最新4第四讲无穷级数汇总
高等数学讲义第4集——无穷级数
幂级数的收敛半径及其求法
定理：如幂级数
anxn
n0
系数满足 lim n
an 1 an
(或 lim n
n
an
)
则（1） 0
R1
（2） 0
R
（3）
R0
注意：当 x R
a
n
x
n
的敛散性不能确定，要讨论
an
(R)n
n0
n0
例 6：求下列幂级数的收敛域
(1) n 1
3n
x
n
n1
n
一、 知识网络图
常数项级数的一般概念和性质
常数项级数交正几错 项何级 级级数 数数，与条p级件数和绝对收敛
幂级数收敛半径
幂级数函数的幂级数展开
幂级数的和函数
傅里叶级数函三数角在级对数称区间上的的傅里叶展开
二、典型错误分析
例 1、判断级数 1 是否收敛。
n1 2n 1
[错解]
∵
lim
n
h0
f
n
x
n!
0
x
x
0
n
f x0
f
x
1!
0
x
x
0
f
x
2!
0
x
x
0
2
f n x 0 x
n!
x 0 n
称为 f x在 x x 0 点的泰勒级数
特别当 x 0 0 ，则级数
f n0 x n
f 0
f 0 x
f 0 x 2
f n0 x n
h0 n!
1!
2!
n!
称为 f x的麦克劳林级数
2、函数 f x展开成泰勒级数的条件 x x 0 R
无穷级数知识点总结考研
无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。
其一般形式为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列，称为级数的通项。
无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim(S_n)。
在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。
二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。
如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim(S_n) = ±∞，那么称级数发散。
2. 收敛级数的判定（1）正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。
（2）比较判别法若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。
（3）比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法无法判断级数的敛散性。
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，v n，则 (u n v n ) s ；n1n1n1n1n1若 u n 收敛，v n 发散，则 (u n v n ) 发散；n1n1n1若 u n ，v n 均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .n1② 审敛法：i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界②若 lim u n0 ，则 u n 未必收敛；n1(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②n 1 n 1收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；1B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性n 1 n 1注：常用的比较级数：a①几何级数：ar n1 1 r r 1n 1 发散r| 1②p级数：［收敛P 1时.n 1 np发冃攵P 1时，③调和级数：丄1 1 1发散.n 1 n 2 n(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1与2，虽然佃乩1，nan n n 1 n n 1n n a.lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛•n' n 1 n n 1 na n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,n(iv )根值判别法(柯西判别法)设若 1则级数发散.(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数u n 发nnn 1散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n(1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U nn 1收敛.注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；u n② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3. 一般项级数的判别法： ①若u n 绝对收敛，则 u n 收敛.n 1n 1②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.n 1n 1三、幕级数 1. 定义： a n x n称为幕级数•n 02. 收敛性① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n在X 。
第4章 无穷级数内容小结
(x
x0
)n
为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1
为级数 un 的部分和. n1
若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，
此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1
收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.
④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.
无穷级数总结范文
无穷级数总结范文无穷级数是数列求和的一种方式，在数学中有重要的地位和应用。
无穷级数的概念最早由数学家Gottfried Leibniz引入，之后被广泛研究和应用。
在本文中，我们将总结无穷级数的基本概念、性质和常见的应用领域，以便读者更好地理解和应用无穷级数。
一、无穷级数的基本概念无穷级数是指由无穷多个数相加得到的和。
一般地，一个无穷级数可以写成以下形式：S=a1+a2+a3+...其中，a1、a2、a3等为数列的各项。
我们可以通过求无穷级数的部分和来研究其性质。
对于一个无穷级数，其第n个部分和Sn定义为：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、无穷级数的收敛和发散无穷级数可能收敛（即有限）也可能发散（即无限）。
为了研究无穷级数的收敛性，我们引入了极限的概念。
当部分和的数列{Sn}存在有限极限s时，即lim(n->∞)Sn = s，我们称该无穷级数收敛，并且其和为s。
我们用∑表示无穷级数。
如果部分和的数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n->∞)Sn不存在，或者lim(n->∞)，Sn， = ∞，我们称该无穷级数发散。
无穷级数的收敛性与其各项的大小和取值有关，我们将在下一章节中讨论。
三、无穷级数的性质1.部分和的性质：对于一个无穷级数，其部分和的性质对于判断其收敛性起到重要的作用。
如果一个无穷级数的部分和数列收敛，则该无穷级数收敛；如果一个无穷级数的部分和数列发散，则该无穷级数发散。
2.数项级数的性质：对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的性质也是重要的。
数项级数是指将无穷级数中的各项重新排列后所得到的级数。
对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的和与原级数的和相同。
3.加法运算：如果两个无穷级数都收敛，则它们的和也收敛，并且和的值等于各级数的和的和。
4.数乘运算：如果一个无穷级数收敛，则对该级数的每一项乘以同一个常数后所得到的级数也收敛，并且和的值等于常数与原级数的和的乘积。
(完整版)无穷级数整理
无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数的知识点总结
；
时，收敛区间为
。
例 27。求
的收敛半径及区间。
注意：当所给的级数有缺项时，一般不能用定理的方法来求其收敛半径及区间， 而应该用达朗贝尔比值审敛法来求。
解：
（1）如果
时，即
时，则
收敛；
（2）如果 （3）又在端点
时，即
时，则
发散；所以，R=1.
收敛。所以，收敛区间为
。
例 28．求幂级数
的收敛区间
解：令
；（2）
；（3）
也发散）。 的敛、散性。
解：（1）
，而
收敛，所以，
绝对收敛。
（ 2） 因 为 也发散（？）
（3）原级数为交错级数，经判断收敛。但
，所以，
发散，从
发散，故：
为条件收敛。
例 15。研究 解：（一）当
（二）当
的 敛、散性。 时，级数显然收敛，且为绝对收敛； 时，
（1）当 （2）当 （3）当
（1）
（？），如果
，则原级数发散，问题得到解决。
（2）若
，则考察
，若
收敛，则
必也收敛。（此时称
绝对收敛），问题得到解决。
（3）若
，且考察
后，知
发散，这时还要考察
是否收敛。（如果经考察
收敛，则称之为条件收敛），问题得到解决。 （但
若是用达朗贝尔判别出
发散，就可直接得出
例 14。判别下述级数的敛、散性
（1）
（二）将
代入（20）式，得：
之和。 。---（20）
例 41.求级数 解：设幂级数
的和
，其收敛域为
则
又
；
设
则
所以， 从而
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 . 部 分 和 数 列 { S n } 有 界 , 是 正 项 级 数 u n 收 敛 的 _ _ _ _ _ 条 件 , n 1
3 . 若 级 数 u n 绝 对 收 敛 , 则 级 数 u n 必 定 _ _ _ _ _ ;
若两个正项级数
u n和
v n 满足 lim u n
a,
n1
n1
v n n
(i) 0a时, u n 和 v n 都收敛或都发散;
n1
n1
(ii) a=0 时, 若 v n 收敛, 则 u n 也收敛;
n1
n1
(iii) a时, 若 v n 发散, 则 u n 也发散.
n1
n1
例 5 判定下列级数的收敛性
定义 每项都是非负数 un 0 的级数 u n 称为正项级数. n1
1) 比较判别法
若两个正项级数 u n 和 v n 从某一项开始满足
n1
n1
条件: uncvn,c0,
则: (1) 当级数 v n 收敛时, u n 也收敛;
n1
n1
(2) 当级数 u n 发散时, v n 也发散;
n1
n 3
;
6
n
n1 n3 3
注: 若un含 n!, nn , an, 通常用比值判别法; 若un为n的有理分式, 无理分式时, 通常用比较法.
3. 了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用 莱布尼茨判别法。 (1) 交错级数 定义 各项正负项相间的级数 (un>0)
1n 1u n u 1 u 2 u 3 u 4 1n 1u n
1
1
;
n1 n n 1
3
n1
ln
1 n
1
;
5
n1
ln
1
1 n
;
2
1
;
n1 3n2 n
4
2 nsin ;
n1
n
6
n1
1
cos
2 n
;
2) 比值判别法 (极限形式)
设 u n 为正项级数, 若
n1
lim
n
un1 un
q
,
则:
(i) 当 q<1 时, 级数 u n 收敛; n1
(ii) 当 q>1 或 时, 级数 u n 发散; n1
(iii) 当 q=1 时, 不能判别级数 u n 的收敛性. n1
例 6 判定下列级数的收敛性
1
n4 ;
n1 n !
3 n1 n tan 2n1 ;
5
n1n1 3n3;2n1n
3 4
n
;
4
n1
n
cos2 2n
1 n1
1
n1
np
3 1nlnn1
n1
n
2n1
sin
2
2
n0
n1
4
cosn
n1
n2
3
1 n2
结论:
1n1 np
n1
绝对收敛, 当p>1时; ： 条件收敛, 当0<p1时;
发散, 当p0时.
结论:
1n1 np
n1
绝对收敛, 当p>1时; ： 条件收敛, 当0<p1时;
定义
若 u n 收敛, 则 u n 收敛, 且称 u n 为绝对收敛;
n1
n1
n1
若 u n 发散, 但 u n 收敛, 则称 u n 为条件收敛.
n1
n1
n1
例: 判别下列级数的收敛性
n1
1n1
1 ;
n n1
1n1n12.
例 7 判别下列级数是否收敛, 如果收敛, 是绝对收敛还是 条件收敛?
n1
结论: 讨论 p 级数
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p=1 时,
称
n1
1 n
为调和级数, 是发散的.
(2) 当 p<1 时,
1 np
n1
发散.
(3) 当 p>1 时,
1 np
n1
收敛.
例: 判定正项级数
1
和
1 的收敛性.
n1 4n3 3
n1 3n2 n
1) 比较判别法 (极限形式)
n 1
称为交错级数.
莱布尼兹定理
若一个交错级数
1 n1un un
0,
满足如下条件:
n1
(1) 从某项开始 un1 un, 即数列{un}从某项开始单调递减;
(2)
lim
n
un
0;
则交错级数 1n1 un 收敛. n1
例:
级数 1n1 1
n1
n
和
n1
1n1
lnn11.
(2) 绝对收敛与条件收敛
4第四讲无穷级数
(1) 数项级数的概念
定义2 若级数第n部分和序列S1, S2, …, Sn, …的极
限存在,
即
lim
n
Sn
S,
则称级数
n
1
u
n
收敛.
且S称为此级数的和. 记作 S u n n1
若
lim
n
Sn
不存在,
则称此级数发散.
例
1 判别级数
ln
n1
n
n
1
的收敛性.
1 n 1
例 2 判断级数
n1
2 n1
的收敛性.
例 3 判断级数 3 n 的收敛性. n1
结论:
讨论等比 (几何) 级数 (公比为 q)
aqn1aaqaq2 aqn1
n1
的收敛性.
(1) 当 q
1
时,
级数收敛,
且
aqn1
n1
a .
1q
(2) 当 q 1 时, 级数发散.
例 4
判断级数
n1
(2) 级数的基本性质
1) 若 u n 和 v n 都收敛, 则对任意常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 也收敛.
n1
2) 若 u n 发散, 而 v n 收敛, 则对任意非零常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 发散.
n1
例: 判断级数 3ln23ln33ln4 23
和
2 1n
发散, 当p0时.
练 (2007年高数二)
对于幂级数 1n n1
1 np
,
下列说法正确的是(
)
(A) 当p<1时, 发散
(B) 当p<1时, 条件收敛
(C) 当p>1时, 条件收敛 (D) 当p>1时, 绝对收敛
题型一：数项级数性质、敛散性判定.
1 . 对 于 级 数 n 1 u n ,l n i m u n 0 是 它 收 敛 的 _ _ _ _ _ 条 件 ,
n1
2n
的收敛性.
(3) 级数收敛的必要条件
若
u
n
收敛,
则
lim
n
un
0;
n1
若
lim
n
un
0
,
则
n
1
u
n
一定发散.
问:
若
lim
n
un
0,
则 un
n1
收敛吗?
例: 级数
1 调和级数,
n1
ln
.
n1 n
n1
n
例:
级数
n ;
n1100n
n 112n1n.
2. 掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比 较判别法。
1 n
的收敛性.
调和级数 1 n1 n
发散.
(2) 级数的基本性质
1) 若 u n 和 v n 都收敛, 则对任意常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 也收敛.
n1
2) 若 u n 发散, 而 v n 收敛, 则对任意非零常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 发散.
n1
3) 一个级数添加或去掉有限项, 不改变其收敛性.