教案图论31精品PPT课件

v6 2 v7 1,∞
4,11
1, ∞
v8
图上标号法:
v2 3,5 1
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 2,6 2
1, ∞
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 1,∞
4,11
1, ∞
v8
图上标号法:
v2 3,5 1
6 2
v1
3
1,3
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 2,6 2
称P0是从vs到vt的最短路。路P0的权称为从vs到vt 的路长。记为ust。
二、Dijkstra算法 当所有 wij ≥0 时，本算法是用来求给定点vs到
任一个点vj 最短路的公认的最好方法。
事实：如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一 个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到 vi的最短路。
第三节 最短路问题
一、最短路问题
例 下图为单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条
线所需的费用。现在某人要从v1出发，通过这个交
v8去，求使总费用最小的旅行路线。
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
v2 1
v5
2
v9
6 2
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 1, ∞ 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
1, ∞
4,11
v9 1, ∞
3 1, ∞
v8
图上标号法:
v2 3,5 1
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 1, ∞ 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
1, ∞
4,11
v9 1, ∞
3 1, ∞
P1=P（vs，v1）， P2=P（vs，v2），…， Pk=P（vs，vk）
记 X k v s ,v 1 ,v 2 ,.v k .,.X ,k V \X k
则 uk1m vi X k iuin wvi(,v')
v' X k
使上式达到最小值的点v’ 可取为vk+1。 计算过程中可采用标号方法。 Xk中的点，ui 值是vs 到vi 的最短路长度，相应的 点记“永久”标号；
Xk＼﹛vi﹜
如果Xk+1 =，结束，到所有的点的最短路已经求 得 ；否则，转第4步。
第4步：(修改临时标号) 对所有 vj Xk1如, 果 ui wijuj 令 i=i，uj=ui+wij否则, i,,uj 不变,把k换成k+1，
返回第2步。
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
最短路的子路也是最短路。
思想：将D=（V，A，W）中vs到所有其它顶点的最短
路按其路长从小到大排列为：
u0≤ u1 ≤ u2 ≤…≤ un u0表示vs到自身的长度，相应最短路记为： P0，P1，P2，…，Pn，P1一定只有一条弧。
记X0vs, X0V\X0, 则 u1minwsi
viX0
取最小值的点为v1， ∴P1=P（vs，v1） 假定 u0，u1，…，uk的值已求出，对应的最短 路分别为
令wsj=+ , X0={vs} ,X0=V\X0 ,k=0, i=0 (0 ≤j≤n）
第2步：(选永久标号)在XK中选一点vi，满足
ui min uj 如果ui=+ ，停止， vj XK
从vs到XK中各点没有路；否则，转第3步。
第3步：（给点vi永久性标号） 令Xk+1= Xk∪﹛vi﹜,Xk+1=
1
2
从v1到v8： v4
10
4
v6 2 v7
v8
P1=（v1，v2，v5，v8）
费用 6+1+6=13
P2=（v1，v3，v4， v6， v7， v8） 费用 3+2+10+2+4=21
P3=从…v1到…v8的旅行路线
从v1到v8的路。
最短路问题中，不考虑有向环、并行弧。
旅行路线总费用
路上所有弧权之和。
6
1
2
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v4
1,1
v5 1, ∞ 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
1, ∞
4,11
v9 1, ∞
3 1, ∞
v8
图上标号法:
v2 1,56 1
6 2
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3 v3 1,3
0,0
6
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1,1
v5 1, ∞ 2
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v6
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v7
1, ∞
4,11
v9 1, ∞
3 1, ∞
v8
图上标号法:
v2 13,5 1
v8
图上标号法:
v2 3,5 1
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
6
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v4
1,1
v5 1, ∞ 2
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3
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v6
2
v7
1, ∞4,111, ∞ Nhomakorabeav9
3 1, ∞
v8
图上标号法:
v2 3,5 1
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
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10
v4
1,1
v5 2,6 2
1, ∞
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6
3
3 4
10 4
最短路问题
给定有向网络D=（V，A，W），任意弧aij∈A， 有权w（ aij ）=wij，给定D中的两个顶点vs，vt。设P
是D中从vs到vt的一条路，定义路P的权（长度）是P中 所有弧的权之和，记为w（P）。最短路问题就是要在 所有从vs到vt的路中，求一条路P0 ，使
w(P 0)m P iw n(P)
XK中的点，ui值是vs到vi的最短路长度的上界， 相应的点记“临时”标号，供进一步计算使用。
前点标号i : 表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。 如i=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
图上标号法:
v2 1,6 1
6 2
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3 v3 1,3
0,0
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2
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1,1
v5 1, ∞ 2
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3
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2
v7
1, ∞
1, ∞
v9 1, ∞
3 1, ∞
v8
图上标号法:
v2 1,6 1
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
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1
2
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1,1
v5 1, ∞ 2
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3
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2
v7
1, ∞
1, ∞
v9 1, ∞
3 1, ∞
v8
图上标号法:
v2 1,6 1
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
1, ∞
v9
6
3
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v6 2 v7 5,9
5,10
5,12
v8
图上标号法:
v2 3,5 1
6 2
v1
3 v3 1,3
0,0
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v6 2 v7 5,9
5,10
5,12
v8
Dijkstra算法步骤：
第1步：令us= 0，uj=wsj （1≤j≤n）若asjA，则
v2 1
6 2
v5
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6
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v1
3 v3 6
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v6 2 v7
v8
解：u1=0，u2=6，u3=3，u4=1，u5=u6=u7=u8=u9=+ ，
j=1 （j=2，3，…，9）
X0={v1} ，X0={v2，v3，…，v9}