古典概型及计算公式
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
《古典概型》 知识清单
《古典概型》知识清单一、什么是古典概型古典概型是概率论中一种最基本、最简单的概率模型。
它具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
比如说掷一枚质地均匀的硬币，结果只有正面和反面两种，而且出现正面和反面的可能性是相等的，这就是一个古典概型的例子。
再比如掷一个质地均匀的骰子，出现 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点的可能性相同，这也是古典概型。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数 m ／基本事件的总数 n举个例子，掷一个质地均匀的骰子，求掷出奇数点的概率。
掷出奇数点有 3 种情况（1 点、3 点、5 点），而掷骰子总共 6 种可能结果，所以掷出奇数点的概率 P ＝ 3 ／ 6 ＝ 1 ／ 2 。
三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
这需要我们清楚地知道试验中所有可能的结果有多少个。
2、确定事件 A 包含的基本事件个数 m 。
要准确找出满足事件 A 发生的所有可能情况。
3、代入公式计算 P(A) ＝ m ／ n 。
比如从 1、2、3 这三个数字中随机抽取一个数字，求抽到奇数的概率。
基本事件总数 n ＝ 3，事件“抽到奇数”包含的基本事件个数 m ＝ 2（1 和 3），所以概率 P ＝ 2 ／ 3 。
四、古典概型中的排列组合在计算古典概型的概率时，经常会用到排列组合的知识。
排列：从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
组合：从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记作C(n, m) 。
例如，从 5 个人中选 2 个人排成一排，有多少种排法？这就是排列问题，结果是 A(5, 2) ＝ 20 种。
而从 5 个人中选 2 个人组成一组，不考虑顺序，有多少种选法？这就是组合问题，结果是 C(5, 2) ＝ 10 种。
3.2古典概型
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ 7
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
变式1：两数之和不 变式1 低于10 10的结果有多少 低于10的结果有多少 种？两数之和不低于 10的的概率是多少 的的概率是多少？ 10的的概率是多少？
设“摸出两个球都是红球”为事件A 摸出两个球都是红球”为事件A 中包含的基本事件有10个 则A中包含的基本事件有 个， 因此 P ( A) = 中包含的基本事件有
m 10 5（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（6， ） （6，7）、（ ，8） ， ）、（ （7，8） ， ）
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
数学古典概型公式p(A B)
数学古典概型公式p(A B)
古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
古典概型计算公式：P（A）=m/n=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n
注意：计算时间A概率的关键
（1）计算试验的所有可能结构数n。
（2）计算事件A包含的可能结果数m。
如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m/n=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n
古典概型的概率计算公式是 P(B)=事件B包含的基本事件数n/样本空
间的基本事件总数m=n/m. 样本空间满足两个条件:
1、样本空间的基本事件总数是有限多个;
2、每个基本事件发生的概率都是等可能的,即为1/m.。
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式高中数学中，概率是一个重要的概念，我们常用古典概型来计算事件的概率。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
这里介绍高中古典概型的概率公式。
1. 古典概型的定义首先我们来回顾一下古典概型的定义。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
比如掷一枚骰子，每个点数的概率都相等。
这就是古典概型。
2. 古典概型的概率公式对于古典概型，我们可以用公式来计算事件的概率。
公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的个数。
例如，掷一枚骰子，求点数为 3 的概率。
这个事件的样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中点数为 3 的元素个数为 1，样本空间的元素个数为 6。
因此，点数为 3 的概率为：P(点数为 3) = 1 / 6又例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求抽到黑桃的概率。
这个事件的样本空间为 52 张牌，其中黑桃牌的个数为 13 张，因此，抽到黑桃的概率为：P(抽到黑桃) = 13 / 52 = 1 / 43. 古典概型的应用古典概型的应用非常广泛，我们可以用它来计算各种事件的概率。
比如掷硬币、抽扑克牌、摇色子等等。
下面举一个例子。
假设有一个装有 5 个红球和 3 个蓝球的盒子。
现在从盒子中任取 2 个球，求取出的球都是红球的概率。
这个问题可以用古典概型来解决。
首先，样本空间中元素的个数为：n(S) = C(8, 2) = 28其中，C(n, m) 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
在这个问题中，从 8 个球中取出 2 个球的组合数为 28。
接着，事件中元素的个数为：n(A) = C(5, 2) = 10其中，从 5 个红球中取出 2 个红球的组合数为 10。
因此，取出的球都是红球的概率为：P(取出的球都是红球) = n(A) / n(S) = 10 / 28 = 5 / 144. 总结古典概型是解决概率问题的一种常用方法。
古典概型本1-3
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验E, 具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。
7、小结
古典概型 应用
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有有 限个 定义 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的
P( A)
k 事件A中包含的基本事件数 n 中的基本事件总数
备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 解
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
1.3 古典概型
正整数解的组数为
C 1 5 1 C 1 4 9 1
2 3 1
特点：球相同，盒子不同. 球不相同，盒子不同.（此即为多组组合模式）
例1 在自然数1,2,…,120中任取一数，求此数能被3整除的概率. 解：
设A=“此数能被3整除”
{ 1 , 2 , 120 }
A { 3 , 6 , 120 }
n=120, nA=40.
P ( A)
由古典概型的计算公式：
40 120 1 3
例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流
放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在按 1）有放回抽样 2）不放回抽样条件下，
求下列事件的概率:
An
r
即为通常的排列公式.
例如：从数字1,2,3中有重复的取出3个，有重复的 组合数为10，从数字1,2,3，4，5中有取出3个的组合 数也是10. 对应关系如下： 可重复的组合
111 112 113 122 123 133 222 223 233 333
5个元素取出3的组合
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
§1.3
古典概型
1 定义： 若随机试验具有下列性质 (1) 具有有限个样本点 1 , 2 , n (2) 每个样本点出现的机会均等 P (1 ) P ( 2 ) P ( n ) 1 则称此试验为古典概型。
n
2 概率计算：
P ( A) k A 中所含基本事件数 n 基本事件总数 A 中样本点数 样本点总数
P ( Am ) C k ( n 1)! n!
1
k n
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大量的重复试验
费时，费力
对于一些特殊的随机试验，我们可以根据试验结 果的对称性来确定随机事件发现的概率
探究：
1、投掷一枚均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上” 的机会相等吗？ 2、抛掷一枚均匀的骰子,出现数字 “1”、 “2”、“3”、 “4”、“5”、“6” 的机会均等吗？ 3、转动一个十等分(分别标上数字0、1、…、9)的转盘, 箭头指向每个数字的机会一样吗？
试验的所有可能结果是无限的，故不是 古典模型
（2）射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的 结果只有有限个：命中10环、命中9环、……命 中1环和命中0环（即不命中），你认为这是古典 概率模型吗？为什么？
所有可能结果有11个，但命中10环、9环、….0环 的出现不是等可能的，故不是古典概率.
古典概型
不重不漏
①求出总的基本事件数；
率 ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用
公式P（A）=
初
A包含的基本事件数
总的基本事件个数
步 注：有序地写出所有基本事件及某一事件A中所 包含的基本事件是解题的关键！
小结： 1．进一步理解古典概型的概念和特点；
2．进一步掌握古典概型的计算公式；
3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．
(5,2.5) (5,5) (5,10) (5,20)
10 (10,2.5) (10,5) (10,10) (10,20)
20 (20,2.5) (20,5) (20,10) (20,20)
对照表格回答(2),(3)
2.5
2.5
5
5
7.5
10 12.5
20 22.5
阅读教材P137
5
10
20
7.5 12.5 22.5
数学：３．２．１《古
典概型的特征和概率计 算公式》课件PPT（北师
大版必修3）
§3.2.1 古典概型
问题引入：
口袋内装有2红2白除颜色外完全相同的4球, 4人按序 摸球,摸到红球为中奖, 如何计算各人中奖的概率?
我们通过大量的重复试验发现：先抓的人和后抓的 人的中奖率是一样，即摸奖的顺序不影响中奖率， 先抓还是后抓对每个人来说是公平。
例题分析
【例6】 现有一批产品共有10件，其中8件为正
品，2件为次品：
概 （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，
求连续3次取出的都是正品的概率；
率 （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概 率．
初
p(A) 512 64 1000 125
p(B) 876 7 1098 15
3数”
5 结果共n=6个，出现奇、偶数的都有 m=3个，并且每个结果的出现机会是
2 相等的，
4故
6
m3
m3
P(A) ;p(B)
n6
n6
同时掷两粒均匀的骰子,落地时向上的点数之和有几种可能？点数之和为7的概率是多少？
123456
1234567
2 3 4 5 6 7 8 列表法
3456789
10
15
25
15
20
30
25
30
40
小结
1.古典概型的概念 (1)试验的所有可能结果(每一个可能结果 称为基本事件)只有有限个,每次试验只出 现其中的一个结果;
(2)每一个结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率公式
P(A)
m(A包含的基本事件数) n(基本事件总数)
3.列表法和树状图
作业：
P138 练习：第2题
的概率公 式
P( A)
A包含的基本事件的个数m 基本事件的总数n
注意：计算事件A概率的关键 （1）计算试验的所有可能结果数n； （2）计算事件A包含的可能结果数m.
问题 掷一粒均匀的骰子落地时向上的点数为偶数或奇 数的概率是多少呢？
设用A表示事件“向上的点数为偶数 1“；用B表示事件“向上的点数是奇
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正）， （正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）， （反，反，反）.
例2.在一个健身房里用拉力器进行锻炼时,需要 选取2个质量盘装在拉力器上.有2个装质量盘的 箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量 盘:2.5kg, 5kg,10kg,20kg,每次都随机地从2个 箱子中各取1个质量盘装在拉力器上,再拉动这 个拉力器。 (1)随机地从2个箱子中各取1个 质量盘,共有多少可能的结果？
这些试验有什么共同特点?
抽象概括
古典概型
(1).试验的所有可能结果只有有限个,且 每次试验只出现其中的一个结果；
(2).每一个试验结果出现的可能性相同。
把具有上述两个特征的随机试验的数学模型 称为 (古典的概率模型)
每个可能结果称为基本事件
思考交流
（1）向一个圆面内随机地投一个点，如 果该点落在圆内任意一点都是等可能的， 你认为是古典模型吗？为什么？
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
A表示事件“点数之和为7”,
则由表得n=36,m=6.
P(A)
36 6
思考
先后抛掷2枚均匀的硬币出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少？
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；
探究 先后抛掷 3 枚均匀的硬币,求出现“两个正面,一个反面” 的概率。
10000个基本事件，即0000，0001，0002，…，
初 9999．是一个古典概型.其中事件A“试一次密码就 能取到钱”由1个基本事件构成．
步
所以： P( A) 1
10000
课堂小结
求解古典概型的概率时要注意两点：
（1）古典概型的适用条件：试验结果的有限性
概
和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
步
有无放回问题
例题分析
【练习】某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现 随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，
概 问第二次才能打开门的概率是多少？
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？
率
初
p(A) 4 1 12 3
p(B) 4 1 16 4
步
有无放回问题
例题分析
【例7】
概
率 〖解〗每个密码相当于一个基本事件，共有
(2)计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列 质量的概率:①20kg ②30kg ③超过 10kg
(3)如果某人不能拉动超过22kg的质量,那么他 不能拉开拉力器的概率是多少?
(1) 列表法
第二个
2.5
5
10
20
第一个
2.5 (2.5,2.5) (2.5,5) (2.5,10) (2.5,20)
5