三角形中的折叠问题
专题 利用勾股定理解决折叠问题(原卷版)
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》专题 利用勾股定理解决折叠问题【例题1】（2021•西城区校级模拟）如图，Rt △ABC 中，AB ＝18，BC ＝12，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．10【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点，若沿将△ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（ ）A．2B．52C．3D．103【变式1-2】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式1-3】（2021•鞍山一模）如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）A．7B．8C．11D．14【变式1-4】（2021秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E 分别在AC、BC边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（ ）A．0B．2C．4D．6【变式1-5】（2022秋•秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝12，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（ ）A．20B．22C．24D．26【变式1-6】（2022•天津模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（ ）A．3B．53C．3或53D．3或154【变式1-7】（2022•平果市模拟）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，点D在边BC上，连接AD，如果将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为（ ）A B．4C D．5 2【变式1-8】（2023•沙坪坝区校级开学）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝2，则BE的长为（ ）A．6B．C D【变式1-9】如图，在△ABC中，D为BC中点，连接AD，把△ABD沿着AD折叠得到△AED，连接EC，若DE＝5，EC＝6，AB＝AD的长是（ ）A．4B．5C．6D．7【变式1-10】（2022秋•南海区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝D在AC 上，将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在点A '处，A 'B 与AC 相交于点E ，则A 'E 的最大值为（ ）A ．B ．83C ．163D ．8﹣【变式1-11】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，连接AD ，把△ACD 沿AD 翻折，得到△ADC ′，DC ′与AB 交于点E ，连接BC ′，若BD ＝BC ′＝2，AD ＝3，则点D 到AC ′的距离（ ）A B C D 【变式1-12】（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC ＝6，BC ＝3，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段CF 的长为（ ）A B C D【例题2】（2021春•东昌府区期末）如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上F 处，则EF 的长是（ ）A ．3B ．245C ．5D ．8916【变式2-1】如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点F 处，求AE 的长．【变式2-3】（2021秋•锦江区期末）如图，长方形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝25，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13【变式2-4】（2021春•栾城区期末）如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，将矩形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，则重叠部分△BDF的面积是（ ）A．20B．16C．12D．10【变式2-5】（2021•斗门区一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 ．【变式2-6】（2021秋•历城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 ．【变式2-7】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E 处，则折痕FG的长为（ ）A．2.5B．3C D．【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△ABD沿BD进行折叠，使得点A落到点M处，DM 交BC于点N，若AB＝2，BD＝5，则MN的长度为（ ）A B C．D．【变式2-9】（2022秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（ ）A．420B．360C．D．【变式2-10】（2022春•柯桥区期末）在矩形ABCD中，将边AB翻折到对角线BD上，点A落在点M 处，折痕BE交AD于点E．将边CD翻折到对角线BD上，点C落在点N处，折痕DF交BC于点F．AB＝5，MN＝3，则BC的长（ ）A．5B．12或C．12D．12或13【例题3】（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【变式3-1】（2022•宽城区一模）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G，若AE＝1，∠AFE＝30°，则AB的长为（ ）A．2B．1+C．D．2【变式3-2】（2022春•桂林期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）A．3B．158C．1D．2【变式3-3】（2022春•大连月考）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 是CD 边的中点，将该纸片折叠，使点B 与点E 重合，折痕交AD ，BC 边于点M ，N ，连接ME ，NE ．则ME 的长为 ．【变式3-4】（2022春•荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为AD 边上一点，连接AE 、EF ，将△ABE 沿EF 折叠，使点A 恰好落在CD 边上的A ′处，若A ′D ＝2，则B ′E 的长度为（ ）A ．2714B ．137C ．2514D ．2【变式3-5】如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD ＝4cm ，则CF 的长为（ ）cmA ．6﹣B ．6﹣C ．32D ．54【变式3-6】（2022春•社旗县期末）如图，点E 和点F 分别在正方形纸片ABCD 的边CD 和AD 上，连接AE ，BF ，沿BF 所在直线折叠该纸片，点A 恰好落在线段AE 上点G 处．若正方形纸片边长12，DE ＝5，则GE 的长为（ ）A ．4913B ．5013C ．4D ．3【变式3-7】（2022春•长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF 如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ，AD ＝4，则CH 的长为（ ）A ．52B ．65C ．34D ．54【变式3-8】（2022秋•和平区期末）如图，已知正方形ABCD 面积为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）A B．2C．8D．【变式3-9】（2022春•满洲里市校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）A．4B．C．12D．【变式3-10】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求GC的长；（3）求△FGC的面积．。
第2章 三角形折叠问题专题练习（答案）
三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。
折叠问题涉及6种题型梳理
折叠问题涉及6种题型梳理一、问题导读折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
这类问题的解法思路，常常会困扰同学们，同样是翻折类题目，条件不一样，问题不一样，用到的知识和方法也不尽相同，今天我们就一起来探究一下，遇到这类题目，如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
二、典例精析类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．例1变式1．（2018秋平度市期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．例1变式2．（2018秋瑞安市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC 上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE+EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x+4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
三角形折叠问题
专题：折叠问题中的角度运算学习目标 学习重难点(2006?宿迁)如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若/ BAD' =30 ° ,则/ AED'等于()A. ?30B. ?45C. ?60D. ?75 °如图将六边形ABCDEF 沿着直线GH 折叠，使点A 、B 落在六边形CDEFGH 的内部，则下列结论 一定正确的是(A. ?40 °B. ?30 °C. ?20 °D. ?10 °已知△ ABC 是一张三角形的纸片.(1 )如图①，沿DE 折叠，使点A 落在边AC 上点A '的位置，z DA ' E 与z 1的之间存在怎样的数量关系？ 为什么？(2)如图②所示，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点A '的位置，z A 、z 1与z 2之间存在 怎样的数量关系？为什么？A.? 1+ z 2=900 ° -2 (z C+Z D+Z E+ z F )B.? 1+ z 2=1080 ° -2 (z C+z D+z E+z F )C.?1+ z 2=720z C+z 如图， 折痕为 z Rt △ ABC 中,z ACB=90 CD,则 z A ' DB=????D.? 1+ z 2=360(z C+oD+z 1z D+z E+ z F )z A=50 ° ,将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，使点A 落在四边形BCED 的外部点A '的位置，z A 、z 1与z 2之间存在怎样(3)如图③，沿DE 折叠， 的数量关系？为什么已知，如图，把厶ABC纸片沿0E折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，则/A与/ 1+ / 2之间有一种数量关系：2 / A= / 1+ / 2始终保持不变，为什么？如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，(1 )设/AED的度数为x，/ ADE的度数为y，那么/ 1、/ 2的度数分别是多少？(用含有x或y的代数式表示)(2) / A与/ 1+ / 2之间有一种数量关系始终保持不变，请找岀这个规律，并说明理由.折一折，想一想，如图所示，在厶ABC中，将纸片一角折叠，使点C落在△ ABC内一点C上，若/ 仁40 ° ，/ 2=30 ° .(1 )求/ C的度数；(2)试通过第(1)问，直接写岀/ 1、/ 2、/ C三者之间的关系.如图(1 ) ，△ ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ ABC边上的两点；研究(1 ):若沿直线DE折叠，则/ BDA'与/ A的关系是/ BDA' =2 / A;研究(2):若折成图2的形状，猜想/ BDA' ，/ CEA'和/ A关系，并说明理由；研究(3):若折成图3的形状，猜想/ BDA' ，/ CEA'和/ A的关系，并说明理由.图1、如图①，把厶ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A'的位置，通过计算我们知道：2 /A= / 1+ / 2 .请你继续探索：(1 )如果把△ ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，如图②，此时/ A与/1、/ 2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由.(2)如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A'、D'的位置，如图③，你能求岀/ A 、/ D 、/ 1与/ 2之间的关系吗？（直接写岀关系式即可）B 分别落在四边形内部的点A 、B '处，求/ 1+ / 2的大小.恰好落在AC 边上的点E 处.若/ A=22 °，则/ BDC 等于（ ）三角形纸片ABC 中，/ A=55/ B=75 °，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ ABC 内（如图）已知四边形 ABCD,/ C=72 °，/ D=81 °.沿EF 折叠四边形，使点A 、（2013?宁夏）女口图，△ ABC 中，/ ACB=90 °，沿CD 折叠△ CBD,使点B（2006?武汉）（北师大版）将五边形纸片 、D ',已知/ AFC=76 °，则/ CFD'等于（ABCDE 按如图方式折叠，）/ 2的度数为????度.把一张长方形纸片ABCD,沿EF 折叠后，ED '与BC 的交点为G ,点 D ，C 分别落在D ' ，C '的位置上.若/ EFG=55 °，则/ 1等于（）（2006?梅州）如图，在平面内，把矩形ABCD 沿EF 对折，若/仁50_则 / AEF等于（）把△ ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，BC // DE ;若/ B=50 _则 / BDF的度数为（）1=x ° ，则/ a 的度数为（GH 的位置，若/ FGH=55°, 则 / HEF=如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则/仁（设/ 将长方形ABCD 沿折痕EF 折叠，使CD 落在D、E分别为△ ABC的边AB、AC上的点，DE// BC,若/ B=55 ° ,则/ BDF的度数为？（）将△ ABC沿线段DE折叠，使将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D' ，C'的位置上，ED'的延长线与BC的交点为如图a 是长方形纸带，/ DEF=24 ° 度数（G.若/ EFG=80 °，则/ BFC'的度数为（，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的/ CFE的a是长方形纸带，/ DEF=24 °，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的/ CFEAB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠BD，则△ AED的周长为（）c r将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在如图C'的位置，若/如图所示，如图的度数（DB张长方形纸条折成如图的形状，如果/仁130 °，/ 2=（如图：将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D' 、C '的位置， ED '的延长线与BC 交于点G.若/ EFG=55 °，则/ 1=（ ）/ P机**I* : * ■* 4、* *BEC 如图，已知长方形ABCD ,我们按如下步骤操作可以得到一个特定角：（1）以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ; （ 2 ）将纸片展平后，再一次折叠纸片， 以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ，则/ AEF 的度数如图，把△ ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部时，则/ A 与 / 1和/ 2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）86.如图，将纸片△ ABC 沿着DE 折叠压平， 且/ 1+ / 2=72 °，则/ A=() 沿过点B 的直线折叠这个三角）个宽度相等纸条，按如图所示的方式折叠一下，已知/ 3=120 °，则DD'BABC ， AB=10cm ， BC=7cm ，AC=6cm ，折痕为BD ，则厶AED 的周长为（张长方形纸条折叠后，若/ AOB' =70 ° ,则/ OGC 的度数为（ ）/ A=60 ° , / B=70 ° ,将纸片的一角折叠，使点C 落在△ ABC 内，若如图（1）是长方形纸带，/ DEF=a ,将纸带沿EF 折叠成图（2）,再沿BF 折叠成图（3）,则图（3） 中的/ CFE 的度数是（）图（3）那么/ 2的度数为（四边形ABCD 中，点M, N 分别在AB , BC 上 ,将厶BMN 沿MN 翻折，得厶FMN,如图，一张长方形纸条沿AB 折叠，如果/仁124 ° ,那么/ 2的度数是（下，如果/ 1=140 ( )AC 石如图，一张三角形纸片△ ABC ，沿DE 折叠使得顶点C 落在边AB 上，若DE // AB ，/A=45 °，则/ ADC 的度数是()如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点那么图中/ 1+ / 2+ / 3+ / 4+ / 5+ / 6的度数和是(如图，将五边形ABCDE 沿AE 对折到如图的位置，其中/ AEC=72 °，则/ CED'=( )二模)如图，将△ ABC 三个角分别沿DE 、HG EF 翻折，罗如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的把长方形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若/ AEF=110 °，则/ 1=( )不重合， B rJi=110 ° ,那么/ CEA'的度数为（ ）把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ' ）点A 重合，求/ DAE 的度数. 如图，在△ ABC 中, / A=35 在平面内沿直线DE 将厶ABC 折叠后，量得/ BDA '_如图，已知△ ABC 中,/BAC=140 °现将△ ABC 进行折叠，使顶点B 、C 均与顶。
勾股定理折叠问题
勾股定理折叠问题勾股定理折叠问题是目前数学界解决的一个难题，也是21世纪优秀数学解决方案的典范。
来自英国伯明翰大学的研究者把该问题解释为：当两个正整数的平方和为另一个正整数时，那么存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2。
目前，越来越多的人开始从数学角度探索如何使用勾股定理折叠来解决该类问题。
首先，研究者们必须先完成一个前期的准备，也就是要理解勾股定理。
要想解决这个问题，必须熟悉勾股定理的基本概念：直角三角形的两条直角边的长度称为x和y，直角边上的角称为θ，而x2+y2=z2，则称为勾股定理。
其次，研究者要利用这一理论来解决实际中的问题。
折叠问题是指：现有一个直角三角形，要求折叠后能使其变成一个正方形。
在折叠前，根据勾股定理可知，其中有两条边长相等，若将其中一条边长折叠，使其长度变为两条边之和，则两条边的长度均等，就可以折叠出一个正方形。
另外，在解决勾股定理折叠问题的过程中，求解是确定正方形的关键。
这是一个复杂的过程，一般使用多项式求解法解决，即利用多项式构造一组解，以及其他数学技术和方法来求。
最后，研究者们对勾股定理折叠问题的解决方案做了有效的运用。
如果用多项式求解法，将可以得出精确的解，而且可以用较少的时间完成；如果用其他数学技术，如李宁积分、拉格朗日投影法等也可以实现精确的解决方案。
总而言之，勾股定理折叠问题是数学界一个难解的问题。
英国伯明翰大学的研究者首先将该问题解释为当两个正整数的平方和为另一个正整数时，存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2，并提出了一系列求解方案来解决该类问题，而这一求解方案的有效性和精确性也受到了广泛的认可。
因此，勾股定理折叠问题为我们拓展了数学思维，给了我们一种更全面和精确的解决方案，能够更有效地应用于实际问题，为21世纪优秀数学解决方案提供了一个重要的参考示范。
三角形的折叠问题总结
三角形的折叠问题总结三角形是一种常见的几何图形，它有三条边和三个顶点。
今天我们就来学习三角形的知识，解决一些相关问题。
三角形的折叠问题1：三个角的度数分别是90°、 135°、 145°的直角三角形是全等的吗？三个角的度数分别是135°、 145°、 180°的直角三角形是全等的。
三个角的度数分别是90°、 135°、 180°的直角三角形是全等的。
三角形的折叠问题2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， BC=BC=AB， AD=AD，则AD=BC=AC；（ 2）若AB、 AD、BC三线合一且交于一点O，求三角形OE的面积；（ 3）若AB=AC=AD，求三角形BE的面积。
三角形的折叠问题3：如图，在△ABC中，点D 的位置如图所示，那么这个△ABC是等腰梯形还是直角梯形呢？答：这个△ABC是等腰梯形。
证明：①将△ACD旋转到正视图，在A、 B 两点取得一条中线作垂线，此时图形变为长方形。
在AB边上任取一点C，使△ADC的高CD=1，在CD上任取一点E，使△ABC的底AC=AD，在AC上任取一点F，使△ABC的底AB=CD。
由此可得： AE=AF，∠DAB=∠ADB。
②将线段AF折叠到AE上，作法同前。
2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， AD=BC， AE=BC，则AD=BC。
（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。
因为在四边形ABCD中， AB、 AC、 BC、 BD均互相平行，且BD=2AB，可得△BCD是直角梯形。
三角形的折叠问题4：在△ABC 中，已知∠A=∠B=∠C=45°，∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°。
①将三角形ABC旋转到正视图，设A、 B两点的坐标为（ x， y），过A作AE ⊥BC交BC于P，连接BC；再过B作BE ⊥AB交AC于E，交BD于N，则四边形AEBE是平行四边形，且AE=AB，BE=BC， A、 B两点的坐标为（ a， b），（ c， d）， AB=AC=AD，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，∵∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°，∴∠A+∠C=90°；（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC 向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。
三角形折叠问题总结
三角形折叠问题总结引言三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
它涉及到折叠一张纸使得两个已知点重合，这两个已知点可能位于纸的不同边上。
本文将全面、详细、完整且深入地探讨三角形折叠问题，并提供解决这个问题的方法和技巧。
二级标题1：问题描述三角形折叠问题可以简洁地描述为：给定一张纸和两个已知的点P和Q，如何将纸折叠，使得点P和点Q重合？二级标题2：解决方法解决三角形折叠问题的方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。
三级标题1：正向折叠法正向折叠法是解决三角形折叠问题最直观且易于理解的方法之一。
它的基本思想是在纸上绘制一条连接点P和点Q的直线段，然后将纸沿着这条直线段折叠，使得点P和点Q重合。
这种方法简单明了，特别适用于简单的三角形折叠问题。
三级标题2：逆向折叠法逆向折叠法是一种更加高效的解决三角形折叠问题的方法。
它的基本思想是将纸上的点P和点Q重合，然后逆向还原折叠的过程，找到折叠纸的方法。
这种方法需要一定的推理和观察能力，适用于较为复杂的三角形折叠问题。
三级标题3：裁剪法裁剪法是解决三角形折叠问题的一种替代方法。
它的基本思想是将纸上的三角形裁剪下来，然后通过将裁剪得到的三角形进行旋转、平移等操作，最终将点P和点Q 重合。
这种方法可以通过适当选择裁剪的形状和位置，将复杂的三角形折叠问题简化为简单的几何操作。
二级标题3：解决技巧解决三角形折叠问题的过程中，有几个技巧是值得注意的。
三级标题1：观察几何关系观察几何关系是解决三角形折叠问题的关键。
通过观察纸上已知点和边之间的几何关系，可以帮助我们找到折叠纸的方法。
例如，当点P和点Q位于纸的两个不同边上时，我们可以找到一条边上的一点，使得与点P和点Q连线构成一个直角三角形，从而简化问题。
三级标题2：利用对称性利用纸的对称性是解决三角形折叠问题的另一个重要技巧。
通过利用纸的对称性，可以减少问题的复杂度，找到折叠纸的更简单方法。
例如，当纸是对称的，我们可以将问题简化为在一半大小的纸上折叠，然后通过对称操作得到整个纸的折叠方法。
中考数学 折叠问题涉及6种题型梳理
折叠问题涉及6种题型梳理一、问题导读折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
这类问题的解法思路，常常会困扰同学们，同样是翻折类题目，条件不一样，问题不一样，用到的知识和方法也不尽相同，今天我们就一起来探究一下，遇到这类题目，如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
二、典例精析类型1直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x+3＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．例1变式1．（2018秋平度市期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4B．22/3C．7/4D．5/3【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．例1变式2．（2018秋瑞安市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC 上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE+EH2＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x+4+（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。