测量平差
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量平差
填空题１. 测量平差分类：条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差。
２. 已知ｎ、ｒ、ｔ，则条件平差条件方程、法方程分别为：ｒ＝ｎ－ｔ、ｒ；间接平差误差方程、法方程：ｎ、ｔ。
３. 水准网必要观测数的确定：自由水准网，网中水准点数减一；符合水准网，待定高程的个数。
４. 非线性方程线性化。
))(()()(00'0x x x f x f x f -+=（已省略二次项)５. 为什么选取近似值进行平差？对精度有何影响？６. 偶然误差的特性：有界性、聚中性、对称性、补偿性。
７. 依据条件方程、法方程，求PV V T。
W N K K QA V AA T 1,--== K W W N W K N K PV V T AA T AA T T -===-1 ８. 平差问题求解原则：最小二乘原理。
９. Ｆ为等精度观测，求ｆ的中误差。
2、已知)180(3ˆ -++=-=C B A W W A A，m m m m C B A ===，m m W 3=，则A m ˆ= A 。
A 、m 32B 、m 32C 、m 32 D 、m 23 4、A 、B 两点按双次观测得高差'i h 、"i h )8,,2,1( =i ，各高差之间相互独立，每一高差的中误差均为mm 2±，则全长高差算术中数的中误差为± B 。
A 、2mmB 、4mmC 、8mmD 、16mm １０.非线性误差方程式i t i i L x x xf v -=)ˆ,,ˆ,ˆ(21 的线性化形式为 i t i t ti i i i L x x x f x x f x x f x x f v -+∂∂++∂∂+∂∂=),,(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(002010202101 δδδ 。
未知参数的近似值越靠近平差值，线性化程度就越高；当线性化程度不高时，可以采用迭代法进行求解。
11.已知36=Pl l T，4=n ，法方程为024ˆˆ322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x δδ，则PV V T = 32 ，μ= 4± ，1ˆx m = 6± ，2ˆx m = 22± 。
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
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测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσ i P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论2σ取何值，权之间的比例关系不变。
③测量中常用的定权方法 ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
《测量平差》课程标准
《测量平差》课程标准一、课程简介《测量平差》是一门重要的测量学课程，旨在培养学生掌握测量平差的基本理论、方法和技能，为后续课程和实际工作奠定基础。
本课程涉及测量误差理论、最小二乘法原理、平差软件应用等方面，是一门理论与实践相结合的课程。
二、教学目标1. 掌握测量平差的基本概念、原理和方法；2. 能够运用最小二乘法原理进行测量数据平差处理；3. 学会使用平差软件进行数据处理；4. 培养学生解决实际问题的能力和创新思维。
三、教学内容与要求1. 基础知识：掌握测量误差的基本概念、性质和分类，了解测量误差的来源和影响；2. 平差基本原理：掌握最小二乘法原理，了解平差方法的选择和适用条件；3. 平差方法与应用：掌握各种测量平差方法的原理和应用，如普通平差、加权平差、随机模型平差等；4. 平差软件应用：学会使用平差软件进行数据处理，包括数据导入、参数设置、结果输出等；5. 实践环节：通过实验和实习，培养学生解决实际问题的能力和团队协作精神。
四、教学方法与手段1. 理论教学：采用多媒体教学，结合案例分析、课堂讨论等形式，激发学生的学习兴趣和积极性；2. 实验教学：安排实验课程，让学生动手操作平差软件，加深对理论知识的理解；3. 课外学习：鼓励学生自主学习，通过阅读文献、参加学术讲座等方式拓宽知识面；4. 考核方式：采用平时成绩、实验成绩和期末考试相结合的考核方式，注重对学生实际应用能力和创新思维的考核。
五、教材与参考书1. 教材：《测量平差原理与方法》；2. 参考书：《测量误差理论》。
六、课程评估1. 平时成绩：包括出勤率、作业完成情况、课堂表现等，占比30%；2. 实验成绩：包括实验报告、实验操作等，占比30%；3. 期末考试：采用闭卷考试形式，占比40%。
七、课程总结与展望通过本课程的学习，学生应该掌握了测量平差的基本理论、方法和技能，具备了解决实际问题的能力和创新思维。
为了进一步提高本课程的教学质量，可以采取以下措施：1. 加强实践教学，增加实习和实地测量的机会，让学生更好地将理论知识与实践相结合；2. 引入先进的教学手段和方法，如在线课程、虚拟仿真等，提高学生的学习效果；3. 鼓励学生参加学术活动和科研项目，拓宽学生的知识面和视野，培养学生的创新能力和团队协作精神。
测量误差与平差
例如，同一个观测者同一天用同一台仪器对同一个三角形的内角和观测了10次，闭合差w有+8″的，有- 2″的，也有为0的。
w=0 并不意味着高精度，w=8″也不表示低精度，所有的观测结果应认为是相同精度的。
只有在不同的观测条件下所作的观测，才可以看作精度不同。
除了用误差分布图表示观测精度之外，还可用简明的数字来作为衡量精度的指标。
倍乘函数：
和差函数:
函数表达式： 函数中误差为： 函数中误差为： 函数表达式： 上述一般函数形式的误差传播定律可以用于各种函数。 几种常用函数形式的误差传播律
线性函数： 函数表达式： 根据误差传播律有：
01
02
03
04
05
列出函数式；
对函数式求全微分；
将偏导数值和观测值中误差之值代入公式计算函数的中误差。
2.趋向性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 误差分布的趋向性在统计表中十分明显。 误差分布的趋向性在频率直方图中更易看出。 偶然测量误差是随机变量，服从于标准正态分布。
对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 同样，误差分布的对称性可从统计表和直方图中得到验证。
4. 抵偿性 偶然误差的算术平均值将随着观测次数的无限增加而趋于零，即：
粗差实际上是一种不太容易发现的错误，严格来讲，粗差不应属于测量误差的范畴。 三.偶然误差的特性 系统误差具有倾向的一致性，即单向性、同一性，其影响具有积累性，对测量成果精度的影响很大，必须设法消除或减小，比如施加尺长改正、加常数改正、剩余常数改正、气象改正等。 偶然误差是一种随机性误差，不能直接通过加改正数的方法来消除，在观测结果中总是不可避免地包含偶然误差，因此，偶然误差是测量误差理论的主要研究对象。 偶然误差虽然从表面上看没有规律，但实际上具有统计性规律，即特性。 下面先给出真误差的定义，然后介绍偶然误差的四个特性。
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量平差的基本原理和计算方法
测量平差的基本原理和计算方法测量平差是测量学中一个重要的概念，它用于消除测量误差，提高测量精度。
本文将介绍测量平差的基本原理和计算方法。
一、测量平差的基本原理测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，消除不可避免的误差，得到更为准确的结果。
在实际的测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是完全准确的。
而通过平差可以将这些误差分布在测量要素上，使得整个测量结果更为合理。
平差的基本原理包括以下几个方面：1. 观测误差的性质：观测误差是服从一定的概率分布的，一般满足正态分布或其近似分布。
2. 绘图、观测和计算误差的连接性：测量平差将绘图误差、观测误差和计算误差联系在一起，通过适当的方法进行计算处理。
3. 误差的耦合性：测量过程中的各个要素之间存在着一定的关系，其误差也会相互影响。
通过平差可以将这些误差合理地分配和补偿。
二、测量平差的计算方法测量平差的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本思想是将误差的平方和最小化。
通过对误差进行建模和优化，可以得到一组最优解。
2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种基于统计原理的测量平差方法。
它根据观测数据的概率分布，选择出最具可能性的结果。
通过最大化似然函数，可以得到一组最优解。
3. 权值平差法：权值平差法是一种根据观测精度的大小，给予不同权值的平差方法。
通过给观测数据引入权值，可以使得精度高的数据在计算过程中起到更大的作用，从而提高整体的测量精度。
4. 卡尔曼滤波法：卡尔曼滤波法是一种基于状态估计的测量平差方法。
它通过建立状态模型和测量模型，利用观测数据进行误差修正，从而得到更加准确的结果。
三、测量平差的应用测量平差在实际应用中有着广泛的应用。
以下通过几个领域的案例来说明。
1. 地理测量：在地理测量中，测量平差常用于大地测量和地图制图。
通过平差可以消除地球曲率、大地水准面等因素的影响，得到更加准确的测量结果，提高地图的精度和真实度。
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t ,t t ,n n,n n,t
DYY = F DXX F T
r ,r r ,n n,n n,r
它们的互协方差阵
DYZ = F DXX K T= DZY r ,n n, t
r ,t n, n
t ,r T T = FD K K D F ( XX ) XX t ,n n,n n,r
DZX F1 DXX + F2 DYX 互协方差阵 =
= DZY F1 DXY + F2 DYY
当 X，Y 独立观测时
T D = D = 0 XY YX
= DZZ F1 DXX F1T + F2 DYY F2T DZX = F1 DXX DZY = F2 DYY
非线性函数 Z=f ( X1, X2, …, Xn ) ， Y=f ( X1, X2, …, Xt )
dZ = KdX
各自的协方差阵
dY = FdX
DZZ = KDXX K T
它们的互协方差阵
DYY = FDXX F T
DYZ = FDXX K
T
DZY = KDXX F
T
线性函数组合 协方差阵
Z = [ F1
X F2 ] Y
DZZ = [ F1
DXX F2 ] DYX
DXY F1T T DYY F2
DZZ = F1 DXX F1T + F1 DXY F2T + F2 DYX F1T + F2 DXX F2T
协方差传播率-1
= Z K X + K0
r ,1 1 ,n n,n 1 ,1
2 T σ = D= KD K ZZ Z XX
K = [ k1
k2 kn ]
2 σx 1 σ x2 x1 kn ] σ x x n1
σx x
2 σx
2
1 2
DZZ = [ k1
1 ,1
k2
σx x
展开
1 ,1
n 2
σ x1 xn k 1 σ x2 xn k2 2 σ xn kn
2 2 2 2 DZZ = σ Z = k12σ x + + k nσ n + 2k1 k2σ x1 ,x2 + 2k1 k3σ x1 ,x3 1
• DXY为观测向量X关于Y的互协方差阵。 •DYX为观测向量Y关于X的互协方差阵。
DXY = DYX
n, m m ,n
T
•两个向量组合的协方差阵 设两个观测向量组：
n ,1
X = ( X1 X 2 X n )
T
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
T
则有：
DZZ DXX = DYX
+ + 2k1knσ x1 ,xn + + 2kn−1knσ xn−1 ,xn
协方差传播率-2
= Z K X + K0
r ,1 1 ,n n,n 1 ,1
2 T σ = D= KD K ZZ Z XX
K = 0 2 0 σ 2 kn ] 0 0 0 k1 0 k2 2 σ n kn
T
y12 y1m y22 y2 m
ymm
σ y1 y1
2 σy
2
DYY
m ,m
xn 2
σ ym y2
σ y1 ym σ y2 ym 2 σy m
称DYY为向量Y的协方差阵
互协方差阵 设两个观测向量组：
n ,1
X Z= Y
DXY 其中： DXY n, m DYY
σ x1 y1 σ x2 y1 = σ xn y1
σ x1 y1 σ x1 ym σ x2 y2
σ x2 ym σ xn ym
σ xn y2
DZZ的协方差阵
n ,1
X = ( X1
X2 Xn )
2 σx 1 σ x2 x1 = σ x x n1
T
x12 x1n x22 x2 n
σ x1 x1 σ x1 xn σ
2 x2
xn 2
xnn
DXX
n, n
σ xn x2
σ x2 xn 2 σx n
数学期望：随机变量X 取值的概率平均值，记作 E(X )。 在观测值有限时，采用算术平均值代替数学期望 n 值。 2 ∆ ∑ i 方差： σ 2 = lim i =1 ∆→∞ n 中误差(标准差):
σ = lim
∆→∞
∑∆
i =1
n
2 i
n
协方差：
σ XY＝ lim
∆→∞
∆ ( ∑ =
i 1
n
xi
真误差：观测值与真值（或数学期望）之差。或 者称为误差。 平均误差（θ）：在一定的观测条件下，一组独立 偶然误差绝对值的数学期望。
lim
n→∞
∑∆
i =1
n
i
当为偶然误差时： θ ≈ 0.7979σ 或然误差：在一定的观测条件下，误差出现在 (ρ, +ρ)之间的概率为0.5。即
ρ ≈ 0.6745σ
∆ yi
)
n
=σ YX
协方差：
设两个观测向量：
n ,1
X = ( x1 x2 xn )
n
T
Y = ( y1
n ,1
y2 yn )
T
σ XY＝ lim
∆→∞
∆ ( ∑ =
i 1
xi
∆ yj
)
n
=σ YX
结果是个数
X，Y维数相同
协方差阵 设观测向量组
x11 x X = 21 n, n x n1
n
极限误差：在一定观测条件下偶然误差出现的最大 值。 ∆ 限＝3σ 相对误差：指的是测量所造成的绝对误差与测量真 值之比。 相对中误差：相对中误差=相对误差/观测值，在 测量中一般将分子化为1 σ 1
L = N
一般情况角度，高差用中误差作为衡量精度的标准 ；量距用相对误差作为衡量精度的标准。
精度：指误差分布的密集或离散程度，就是 离散度的大小。 精度的指标：中误差，协方差阵，相对误差。 一般情况角度，高差用中误差作为衡量精度 的标准；量距用相对误差作为衡量精度的标准。 准确度：指随机变量X的真值与其数学期望 − E(X) E(X)之差。 ε = X 精确度：观测值与其真值的接近程度。 2 MSE = ( X ) E ( X − X ) 它是精度与准确度的合成。
称DXX为向量X的方差-协方差阵，简称为方差阵或 协方差阵 方差阵为对称方阵 独立观测时，方差阵为对角阵
协方差阵 设观测向量组
y11 y Y = 21 m ,m yn1
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
2 σy 1 σ y2 y1 = σ y x m1
2 2 k ∑ i σ ii i =1 n
当Xi 独立时
DZZ = [ k1 k2
展开
1 ,1
2 2 2 2 DZZ = σ Z = k12σ 12 + k2 σ 2 + + k12nσ n =
线性函数
= Z K X + K0
r1 rn r1
= Y F X + F0
r1 rn r1
各自的协方差阵
X = ( X1 X 2 X n )
T
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
T
DXY
n,m
σ x1 y1 σ x1 y1 σ x1 ym T σ x2 y1 σ x2 y2 σ x2 ym = D YX m ,n σ xn y1 σ xn y2 σ xn ym