几何概型及其概率计算
高中数学：第三章概率 小结 (21)
探究2 解与面积相关的几何概型问题的三个关键点． (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几 何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
第25页
思考题2
(1)(高考真题·北京卷)设不等式组
0≤x≤2， 0≤y≤2
①求乘客到站候车时间大于10分钟的概率； ②求候车时间不超过10分钟的概率； ②求乘客到达车站立即上车的概率．
第12页
【思路】 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 结果 【解析】 ①如下图所示，设相邻两班车的发出时间为 T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分 钟”为事件A.
【解析】 ∵区间[－1，2]的区间长度为3，随机数x的取值区
间[0，1]的区间长度为1，
∴由几何概型知x∈[0，1]的概率为13.
【答案】
1 3
第9页
(2)在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求 AM的长大于AC的长的概率．
【思路】 点M随机地落在线段AB上，故试验所有点所在的 区域为线段AB，在AB上截取AC′＝AC，则当点M位于线段BC′上 时，AM>AC.故“AM的长度大于AC的长度”的度量为BC′.
思考题1 某人向平面区域|x|＋|y|≤ 2 内任意投掷一枚飞 镖，则飞镖恰好落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为________．
第51页
【解析】 区域|x|＋|y|≤ 2是边长为2的一个正方形区域(如 图)，由图知所求概率为π4.
第44页
自助餐
第45页
与线性规划有关的几何概型问题 (仅供先学必修五的学校使用)
高二数学概率知识点总结
高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
4. 概率的定义：对于一个随机事件A，它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。
如果P(A)=1，则事件A 为必然事件；如果P(A)=0，则事件A 为不可能事件。
二、古典概型
1. 古典概型的特征：
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的概率计算公式：P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。
三、几何概型
1. 几何概型的特征：
-试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A 的区域长度（面积或体积）
÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件：如果事件A 和事件B 不能同时发生，那么称事件A 和事件B 为互斥事件。
-互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)（A、B 互斥）。
2. 对立事件：如果事件A 和事件B 必有一个发生，且仅有一个发生，那么称事件A 和事件 B 为对立事件。
-对立事件的概率计算公式：P(A)=1 - P(A 的对立事件)。
几何概型的概率计算公式
几何概型的概率计算公式
几何概型是指在随机试验中，样本空间中的事件是由几何图形表示的情况。
比如投掷一枚硬币，其几何概型为一个二元组成的集合{正面，反面}，用几何图形表示就是一个圆，圆内分别标有正面和反面。
对于几何概型，我们可以使用概率计算公式来计算事件发生的概率。
下面介绍两种常见的几何概型及其概率计算公式。
一、均匀分布的几何概型
均匀分布的几何概型是指样本空间中所有可能的事件发生概率相等的情况。
比如扔一个骰子，其几何概型为{1,2,3,4,5,6}，每个数字出现的概率都是1/6。
对于均匀分布的几何概型中的某个事件A，其概率计算公式为：
P(A) = 面积(A) / 面积(样本空间)
其中，面积(A)是事件A所对应的几何图形的面积，面积(样本空间)是样本空间所对应的几何图形的面积，两者都必须是可测量的。
二、正态分布的几何概型
正态分布的几何概型是指事件在一个连续的区间内发生的概率，符合正态分布的概率密度函数。
比如身高和体重等连续型随机变量的分布，常常使用正态分布的几何概型进行概率计算。
对于正态分布的几何概型，设事件A在区间[a,b]内发生的概率为P(A)，则其概率计算公式为：
P(A) = ∫a~b f(x) dx
其中，f(x)是正态分布的概率密度函数，a和b分别是区间的上下界，∫a~b代表对x从a到b的积分。
通过以上公式，我们可以对几何概型中的事件概率进行准确计算。
几何概型概率
几何概型概率（实用版）目录1.几何概型概率的定义与性质2.几何概型概率的计算方法3.几何概型概率的应用举例正文一、几何概型概率的定义与性质几何概型概率是概率论中的一种概率类型，它是研究随机现象在几何空间中的分布规律。
几何概型概率具有以下性质：1.有限性：试验结果的数量是有限的。
2.等可能性：每个试验结果发生的可能性相等。
二、几何概型概率的计算方法几何概型概率的计算方法通常使用概率公式：P(A) = 满足条件 A 的试验结果数 / 所有可能的试验结果数。
例如，从 n 个不同元素中任选 2 个进行组合，可以得到的组合数为C(n, 2)，那么组合的概率为 P(C(n, 2)) = C(n, 2) / C(n, n) = (n*(n-1)) / (2*1) = n*(n-1) / 2。
三、几何概型概率的应用举例几何概型概率在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.投针问题：在平面上随机投掷一根针，求针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率。
解答：假设针的长度为 1，投针点距离 x 轴正半轴的距离为 d，则根据三角函数的性质，有 d = 2 * sin(θ/2)。
因为针的长度为 1，所以投针点在以原点为圆心、半径为 1 的圆内。
因此，针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率为θ/2。
2.随机分割问题：将一个边长为 1 的正方形随机分割成两个三角形，求分割后两个三角形的面积比值小于等于 k 的概率。
解答：假设分割线段的长度为 x，其中一个三角形的面积为 S1 = (1-x)^2/2，另一个三角形的面积为 S2 = x^2/2。
因此，S1/S2 = (1-x)^2 / x^2 = (1-2x+x^2) / x^2 = 1 - 2x/x^2 + x^2/x^2 = 1 - 2/x + 1/x^2。
要求S1/S2 <= k，即 1 - 2/x + 1/x^2 <= k，解得 x >= 2/sqrt(k) 或x <= -2/sqrt(k)。
几何概型的概率公式
几何概型的概率公式
几何概率公式是统计学中一种重要的概率模型，它用来描述一个事件中重复发生的概率。
几何概率公式可以用来计算一个事件的重复发生次数，以及在多次尝试后发生的频率。
几何概率公式可以用来分析一个事件的概率分布，也可以用于预测一个事件的发生概率。
几何概率公式是一种概率模型，它可以用来计算一个事件发生的概率，假设该事件在每次尝试中只有两种结果：成功或失败。
几何概率公式可以用来确定一个事件具备多少次成功的概率，它可以用来计算一次尝试中成功的概率，也可以用来计算一次尝试中失败的概率。
几何概率公式的具体表达式如下：P(S) = 1 - (1 - p)^n，其中S表示成功的概率，p表示每次尝试中成功的概率，n表示尝试的次数。
几何概率公式的意义在于，如果每次尝试中成功的概率都相同，那么在多次尝试后，总成功概率就可以用几何概率公式来计算。
几何概率公式可以应用于许多不同的领域，例如抽奖、娱乐场游戏、网络投票、社会调查等。
几何概率公式还可以用来计算一个企业在某段时间内产品故障发生的概率，以及一个投资者获得收益的概率等。
几何概率公式是一种重要的概率模型，它可以用来预测一个事件的
重复发生的概率，也可以用来分析一个事件的发生概率分布，为解决各种实际问题提供重要的参考依据。
必修三第3章第3节几何概型
年 级 高二 学 科 数学版 本苏教版课程标题 必修三第3章第3节 几何概型编稿老师 褚哲 一校 黄楠二校张琦锋审核孙永涛一、学习目标1. 正确理解几何概型的概念。
2. 掌握几何概型的概率计算公式。
二、重点、难点几何概型的概念、概率计算公式及应用三、考点分析本讲内容在高考中所占比重较小，近几年的高考对概率相关知识的要求降低，主要是以现实生活为背景，以几何图形为载体，重点考查几何概型的概率的求法，多以选择题、填空题形式出现。
其中与长度、面积（体积）有关的几何概型更为重要。
1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A知识点一：几何概型与古典概型的区别例1 判断下列试验中事件A 发生的概率属于古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
思路分析：本题考查几何概型与古典概型的特点。
古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。
解题过程：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中转盘指针指向B 区域时有无限多个结果，且不难发现“指针落在阴影部分”，所求概率可以用B 区域的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型。
解题后反思：要注意几何概型与古典概型的区别：古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。
归纳与技巧：几何概型(含解析)
归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2． 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3． 在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231． 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3． 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4． 已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5． 在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6． 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128． 如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12． 已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123． 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
无论是在玩游戏、抽奖，还是在进行科学研究、经济决策时，概率都起着重要的作用。
下面，让我们一起来学习概率的初步知识，并通过一些例题来加深对概率的理解。
一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
它的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。
二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用古典概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？基本事件总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数为 3，所以取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 3 ／ 5 ＝ 062、几何概型如果一个试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用几何概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例如，在一个边长为 1 的正方形内随机取一点，该点落在正方形内一个半径为 05 的圆内的概率是多少？圆的面积为π×（05)²＝025π，正方形的面积为 1×1 ＝ 1，所以该点落在圆内的概率 P(落在圆内) ＝025π ／ 1 ＝025π三、独立事件与条件概率1、独立事件如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的事件。
例如，抛两次硬币，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上就是两个独立事件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精选ppt
1
教学内容：几何概型及其概率计算 教学对象：高一年级学生 教学目标：1.理解几何概型的定义及特点．
2.掌握几何概型的概 率计算公式．
精选ppt
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【知识回顾】
古典概型
(1)定义：古典概型满足的条件： ①试验中所有可能出现的基本事件只有__有_限__个； ②每个基本事件出现的可能性_相__等__.
【题型探究】
类型一 与长度有关的几何概型
例1.取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m
的概率为 ( D )
1
A.
2
B. 1 3
1
1
C.
4
D. 5
【解析】如图所示.记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.
把绳子五等分，
1
于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ,
3
得事件“3a-1<0”发生的概率为1 .
3
答案：1
3
精选ppt
10
2.在{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}中，满足y>x的事件的概率
为
.
【解析】由0≤x≤1且0≤y≤1得到的正方形面积为S=1，
而y=x恰把其面积二等分，故P=1 .
2
答案：1
2
精选ppt
11
【课堂小结】
1.几何概型常常与长度、面积、体积、角度等几何因素有关，在解答 此类问题时，首先要分析题目条件，将所求问题正确转化. 2.求解与长度、面积或体积有关的几何概型的步骤： (1)找到试验的全部结果构成的区域D， (2)找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，边界是否取到不影 响事件A的概率. (3)利用几何概型概率的计算公式P= d 计算.
(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为
P(A)=
A包含的基本事件个数 总的事件个数
精选ppt
3
【知识提炼】
1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_长__度__(__面__积_或_体__积_) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件有_无__限__多__个__. (2)每个基本事件出现的可能性_相__等__.
所以事件A发生的概率P(A)=1
5
5
类型二 与面积有关的几何概型
例2.(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，
BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 ( B ) A . B . C . D . 24 6 8
【解析】由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，以AB为直
13S四边形ABCDh＝16.
若体积小于 1 ，则h< 1 ，
6
2
所以
P＝
1 2
V正 方 体
＝
1
.
V正方体 2
即点M在正方体的下半部分，
答 案 ：1
2
精选ppt
9
【课堂练习】
1.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1<0”发生
的概率为
.
【解析】由题意，得0<a<1 ，所以根据几何概型的概率计算公式，
D
精选ppt
12
【课后作业】
1.（2015·福建高考）如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐
标为（1，0），且点C与点D在函数f
x
x
1,x 1 x 1, 2
0, x＜0
的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率
等于（ ）
A.1 B.1 C.3 D.1 648 2
精选ppt
13
2.(2015·衡水调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点 P，则△PAB的面积不大于 S 的概率是_________.
4
精选ppt
14
谢谢大家！
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
径的半圆的面S1＝ 积1212＝2.
故质点落在以AB为直径的半圆内的概 率
P＝ 2 ＝ . 24
类型三 与体积有关的几何概型
例3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M-ABCD的体积
小于 的16 概率为______12 __.
【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为 又Sh四，边形则ABCD＝1，所以h＝12 .
精选ppt
4
3.几何概型的概率公式
构 成 事 件 A 的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 )
P(A)=__试 __验 _的 __全 __部 __结 __果 _所 __构 __成 __的 __区 _域 __长 __度 __( 面 __积 __或 __体 __积 _) __
【即时小测】 思考下列问题： (1)几何概型的概率计算一定与构成事件的区域形状有关? 提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事 件的区域形状无关. (2)在射击中，运动员击中靶心的概率是在(0，1)内吗? 提示：不是.根据几何概型的概率公式，一个点的面积为0，所以概率 为0.