新版高中数学人教A版必修2课件：第四章圆与方程 4.2.3
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高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程章末总结
四、与圆有关的最值问题 【典例4】 已知实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求: (1) y 的最大值与最小值;
x
解:(1)设 P(x,y),则点 P 的轨迹就是圆 C:(x-3)2+(y-3)2=6.而 y 的几何意义就是 x
直线 OP 的斜率(O 为坐标原点),设 y =k,则直线 OP 的方程为 y=kx,由图(1)可知, x
的值为( )
(A)-2
(B)-4
(C)-6
(D)-8
解析:圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a. 其圆心为(-1,1),半径 r= 2 a . 圆心(-1,1)到直线 x+y+2=0 的距离 d= | 1 1 2 | = 2 ,
12 12
由于 r2=d2+( 4 )2,所以 2-a=2+4,所以 a=-4.故选 B. 2
法二 设所求圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 根据已知条件得
2 a2 3 b2 r2, 2 a2 5 b2 r2,
⇒
a b
1, 2,
3a b 5 0
r 2 10,
所以所求圆 C 的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
规律方法 用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选择圆的方程的某一情势; (2)由题意得关于a,b,r(或D,E,F)的方程(组); (3)解出a,b,r(或D,E,F); (4)代入圆的方程.
(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上,求圆C的方程.
解:(2)法一 因为 kAB= 1 ,AB 中点为(0,-4), 2
所以 AB 中垂线方程为 y+4=-2x, 即 2x+y+4=0,
高一数学人教版A版必修二课件：第四章 圆与方程
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知(|－k＋21＋＋4k2k－3|)2＋(82)2＝52，解得 k＝－34.
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
解析答案
跟踪训练4 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此 练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
返回
a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 由题意得 2
3b| ＝r，
a＝4， 解得b＝0，
ba＋－33＝ 3，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
解析答案
类型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知(|－k＋21＋＋4k2k－3|)2＋(82)2＝52，解得 k＝－34.
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
解析答案
跟踪训练4 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此 练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
返回
a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 由题意得 2
3b| ＝r，
a＝4， 解得b＝0，
ba＋－33＝ 3，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
解析答案
类型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
人教A版高中双数学必修二课件第四章圆与方程
题型三圆与圆的位置关系
【典例4】设集合M={(x,y)|x2+y2≤25},N={(x,y)|(x-a)2+
y2≤9},若M∪N=M,则实数a的取值范围是
.
【解析】集合N表示的区域是以N(a,0)为圆心,半径为3的圆
(称圆N)的内部(包括圆上).集合M表示的区域是以M(0,0)为圆
心,半径为5的圆(称圆M)的内部(包括圆上).又因为M∪N=M,所
2.常见的圆系方程 (1)过直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. (2)过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点 的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2) =0(λ≠-1).
方法二分类讨论思想 【典例2】已知圆M：(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与 圆M交于A，B两点，且|AB|=，2 求3 直线a的方程.
【解析】(1)当直线a的斜率存在时，
设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.
如图，作MC⊥AB于C，
在Rt△MBC中，BC=，3MB=2， 所以MC MB2 BC2 1. 由点到直线的距离公式， 得| MC | | k 1 3 2k | 1,
高中数学人教版必修2第四章圆的方程全章公开课课件
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
例1. 已知线段AB的端点B的坐标为（4,3），端点A在圆 (x+1)2+y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
相关点法：又叫代入法. 在直角坐标系中,一个点
的运动变化引起另外一些点的运动变化（这些点具有 相关性）,把它们的坐标用一个表示另外一个,再代入 已知轨迹方程,就可求出未知的轨迹方程.
（2）没有xy这样的项。
探究：当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2y2D xE yF0 的位置分别 有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0__原__点_(_0_,0_) (2)x2 y2 2x4y60____ (3)x2 y2 2axb2 0________
(2) x2y22axya0 是圆的方程的充要条件是( D )
(A)a 1 2
(B)a 1 (C )a 1
2
2
(D)a 1 2
x (3)圆 x2y28x10yF0与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A )
( A)6 (B )5 (C )4
(D )3
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
高中数学第四章圆与方程本章整合课件新人教A版必修2
|-1-0+3|
2
d=
= 2,故选 C.
答案:C
第十五页，共24页。
1
3
2
4
5
6
7
8
2(2016·全国高考(ɡāo kǎo)甲卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线
ax+y-1=0的距离为1,则a=(
)
4
3
A.B.C. 3
D.2
3
4
解析:由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).
可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来.
第八页，共24页。
专题
(zhuāntí)
一
专题
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
应用已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点P(2,-1),过点P作圆C的切线PA,PB,A,B
为切点.
(1)求PA,PB所在直线的方程;
(2)求切线长PA;
α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.
解:(1) (方法一 几何法)
如图所示,过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率k=tan 135°=-1,
所以(suǒyǐ)直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
因为圆心为(0,0),
所以|OC|=
为
4 5
的距离为 ,则圆
5
C 的方程
.
|2|
解析:设圆心 C 的坐标为(a,0)(a>0),则
2
d=
= 2,故选 C.
答案:C
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2(2016·全国高考(ɡāo kǎo)甲卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线
ax+y-1=0的距离为1,则a=(
)
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A.B.C. 3
D.2
3
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解析:由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).
可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来.
第八页，共24页。
专题
(zhuāntí)
一
专题
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
应用已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点P(2,-1),过点P作圆C的切线PA,PB,A,B
为切点.
(1)求PA,PB所在直线的方程;
(2)求切线长PA;
α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.
解:(1) (方法一 几何法)
如图所示,过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率k=tan 135°=-1,
所以(suǒyǐ)直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
因为圆心为(0,0),
所以|OC|=
为
4 5
的距离为 ,则圆
5
C 的方程
.
|2|
解析:设圆心 C 的坐标为(a,0)(a>0),则
高中数学人教A版必修2第四章4.圆的标准方程ppt课件
4.1圆的方程
圆的标准方程
教学目标：
掌握圆的标准方程，并能 根据条件写出圆的标准方程.
上一章，我们学习了直线的方程.知道在直角坐 标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研 究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题.
本章在上一章的基础上，在直角坐标系中建立 圆的方程.通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的 位置关系.另外，我们还要学习空间直角坐标系的有 关知识，它是用解析方法研究空间几何对象的基础.
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答 ： 支 柱 A 2 P 2 的 长 度 约 为 3 . 8 6 m 。
小结：
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
A，B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的
垂直平分线l上.又圆心C在直线ll上，因此圆心C是 直线l与直线l的交点，y半径长等于CA或CB.
A l
O
C
B
x
练习：
4、已知圆经过P(5、1)，圆心为C(8、3)， 求圆方程.
Y
C（8、3）
P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习：
5、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直 径的圆的方程.
3. 已知：一个圆的直径端点是：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
圆的标准方程
教学目标：
掌握圆的标准方程，并能 根据条件写出圆的标准方程.
上一章，我们学习了直线的方程.知道在直角坐 标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研 究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题.
本章在上一章的基础上，在直角坐标系中建立 圆的方程.通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的 位置关系.另外，我们还要学习空间直角坐标系的有 关知识，它是用解析方法研究空间几何对象的基础.
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答 ： 支 柱 A 2 P 2 的 长 度 约 为 3 . 8 6 m 。
小结：
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
A，B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的
垂直平分线l上.又圆心C在直线ll上，因此圆心C是 直线l与直线l的交点，y半径长等于CA或CB.
A l
O
C
B
x
练习：
4、已知圆经过P(5、1)，圆心为C(8、3)， 求圆方程.
Y
C（8、3）
P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习：
5、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直 径的圆的方程.
3. 已知：一个圆的直径端点是：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
高中数学必修二第四章圆与方程课件
第二页，共40页。
第46讲 │ 知识梳理
4．圆的一般方程 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当 D2＋E2－4F>0 时，表 示 此以 时－_方_D2_程_，_x_－2_＋_E2为y2＋圆D心x，＋Ey＋DF2＋＝2E0 2称－为4F圆的一般方为程半．径的圆， 5．点与圆的位置关系 可知平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C 之间存在着下列关系： (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在_圆_外____； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 _圆_上____； (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在_圆_内____．
第二十页，共40页。
│ 要点探究
► 探究点2 及圆有关的最值问题
例 2 在△OAB 中，已知 O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB 的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P 是圆上一点．
(1)求点 P 到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离的最大值和最 小值；
(2)若 S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求 S 的最大值和最小值． [思路] (1)转化为圆心到该直线的距离和圆的半径之间的关 系；(2)把 S 表示为圆上点的坐标的函数，通过这个函数的最值解 决．或者根据圆的方程的特点，进行三角换元，转化为三角函数 的最值．
第二十二页，共40页。
│ 要点探究
方法 2：(1)由于 x，y 满足(x－2)2＋(y－2)2＝4，根据同角三
角函数关系，可以设点 P 的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)(θ 为参
数，且 0≤θ<2π)，则由点到直线的距离公式可得
第46讲 │ 知识梳理
4．圆的一般方程 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当 D2＋E2－4F>0 时，表 示 此以 时－_方_D2_程_，_x_－2_＋_E2为y2＋圆D心x，＋Ey＋DF2＋＝2E0 2称－为4F圆的一般方为程半．径的圆， 5．点与圆的位置关系 可知平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C 之间存在着下列关系： (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在_圆_外____； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 _圆_上____； (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在_圆_内____．
第二十页，共40页。
│ 要点探究
► 探究点2 及圆有关的最值问题
例 2 在△OAB 中，已知 O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB 的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P 是圆上一点．
(1)求点 P 到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离的最大值和最 小值；
(2)若 S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求 S 的最大值和最小值． [思路] (1)转化为圆心到该直线的距离和圆的半径之间的关 系；(2)把 S 表示为圆上点的坐标的函数，通过这个函数的最值解 决．或者根据圆的方程的特点，进行三角换元，转化为三角函数 的最值．
第二十二页，共40页。
│ 要点探究
方法 2：(1)由于 x，y 满足(x－2)2＋(y－2)2＝4，根据同角三
角函数关系，可以设点 P 的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)(θ 为参
数，且 0≤θ<2π)，则由点到直线的距离公式可得
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的一般方程PPT课件
三.讲授新课：
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
yE 22 NhomakorabeaD2E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，此方程表示圆，
圆心
-
（2）当 D2
D 2
,
E 2
E2 4F
r 0
D2 E2 4F 2
时，此方程表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，此方程不表示任何图形
2.圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F
（2）标准方程易于看出圆2 心与半径 一般方程突出了方程形式上的特点
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三.例题分析 新课标人教A版高中数学必修二4.圆的一般方程PPT课件
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？ 如果是，请求出圆的圆心及半径。 注：让学生自己分析探求解决途径：①、用配
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
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练习：P134
A3
3.已知圆C的圆心在直线 x 2 y 1 0 上，并
x
2．求圆x 2
2 y
2x
4y
1
0上的点到原点 O的
距离的最大值 .
3.已知P(xy,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 ((21))求求x2x+y的2的最最小大值值与最小值
高一数学人教A版必修二课件第四章 圆与方程4.2.2
轴，B 点在 y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．
由题意，得 A( 2， 2)，B(0,2 2)，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由
A、B
两点在圆上，得a＝0， b＝ 2
或
a＝4
b＝5
2， 2，
由实际意义知 a＝0，b＝
2，
∴圆的方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在 B 景点在小路的投影处．
∵圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0， ∴圆心为 C1(－1,3)，半径 r＝3， ∴圆心 C1 到直线 AB 的距离 d ＝|－3－2152＋6|＝95， ∴|AB|＝2 r2－d2＝2 9－952＝254. ∴AB 所在的直线方程为 3x－4y＋6＝0，公共弦 AB 的长为254.
直线与圆的方程的实际应用 多维探究型 有一种大型商品，A、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两 地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A，B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那 么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
2.两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相 交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求 出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距 构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
位置关系
几何法
代数法
图示
外离
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优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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������ = -324.
题型一 题型二
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典例透析
故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式,解得 y=-24+12 6≈5.39(m)(负值舍去).
答:支柱A2P2的长约为5.39 m.
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典例透析
设 CD 的中点为 H,其坐标为
������1
,
������1 2
, 将H 代入③式,得
2������12
+
2������1
·������1
2
−
1
−
������12
=
2������12
+
������12
−
1
−
������12
=
������12
+
������12 − 1 = 0, 即CD 的中点 H 在 EF 上.
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①
设圆 C 的圆心为 C(x1,y1),
则可得圆 C 的方程为(x-x1)2+(y-y1)2= ������12, 即 x2+y2-2x1x-2y1y+������12 = 0. ②
①-②,得 2x1x+2y1y-1−������12 = 0. ③ ③式就是直线 EF 的方程.
设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上. |AP|2+|AQ|2+|PQ|2 =(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).
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题型一 题型二
题型二
实际应用问题
【例2】 某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱
题型一 题型二
【变式训练1】
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典例透析
如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径 为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标 系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的
长.(精确到0.01 m) (参考数据 2≈1.414, 3≈1.732)
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题型一 题型二
解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原 点建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).
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题型一
题型二
题型一
用坐标法证明几何问题
【例1】 如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的 直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.
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题型一 题型二
证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐
设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为点A,B,P在圆拱所在的圆上,所以
182-18������ + ������ = 0,
������ = 0,
182 + 18������ + ������ = 0,解得 ������ = 48,
62 + 6������ + ������ = 0,
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典例透析
(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实 现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则 需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计 算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解 答,求得结果. (4)翻译成具体问题.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
故 EF 平分 CD.源自题型一 题型二目标导航
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典例透析
反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数 运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何 问题的结论.
2.用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题.
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典例透析
解决与圆相关的实际问题的步骤 剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领
悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新 概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪 些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实 现应用问题向数学问题的转化.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
-1-
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典例透析
1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.
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典例透析
直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中 的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简称为“一建 二算三译”.
反思在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利 用坐标法解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:(1)若曲线是轴 对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;(2)常选特殊点作为直角坐 标系的原点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标 系,会简化运算过程.
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编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
典例透析
题型一 题型二
【变式训练2】 一座圆形拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2 m, 水面宽为12 m,问:水面下降1 m后,水面宽多少米?
解以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平 面直角坐标系.
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B(A在B的右侧),则由已知得
A(6,-2). 设圆的半径为r,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标(6,-2)代入①,解得r=10, 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1 m时,设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)
代入方程②,解得 x0= 51.
所以水面下降 1 m 后,水面的宽为 2x0=2 51 m.
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故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式,解得 y=-24+12 6≈5.39(m)(负值舍去).
答:支柱A2P2的长约为5.39 m.
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设 CD 的中点为 H,其坐标为
������1
,
������1 2
, 将H 代入③式,得
2������12
+
2������1
·������1
2
−
1
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������12
=
2������12
+
������12
−
1
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������12
=
������12
+
������12 − 1 = 0, 即CD 的中点 H 在 EF 上.
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①
设圆 C 的圆心为 C(x1,y1),
则可得圆 C 的方程为(x-x1)2+(y-y1)2= ������12, 即 x2+y2-2x1x-2y1y+������12 = 0. ②
①-②,得 2x1x+2y1y-1−������12 = 0. ③ ③式就是直线 EF 的方程.
设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上. |AP|2+|AQ|2+|PQ|2 =(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).
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【例2】 某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱
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如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径 为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标 系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的
长.(精确到0.01 m) (参考数据 2≈1.414, 3≈1.732)
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解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原 点建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).
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用坐标法证明几何问题
【例1】 如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的 直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.
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证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐
设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为点A,B,P在圆拱所在的圆上,所以
182-18������ + ������ = 0,
������ = 0,
182 + 18������ + ������ = 0,解得 ������ = 48,
62 + 6������ + ������ = 0,
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(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实 现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则 需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计 算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解 答,求得结果. (4)翻译成具体问题.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
故 EF 平分 CD.源自题型一 题型二目标导航
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反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数 运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何 问题的结论.
2.用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题.
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典例透析
解决与圆相关的实际问题的步骤 剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领
悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新 概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪 些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实 现应用问题向数学问题的转化.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
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直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中 的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简称为“一建 二算三译”.
反思在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利 用坐标法解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:(1)若曲线是轴 对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;(2)常选特殊点作为直角坐 标系的原点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标 系,会简化运算过程.
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听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
典例透析
题型一 题型二
【变式训练2】 一座圆形拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2 m, 水面宽为12 m,问:水面下降1 m后,水面宽多少米?
解以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平 面直角坐标系.
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B(A在B的右侧),则由已知得
A(6,-2). 设圆的半径为r,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标(6,-2)代入①,解得r=10, 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1 m时,设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)
代入方程②,解得 x0= 51.
所以水面下降 1 m 后,水面的宽为 2x0=2 51 m.