2
或x2
11 2
1、解下列方程：
33x2 6x 3
解：移项，得 3x2 6x+3 0 因式分解，得
（2）如果 x 12x 3 0，则x 1 0或2x 3 0；
x1
1或x2
-
3 2
归纳总结：
先因式分解，使方程化为两个关于未知数的一次式
乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而
实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
1、解下列方程：
1 x2 2 3x 0
解：因式分解，得解，得 2x+12x 1 0
2x 1=0或2x 1 0
x1 =
1 2
或x2
1 2
1、解下列方程：
9 x 42 5 2x2
解：移项，得 x 42 5 2x2 0
因式分解，得
x 4 +5 2x x 4 5 2x =0 即1 x3x 9 0
1 x=0或3x 9 0 x1=1或x2 3
1、解下列方程：
10 x2 5x 6 0
解：因式分解，得
x 2 x 3 0
x 2=0或x 3 0
x1 =2或x2 3
72x+2 x2 4 解：原方程可化为，2 x+2 x+2 x 2
移项，得 2x+2 x+2x 2 0 因式分解，得 x+2 2 x 2 0
x+2 0或4 x 0
x=0或x 2 3 0
x1=0或x2 2 3
1、解下列方程：
2 4x2 121 0
解：因式分解，得
2x+112x 11 0
2x 11=0或2x 11 0
x1 =
11 2
或x2
11 2
1、解下列方程：
33x2 6x 3
解：移项，得 3x2 6x+3 0 因式分解，得
（2）如果 x 12x 3 0，则x 1 0或2x 3 0；
x1
1或x2
-
3 2
归纳总结：
先因式分解，使方程化为两个关于未知数的一次式
乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而
实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
1、解下列方程：
1 x2 2 3x 0
解：因式分解，得解，得 2x+12x 1 0
2x 1=0或2x 1 0
x1 =
1 2
或x2
1 2
1、解下列方程：
9 x 42 5 2x2
解：移项，得 x 42 5 2x2 0
因式分解，得
x 4 +5 2x x 4 5 2x =0 即1 x3x 9 0
1 x=0或3x 9 0 x1=1或x2 3
1、解下列方程：
10 x2 5x 6 0
解：因式分解，得
x 2 x 3 0
x 2=0或x 3 0
x1 =2或x2 3
72x+2 x2 4 解：原方程可化为，2 x+2 x+2 x 2
移项，得 2x+2 x+2x 2 0 因式分解，得 x+2 2 x 2 0
x+2 0或4 x 0
人教版九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》课件(共16张PPT)
方法归纳 ☞
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根.
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
例题欣赏 ☞
例2 解下列方程:
（ 1）x（x2） x20；
r 5 2 rr 5 2 r 0 .
于是得 r 2 r 5 0 或 r 2 r 5 0 .
r1 251,r21 52(舍 去 ).
5
答：小圆形场地的半径是
m.
2 1
已 9a 知 24b 20 ，求b a 代 b aa 2 数 a b b 2的 式 .
我最棒
,用分解因式法解下列方程
作业
参考答案：
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
12..xx1114;32x;2x2 175..
3.2 (x3)24(2x3); 4.2(x3)2x29;
34 ..xx 11 3 ;23x 2 ;x 29 .12.
5.5(x2x)3(x2x); 5 .x 1 0 ;x 2 4 .
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方 程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌 握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
解一元二次方程(因式分解法)(课件)九年级数学上册(人教版)
面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
《用因式分解法解一元二次方程》PPT精品教学课件
身边的友人渐渐地脱单，越来越多的走进婚姻的殿堂，而我依然在殿堂外独自行走，关心自己的人，都在为自己着急，挑选各种各样认为好的女孩，而我却总是无动于衷。我不知道是因为自己对爱情的惧怕，还是对婚姻的恐惧，还是已无力与一个陌生人去从相识开始，也以无心去接受这一切，所以独自逃离的远远地，不提不问不想不念。 我不知道，未来，谁与我并肩看人间烟火。只是，在内心深处，有一股浓浓的思念萦绕心尖，剪不断，理还乱，或许，是一年，或许，是两年，或许，一辈子。刚刚结束了班夫的自驾游，去之前一点没做攻略，除了传说中对美景的盛赞，对那里几乎一无所知。 头一次毫无准备地上路，得益于同行的友人一家，他们已是三顾班夫了，轻车熟路，所以我放心地当了甩手掌柜，从装备到路线、酒店、景点、美食，统统不必操心，乐得轻松自在。 这是一片广袤的天地，无一处不风景，无一眼不风情。 最喜欢峡谷里的瀑布，清凉的冰水摧枯拉朽般从高耸的岩壁奔流而下，无止无休，千年万年，冲刷出今日的残岩断壁。伫立在水边，俯仰之间，山水交融，仿佛看到了久远的一幕，子在川上曰：逝者如斯夫。 而友人一家之所以乐此不疲地到此三游，则是为了一座岛——精灵岛，位于嘉士伯国家公园的马琳湖。 精灵岛已经成了他们心中的一份执念。 第一次慕名而至，临近冬季，一场大雪扑灭了他们通往精灵岛的梦幻之旅。 第二次避开了雪季，却不想又被大雾遮望眼，再一次与精灵岛失之交臂。 此行已是第三次了，虽然沿途的景致百看不厌，却比不上心系精灵岛的一眼。 遗憾的是，又一次天公不作美，明明之前连日的晴空万里，偏偏这一日阴雨绵绵云雾缭绕，注定又要错失梦想中的小岛了。 我的心情还好，因为没有过多的期待，入目皆是美景，撑起雨伞欣赏了一圈雨中湖景朦胧岛影，后来在湖边的礼品店里看到了清晰的精灵岛图片，权当完成了心愿。 友人静静地站在湖边，望着面前的雨幕，一言不发。 我向她提议，“不如我们多呆一天，或许明天就放晴了。” “天气预报说今天下午才有雨，本以为早上赶过来还能来得及看一眼的。”她失落地说。 “那明天呢？”我暗自惭愧，自己连天气预报都没看。 “明天也有雨。”她皱眉道。 “那--”我不知该说什么安慰好了。 “走吧，这就是人生，总要有点遗憾的，就让它永远留在我的心里，偶尔想念一下，作为求而不得的最美风景吧！”她甩甩头，最后看了一眼她的梦想，然后潇洒地往回走了。 她的一番话似乎把所有的不悦都带走了，突然觉得这样的遗憾竟比睛天还美。 风景自在人心，有时候不完美也是一种完美。 于是想起另一个故事。 一次聚会，有个朋友刚从张家界旅游回来，大赞那里风景绝美，堪称人间仙境。 在看过她晒出的自拍后，所有人都开始兴致勃勃地憧憬起来，相约什么时侯有假期可以同行。 只有闺蜜沉默不语。 我后知后觉地记起来，她和初恋男友分手的那年暑假，正是她男友从张家界回来之后不久。 她曾经说过，此生都不会去那个地方，因为在她心里，那是世界上最美的地方，是他曾经承诺要带她一起去看的风景，因为少了他，再美的风景都是泡影。 难道这么多年过去了，她还没能放下？ 她看出我的疑惑，淡淡地笑了，“不是因为他，纯粹是不想去。我相信它是最美的，就因为相信，所以不想破坏了它在我心里的那份完美，一旦真正去了，总会有遗憾，现实永远没有想象的完美。” 她把初恋放下了，却放不下他为她描绘的那片风景。还是因为太在意啊，没有期盼，何来遗憾？ 人生需要遗憾，因为遗憾，所以真实；因为遗憾，所以美丽。 就象张家界之于闺蜜，精灵岛之于友人一家，每个人的遗憾都源于心中所念。 心有所系，故有所憾。引导语：傻孩子，你记住，可以哭，可以恨，但是不可以不坚强。心若在，梦就在，你必须非常努力，因为后面还有一群人在等着看你的笑话。即便是躺着中枪，也要姿势漂亮！ 傻孩子，你记住：我们有许多的梦想，不一定都能实现，有些梦想甚至要摒弃。不要把自己太当回事，也不要把自己太不当回事。好好地呵护自己，对自己好点，就要有好的心态，有了好的心态就会心胸宽广，就会豁达，就会有好的心境。 傻孩子，你记住：爱一个人不容易，忘记一个人更难。是啊，爱一个人是很苦的很苦的事，想一个人是很累的很累的事，等一个人是很傻的很傻的事，为什么我们却不能拒绝这样的相思？为什么我们心甘情愿无怨无悔？为什么我们却如此依然痴迷不悟？
利用因式分解法解一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
例题解析
解下列方程： (1) (3χ +1)2 - 4 = 0
解：原方程可变形为 [(3χ +1) + 2][(3χ +1) - 2] = 0 即 (3χ + 3)(3χ -1) = 0 3χ +3 = 0或 3χ -1 = 0
∴
例题解析
(2) χ2 -3χ -10 = 0 解 ： 原方程利用十字相乘法可变形为
课题：利用因式分解法 解一元二次方程
科目： 数学 年级： 九年级上册
复习回顾
，
解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评： （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
课堂小结
分解因式法解一元二次方程的步骤是： 1、将方程左边因式分解，右边等于 零； 2、根据“至少有一个因式为零”， 转化为两个一元一次方程. 3、分别解两个一元一次方程，它们 的根就是原方程的根.
(χ - 5)(χ + 2) = 0 χ - 5 = 0 或χ + 2 = 0 ∴ χ1 = 5、 χ 2 = -2 (3) (χ + 3)(χ -1) = 5 解：原方程可变形为 χ2 + 2χ - 3 = 5 即 χ2 + 2χ -8 = 0 把方程的左边分解因式，得
(χ - 2)(χ + 4) = 0 χ - 2 = 0 或χ + 4 = 0 ∴ χ 1= 2 、χ 2= -4
因式分解法
当一元二次方程的一边是0，而另 一边易于分解两个一次因式的乘积时， 我们就可以用分解因式的方法求解。 这种用分解因式解一元二次方程的方
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
人教版九年级数学上册《一元二次方程的解法——因式分解法》PPT
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5)2 2r2
r2 10r 25 0
r 10 200 . 2
负值舍去,r 5 5 2.
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
AB=0A=0或Ｂ＝０
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
4
4
解 : 移项,合并同类项,得：
4x2 1 0,
1.化方程为一般形式;
(2x 1)2x 1 0.
2. 将方程左边因式分解;
2x 1 0,或2x 1 0. 3.转化为两个一元一次方
x1
1 2
;
x2
1. 2
4. 写出原方程的根。
例题欣赏 ☞
例1 解下列方程:
(3)4x2 25 20x
1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3.转化为两个一元一次方
方法吗？
心动 不如行动
我探究我快乐！
对于一元二次方程，先因式分 解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一 次式分别等于0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解 法．ab=0，那么a=0或b=0。
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
分解因式的方法有那些? （1）提公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c) （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b),
a 2ab b2 (a b)2
心动 不如行动
我探究我快乐！
解方程：x 2 3 x 0
2
1.用配方法求解。 2.用公式法求解。 动动你的小脑瓜：还有别的
人教版九年级数学上册《21.2.5 用因式分解法解一元二次方程》教学课件
1. 解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解 法．其中配方法和公式法适合于所有一元二 次方程，直接开方法适合于某些特殊方程.
2．解一元二次方程的基本思路是： 将二次方程化为一次方程，即降次．
知2－讲
3．解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法时，再用公式 法；没有特殊要求的，一般不用配方法．
（来自教材）
例2 解方程：x(x－2)＋x－2＝0；
解： 因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0.
于是得 x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
知1－讲
转化为两 个一元一
次方程
（来自教材）
知1－讲
例3 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
移项、合并同类项，得
4x2－1＝0. 因式分解，得
3 解下列方程: (1) 4x2－121＝0； (2) 3x(2x＋1)＝4x＋2； (3) (x－4)2＝(5－2x)2.
知2－练
解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0，
于是得2x＋11＝0，或2x－11＝0，
x1＝－121，x2＝121.
（来自教材）
知2－讲
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
总结
知1－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程， 首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对 于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次 项系数是偶数，可选用配方法.
知2－练
1 解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
2．解一元二次方程的基本思路是： 将二次方程化为一次方程，即降次．
知2－讲
3．解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法时，再用公式 法；没有特殊要求的，一般不用配方法．
（来自教材）
例2 解方程：x(x－2)＋x－2＝0；
解： 因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0.
于是得 x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
知1－讲
转化为两 个一元一
次方程
（来自教材）
知1－讲
例3 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
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移项、合并同类项，得
4x2－1＝0. 因式分解，得
3 解下列方程: (1) 4x2－121＝0； (2) 3x(2x＋1)＝4x＋2； (3) (x－4)2＝(5－2x)2.
知2－练
解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0，
于是得2x＋11＝0，或2x－11＝0，
x1＝－121，x2＝121.
（来自教材）
知2－讲
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
总结
知1－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程， 首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对 于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次 项系数是偶数，可选用配方法.
知2－练
1 解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
解一元二次方程》(因式分解法)ppt课件
x2+x=0 因式分解, 解：因式分解,得: x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现， 可以发现，利用因式分解可以很快捷地 解出方程。 解出方程。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元二次 上述解法中， 方程化为两个一次式的乘积等于0的形式， 方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再 使这两个一次式分别等于0 从而实现降次， 使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 求出方程的根，这种解法叫做因式分解法。 因式分解法。 求出方程的根，这种解法叫做因式分解法
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
2、当b2-4ac=0时，一元二次方程 4ac=0时 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根： +bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根 有两个相等实数根： b x1 = x 2 = − 2a 3、当b2-4ac<0时，一元二次方程 4ac<0时 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根： +bx+c=0(a≠0)没有实数根 没有实数根：
一元二次方程的解法有： 一元二次方程的解法有： 1、配方法；(直接开平方法） 配方法； 直接开平方法） 2、公式法； 公式法；
复习回顾
1、当b2-4ac>0时，一元二次方程 4ac>0时 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根： +bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根 有两个不等实数根：
练习
解下列方程： 解下列方程：
(1)(2a (1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4) =(a 2)(3a (2)(4x (2)(4x－3)2=(x+3)2 =(x
利用因式分解法解一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
=(x-4)(x+2)
=3(m-1)2 (4) (2x-3)²-16
=(2x+1)(2x-7)
5.若ab=0，则a= 0 或 b= 0
• 新知探究
探究因式分解法解一元二次方程 若代数式2x²+10x的值为0，则得到一元二次方程2x²+10x=0
你已经可以用哪些方法求解？ 你还有其它方法吗？ 现将方程的左边因式分解得： 2x(x+5)=0 ∴2x=0 或 x+5=0 ∴x1=0,x2=-5
• 课堂小结
1.一元二次方程的解法： 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
第1步：将方程右边化为零第 第2步：将方程左边分解成两个一次因式的乘积 第3步：化为两个一元一次方程 第4步：解这两个一元一次方程，写出一元一次方程的解
右为0，左分解，两因式，各求解
② 9(2x+3)2-4(2x-5)2=0
解:3x(2x+1)=2(2x+1) 3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1)(3x-2)=0 2x+1=0或3x-2=0 ∴ x1=-1/2 x2=2/3
解：﹝3(2x+3)+2(2x-5)﹞﹝3(2x+3)-(2x-5)﹞=0 (10x-1)(2x+19)=0 10x-1=0或2x+19=0
复习回顾
1.一元二次方程的解法:
直接开平方法
配方法
公式法
2.解一元二次方程的基本思想:
通过“降次”转化为一元一次方程
复习回顾
3.因式分解的方法:
提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法
=3(m-1)2 (4) (2x-3)²-16
=(2x+1)(2x-7)
5.若ab=0，则a= 0 或 b= 0
• 新知探究
探究因式分解法解一元二次方程 若代数式2x²+10x的值为0，则得到一元二次方程2x²+10x=0
你已经可以用哪些方法求解？ 你还有其它方法吗？ 现将方程的左边因式分解得： 2x(x+5)=0 ∴2x=0 或 x+5=0 ∴x1=0,x2=-5
• 课堂小结
1.一元二次方程的解法： 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
第1步：将方程右边化为零第 第2步：将方程左边分解成两个一次因式的乘积 第3步：化为两个一元一次方程 第4步：解这两个一元一次方程，写出一元一次方程的解
右为0，左分解，两因式，各求解
② 9(2x+3)2-4(2x-5)2=0
解:3x(2x+1)=2(2x+1) 3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1)(3x-2)=0 2x+1=0或3x-2=0 ∴ x1=-1/2 x2=2/3
解：﹝3(2x+3)+2(2x-5)﹞﹝3(2x+3)-(2x-5)﹞=0 (10x-1)(2x+19)=0 10x-1=0或2x+19=0
复习回顾
1.一元二次方程的解法:
直接开平方法
配方法
公式法
2.解一元二次方程的基本思想:
通过“降次”转化为一元一次方程
复习回顾
3.因式分解的方法:
提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法