美国中小学数学课程标准6：问题解决.
小学数学课程标准(完整解读)
数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在(培养人)的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。
一、课程性质数学课程具有基础性、普及性和发展性。
数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。
二、课程基本理念1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。
它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。
课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。
课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。
课程内容的呈现应注意层次性和多样性。
3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。
学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。
浅析美国_学校数学原则和标准_
数学走廊浅析美国 学校数学原则和标准云南省教育科学研究院 黄邦杰1998年10月美国全国数学教师联合会在Inter-net网上公布了美国 学校数学原则和标准 讨论稿( Pr inciples and Standards for School M athematics:Dis-cussion Draft )简称 原则和标准 草案.讨论稿的公布将是美国全国数学教师联合会继1989年公布 学校数学课程与评估标准 (简称1989年 标准 )后,为总结经验,提高美国中小学数学教学质量,明确目标、促进数学教育改革的又一新的重大举措. 原则和标准 草案共有342页,论述了幼儿园前到12年级的数学课程原则以及标准,反映了美国面向21世纪的数学教育改革的最新动向.以下就 原则和标准 草案,谈几点个人的分析体会,仅供参考.1. 原则和标准 草案的公布是美国数学教育适应新形势发展需要不断改革的结果为了适应时代发展需要,进一步修改1989年 标准 ,美国全国数学教师联合会于1997年成立了数学课程标准起草小组,并开始起草新的数学课程标准方案,未来标准委员会(T he Commission on the future of t he Standard)参与协调有关组织之间的关系,协助标准的起草工作.1998年起草小组分别在亚特兰大和华盛顿特区就全美数学课程标准召开了两次特别会议,广泛征求论文,同时起草小组还广泛收集了数学课程论、州或省一级的课程方案、数学课程研究论文、政策性文件以及国外数学课程方案.在上述工作的基础上,美国全国数学教师联合会于1998年10月在Internet 网上公布了 学校数学原则和标准 讨论稿,进一步广泛征求意见,然后进行修改,从而形成未来美国正式的数学课程标准.公布的 原则和标准 草案指出,当今社会是一个变化非常迅猛的时代.科学技术飞速发展,人类已进入信息时代,在日常生活工作中人们不得不处理大量的数据并作出决策.如今人们普遍使用I nternet网和电子技术,如图象计算器、计算机等.因此,今天的情形与10年前已大不一样,从而有必要对1989年 标准 进行修改,以适应社会发展的需要.早在公布1989年 标准 时,美国全国数学教师联合会就认为 标准 需要检验和修改,以反映时代的要求.经过近10年的实践,他们认为1989年 标准 为促进全美数学教学质量的提高起到了积极的指导作用.如1989年 标准 强调问题解决、交流、推理和联系;认为 做 数学而不是记忆数学;强调统计、概率和离散数学以适应技术和信息社会的需要;强调教学方法要有利于学生的数学学习,要创造环境,让学生有机会进行数学交流和推理;将评价看作是学习整体的一部分等观点,经实践证明是正确的,需要进一步继承和发展.同时,他们也认为对在理解1989年 标准 中存在的一些片面思想和做法也需要克服.因此, 原则和标准 草案是在总结近10年来贯彻执行1989年 标准 的经验以及反映社会发展需要的基础上形成的纲领性文件.原则和标准 草案借鉴了国外好的数学课程方案.如分析了第三次国际数学和科学研究(T IM SS)的结果,比较分析了美国学生测试结果不理想与其他国家的差距, 草案 认为有必要借鉴其他国家的数学课程标准.2. 原则和标准 草案结构分析草案 共8章,各章内容标题如下:第1章 介绍第2章 学校数学课程计划指导原则第3章 幼儿园前~12年级数学标准总论第4章 幼儿园前~2年级数学标准第5章 3~5年级数学标准第6章 6~8年级数学标准第7章 9~12年级数学标准第8章 参考文献原则和标准 草案与1989年 标准 大体一致,只是增加了 第2章 学校数学课程计划指导原则 ,学段由1989年 标准 的3段(K~4年级,5~8年级、9 ~12年级)划分成4个学段,将数学学习延伸到幼儿园前,反映了数学学习应从小抓起的思想. 原则和标准 草案认为 婴幼儿和幼儿园阶段是建立数学发展的基础,这一时期数学学习应建立在孩子的亲身经历、好奇心和热情的基础之上 .另一方面, 原则和标准 草案只给出了数学课程原则和标准,而未将评价(Evalu-ation)标准并入,而1989年 标准 包括课程标准和评估,可见此次数学课程改革对课程内容标准的重视. 原则和标准 草案指出课程标准很关键的就是处理好什么样的数学课程能够向所有学生提供高质量的数学以及学生在学校学习过程中应学习什么样的内容和掌握什么样的方法两方面的问题.3. 原则和标准 草案进一步明确了数学教学中应遵循的原则原则与标准 草案总结归纳了过去10年公布的 学校数学课程与评估标准 (1989年)、 数学教学专业标准 (1991年)、 学校数学评估标准 (1995年)3个文件精神,在 第二章 学校数学课程计划指导原则 中,就数学课程、标准、评价等方面提出了以下6个应遵循的原则:(1)平等原则(T he Equit y P rinciple):数学课程计划应促进所有学生的数学学习.(2)数学课程原则(T he M athematics Curriculum Principle):数学教学计划应通过广泛联贯的数学课程,强调重要和有意义的数学.(3)教学原则(T he T eaching P rinciple):数学课程计划依赖于有责任心、有能力的教师.(4)学习原则(T he L earning Principle):数学课程计划应让所有学生理解和应用数学.(5)评估原则(T he Assessment P rinciple):数学课程计划应包括监视、提高、评估所有学生的学习和教学反馈.(6)技术原则(T he T echnology P rinciple):数学课程计划应利用技术帮助学生学习数学,为学生在今后不断发展的技术世界中应用数学作准备.从上看出 原则和标准 草案在原则内容要求上面向全体学生( all students ),并将 平等原则 放在首位,体现了 大众数学 ( mathematics fo r all )的思想.原则和标准 草案教学内容的选取着重考虑了社会对未来建设者的数学要求,认为社会对数学知识的需求包括以下四个方面:(1)数学读写能力(M athematical literacy):数学和技术的作用在日常生活中不断增强,人们生活在一个经常需要有数量意识才能作出明智决策的世界.(2)文化素养(Cultural literacy):数学是一种文化,数学是人类创造的文明成果,每一个公民应有欣赏和理解这一文明成果的能力.(3)工作的需要(M athematics for the wor kplace):今后的工作对未来建设者在数学知识以及能力和问题解决方面都提出了较高要求.(4)数学家、科学家、工程师以及其他使用数学的人(M athematician,scientists,eng ineers and other users of mathematics):学校数学课程既要面向大多数学生也要注意少数尖子学生的培养,这样将会产生大批从事以上领域研究的人才.原则和标准 草案指出: 作为积极进取的社会成员,所有公民都必须发展基础的数学知识和基本技能,达到数学的思考和推理.原则和标准 草案对4个学段提出了统一的10个标准,前5个标准指学生应学习的内容,后5个标准指学生获取知识和应用知识的方法.各学段统一的10个课程标准如下:(1)数以及运算;(2)模式、函数和代数;(3)几何和空间观念;(4)测量;(5)数据分析、统计和概率;(6)问题解决;(7)数学推理和证明;(8)数学交流;(9)数学联系;(10)数学表达.下面是1989年 标准 各学段课程标准的标题一览表:编号K~4级5~8级9~12级1课题求解(同左)(同左)2数学交流(同左)(同左)3数学推理(同左)(同左)4数学联系(同左)(同左)5估 值数以及数的关系代 数6数感与计数数系统与数论函 数7整数运算概念计算与估值综合几何8整数计算模式与函数解析几何9几何与空间感代 数三 角10度 量统 计统 计11统计与概率概 率概 率12分数与小数几 何离散数学13模式与关系度 量微积分基础14数学结构 通过对比看出 原则和标准 草案保留了1989年 标准 的主要部分,并将一些标准内容进行了合并,增加了 表达(Representation) 这一标准内容.并对各学段用统一的10个标准要求,突出整体联贯的思想.值得注意的是 原则和标准 草案中将知识内容要求放在前,而将方法类标准放在后,说明知识与能力的关系中,知识的基础性作用是很重要的.在 原则和标准 草案的各标准安排顺序上,起草小组已意识到这一点.由此可看出今后美国在重视数学基础知识和基本技能方面的教学将会得到加强.5.降低弹性、强调统一、分层要求、利于评价和提高1989年 标准 公布后,考虑到让地方有更多的选择余地执行 标准 ,结果适得其反.由于1989年 标准 弹性较大,人们理解和解释不一,各种分析文章应运而生,结果影响了1989年 标准 的正确贯彻,如1989年 标准 指出应减弱的内容理解成取消.另一方面在分析第三次国际数学和科学研究(T IM SS)测试基础上,他们认为美国数学课程广而浅,而其他测试成绩好的国家没有美国学得广,但相同内容却学得深.因此,应对学习内容作进一步的规定,而不能仅仅是大的课题和数学策略的培养,还应重视数学知识的学习和技能的提高.因此, 原则和标准 草案采取在统一的10个标准前提下,进一步明确对各学段不同层次的学习内容.下面以9~12年级学段标准1中第一项要求为例说明如下:标准1 数以及运算(各学段要求一致)(1)理解数、数的表示、数之间关系以及数系统(各学段要求一致)(以下内容各学段要求不一致)系统了解数量的表示,包括矩阵表示法;比较数和数的系统;理解复数是实数的进一步扩张,用复数知识解决实数范围内不能求解的问题;熟悉有限序列和级数,包括算术、几何序列和级数,了解一些无穷序列和级数,特别是几何级数.对比可知 原则和标准 草案比1989年 标准 增加了第3部分,即现 草案 对教学内容要求更进了一步.若对知识内容再作进一步限制的话已接近我国教学大纲要求.通过对比可看出中美数学在教学内容要求上互相靠近.美国的数学课程标准若进一步发展到 知识点+教学层次要求(了解、理解、掌握、灵活运用) 就与我国教学大纲类似.若我国教学大纲取消对知识点的限制,扩大数学学习内容及方法,则我国的教学大纲要求就与美国的教学要求相类似.从下图可看出中美两国数学在教学要求上逐步靠拢.中国增加弹性拓宽学习内容及方法删减、降低某些内容,增加选修课降低弹性在1989年 标准 基础上进一步明确教学内容美国原则和标准 草案虽然进一步明确了教学内容标准,但仍然留有较大的弹性,提供各级教育决策者、教材出版社、学区学校管理者、学校以及学校教师参考的数学课程标准,即提供设计、计划、执行、评估、制订政策以及方法的数学教育方面的指导.参考文献1 陈昌平.数学教育比较与研究.上海:华东师范大学出版社,1995年5月2 丁尔升,唐复苏.中学数学课程导论.上海教育出版社,1994年12月。
美国学校数学教育课程原则与标准
美国学校数学教育的原则和标准如何使用此书我们的基本立场是借鉴和参考书中的观点和思想，而不是没有消化地照搬、照抄。
新加坡的学生在“第三次国际数学和科学研究(TIMSS)”中，名列前茅。
美国的教育部长去年访问新加坡时，也盛赞新加坡的教育。
美国的一些学校同时直接采用新加坡的教材，但在具体使用时，遇到了很大的挑战，这在很大程度上是因为教学是和社会、文化密切相关的。
同样，尽管此《原则和标准》在美国有较大的影响，其中也确实包括了许多新的有关教学、学习、评估、课程，及现代科技等方面的观点，但如果照搬、直接采用，同样也会遇到挑战和困难。
为了便于国内的前辈和同行们参考，现就我们知道的关于美国数学教育界“出台”标准作一点简单的历史回顾。
简单历史回顾美国各州及学区(school district)有权决定使用教材，因而教材种类多，没有一个统一的“教学大纲”。
美国没有高考，只要经济上许可，绝大多数高中毕业生可进不同种类的大学深造，进人大学的重要参考条件之一是SAT或ACT的考试成绩(SAT和ACT不是全国统考，而是由美国两个考试中心具体实施)。
另外，美国没有专门培养(或培训)教师的师范院校，但几乎所有的综合性大学都有师范专业。
总的来看，美国教育制度大多由当地部门作出决策。
由此带来的问题是，由于美国各地对学生有不同的要求，如何来评价他们的学生已经达到了相应的要求呢？如何在一定程度上达到统一要求呢？80年代前后，美国参与“第二次国际数学教育比较研究(The Second International Mathematics Study)”，在参与的20多个国家和地区中，美国排最后几位，特别是韩国、日本和中国香港学生的成绩都好于美国。
他们通过比较研究发现，成绩最好的国家或地区都有全国(或全地区)统一的大纲或课程，而美国没有。
80年代中期，作为一个民间的专业团体的全美数学教师理事会决定成立一个委员会来提出一些标准。
经过几年的努力，于1989年出台了《学校数学的课程与评价标准》(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)，这一标准在一定程度上起到了统一要求的作用，引起了较大反响，表现在：(1)该标准被翻译成多种文字(人民教育出版社已于1994年出版了中文本)；(2)其他学科纷纷仿效数学课程标准，制定相应的课程标准(如，美国的科学标准，人民教育出版社也出版发行了中文版)；(3)美国各州也相应形成了各自的数学内容框架；(4)此成果获全美教育研究会颁发的奖项；(5)美教育期刊中的许多文章引用了这一文件，被引用率首屈一指。
美国_数学课程标准_2000_简介
□专 稿□美国《数学课程标准(2000)》简介南京大学哲学系 郑毓信 日前,国内一些刊物同时刊出了《关于我国数学课程标准研制的初步设想》(本刊在1999年第5期刊出).这是一项很有意义的工作,相信必然会对我国数学教育事业的深入发展产生持久和深远的影响.作为一种积极的反响,笔者愿对美国数学教师全国委员会(NCTM)近期发表的新的数学课程标准———《学校数学的原则和标准》(讨论稿)(以下简称为《课程标准(2000)》)作一介绍,希望能起到一定的借鉴和启示作用.与《关于我国数学课程标准研制的初步设想》不同,美国的《课程标准(2000)》并非一个完全创新的工作.因为,美国数学教师全国委员会在10年前已颁布了它的第一个数学课程标准———《学校数学课程和评估的标准》(以下简记为《课程标准(1989)》);另外,除去这一标准外,美国数学教师全国委员会曾于1991年和1995年分别发表了它的两个姐妹篇:《数学教学的职业标准》和《学校数学的评估标准》,后者就构成了制订这一新的课程标准的直接基础,或者说,新的课程标准即是代表了对于《课程标准(1989)》的一种自觉“反思和再思考”.美国数学教师全国委员会之所以始终坚持课程标准的制订和修改,主要是为了“保证质量、指明目标、促进变化”.而且,由过去10年的实践看,尽管对《课程标准(1989)》存在多种不同的评价或看法,更有人提出了十分尖锐的批评(详可见另文《世纪之交的美国数学教育》,载《数学教育的现代发展》,江苏教育出版社,1999年).但是,这又是各方面的一个共同意见———认为《课程标准(1989)》对于促进美国的数学教育发挥了十分重要的作用,特别是,这不仅使得整个“数学教育共同体”(包括数学家、数学教育工作者和广大的数学教师)集中于数学教育的各个基本问题,而且也使数学教育成为一般民众共同关注的一个热点.显然,这就清楚地表明了制订国家数学课程标准的重要性;当然,由《课程标准(1989)》到《课程标准(2000)》的发展,则又表明科学的“国家数学课程标准”的制订并非是一个一劳永逸的简单过程,而是必然有一个不断改进和发展的过程.总的来看,《课程标准(2000)》应当说仍然坚持了《课程标准(1989)》的基本立场,即认为学校数学教育应使所有的学生、而不只是少数人在数学上达到高标准.特别是,新的课程标准仍然坚持了如下的5个目标,即我们应使学生:(1)学会认识数学的价值;(2)对自己的数学能力具有信心;(3)具有数学地解决问题的能力;(4)学会数学地交流;(5)学会数学地推理.但是,在坚持上述基本立场的同时,《课程标准(2000)》与《课程标准(1989)》相比,无论内容或表述形式都有了较大的变化.之所以出现这样的变化,其首要的目的是为了对旧的课程标准所暴露出来的一些弊病作出纠正.例如,新的课程标准明确地提出了这样一点,即应“对基本技能和概念学习的作用作出更为明确的论述”.另外,在过去10年中所出现的一些现象也引起了新的课程标准编写者们的高度重视.例如,在过去的这些年中,曾出现了关于《课程标准(1989)》的多种不同解释,从而就使得相应的教学实践出现了一些不应有的现象,如人们把课程标准中所列举的“应予淡化的论题(Topics to Receive Decreased Attention)”不适当地解释成了应把这些论题从学校数学课程中完全舍去.最后,社会的进步也促使人们不断地去对数学课程标准作出必要的发展和改进.以下我们围绕新的课程标准的主要特点与“指导性原则”和“活动的标准”对《课程标准(2000)》作简要的介绍.一、《课程标准(2000)》的主要特点第一,重点突出.新的课程标准在整体上是围绕以下两个问题展开的:(1)为了使所有的学生实现数学上的高水准,相应的教学设计应是什么样的?(2)在整个学习过程(从学前到十二年级)中,学生应当并且可能掌握哪些数学内容和能力?具体地说,新的课程标准共给出了10个标准,其中5个是关于数学内容的,包括“数和运算”,“模式、函数和代数”,“几何与空间感”,“度量”和“数据分析、统计与概率”;另外5个则是关于数学活动的(原文为process,但从上下文看,译为“活动”似较为恰当),包括“问题解决”、“推理与证明”、“交流”、“联系”和“表述”.依据各个年级组(新的课程标准将学生的全部学习过程分为“由学前到二年级”、“由三年级到五年级”、“由六年级到八年级”和“由九年级到十二年级”这样四个年级组)对这些标准作出具体说明,即就构成了《课程标准(2000)》的主要内容.《课程标准(2000)》明确指出,文件中关于数学课程标准的论述并非包罗一切,无所遗漏;恰恰相反,其中所论及的只是若干对数学教学设计特别重要的因素.一般地说,这事实上也就体现了新的课程标准编写者们的一个主要意图,即不应过分强调标准的规范性,而应给各级数学教育工作者(教材编写者、课程设计者、学区管理人员、数学教师、考核设计者等)的创造性活动留下充分的空间或余地.如果说上述的标准构成了新的课程标准的核心,那么,关于教学设计的若干原则就为所说的标准提供了必要的理论支持(可参见图1).具体地说,《课程标准(2000)》共提出了6个原则:平等性原则、关于课程的原则、关于教学的原则、关于学习的原则、关于评估的原则和技术性原则(关于这些原则的具体内容见以下介绍).第二,高度的一致性.首先,与先前的做法不同,美国的数学教师全国委员会这次将“课程标准”、“教师标准”和“评估标准”这三者有机地统一了起来.考虑到现实中评估的改革严重滞后于整个数学教育的改革,这一新的做法无疑有利于这样一种观念的养成,即评估的改革也应被看作整体性的数学教育改革的一个有机组成成分.其次,更为重要的是,《课程标准(2000)》的主要内容全是围绕上述的10个标准展开的,也即是就各个年级组具体地指明了所应达到的深度和广度以及相对于不同年级的不同重点.显然,这不仅较好地体现了整个课程的连续性,而且也清楚地表明了课程(与学生学习过程)的发展性和阶段性.例如,就“推理与证明”这一标准而言,《课程标准(2000)》对各个不同的年级组提出了如下的不同要求:在学前到二年级组,我们应帮助学生学会应用具体模型对自己的结论作出说明;在三到五年级组,学生应能通过观察和实验作出预言并对此作出论证;在九到十二年级组,学生则应掌握较为复杂的论证过程.由下表我们可看出《课程标准(2000)》的基本结构和主要内容:序言(第一章)指导性原则(第二章)课程标准(第三章)学前到二年级(第四章) 三到五年级(第五章)六到八年级(第六章) 九到十二年级(第七章)结论(第八章) 第三,较强的针对性.正如上面所提及的,针对已有的教学实践所暴露出来的弊病以及由于社会进步所造成的新的局面,《课程标准(2000)》与原来的课程标准相比包括了不少必要的修正或补充.例如,在现有的教学设计中可以看到这样的倾向,即某些方案只是注意了教法的问题,而未能对学生的学习过程给予足够的重视.与这种做法相对立,新的课程标准明确地提出了关于数学活动的5项标准,这在一定程度可以看成是克服上述错误倾向的一种自觉努力;另外,更为一般地说,新的课程标准不仅明确提出了什么是学生所应达到的,而且也指明了什么是学生所能达到的,后者显然也立足于对学生学习过程的深入研究.再例如,技术的进步无疑为数学教育的深入发展提供了新的挑战和机遇,特别是计算机技术的迅速发展和普及,不仅为我们搞好数学教学提供了新的更为有效的手段,而且也必然会导致教学内容与学习方式的重要变化.正是基于这样的认识,与先前的课程标准相比,新的课程标准更加突出了技术的作用,并增加了“技术性原则”这样一条指导性原则.另外,值得提及的是,新的课程标准去掉了“离散数学”这样一个论题,这不仅是因为离散数学的重要性现已得到了普遍的认同,而且是因为在已有的实践中我们可看到这样的现象,即人们很容易把离散数学看成是与传统教学内容完全不相干的一个新的分支.正是基于这样的认识,在新的课程标准中,离散数学的有关内容大部分就被整合到了其他的内容之中.例如,在数系、代数和几何的学习中,算法的发展、应用和分析就都占据了一个十分重要的位置.第四,必要的基础.以下几点即可说是为新的课程标准提供了必要的基础.其一,数学教育的理论研究.特别是,这就为科学地确定在各个特定水平学生能够达到怎样的水准提供了重要的依据.其二,专家(包括数学家和数学教育家)的判断,包括数学上的考虑、社会的需要、公众的期望等.显然,这就为具体地确定什么是学生所应达到的标准提供了必要的基础.其三,已有的实践.这不仅包括反面的教训,而且包括成功的实例.这些实例的重要性就在于,与抽象的理论相比,具体的事例有着更大的说服力.显然,从这样的角度去分析,新的课程标准与《课程标准(1989)》相比就可说是代表了一个真正的进步.这就是说,如果没有这些新的思考,而只是惟一地着眼于如何去纠正《课程标准(1989)》的弊病,那么,新的课程标准的制订充其量就只是一种修补性的工作.二、六项指导性原则在总体上说,所说的指导原则就是为数学教学设计的各个环节(包括课程设计、教法设计、考核设计等)提供必要的指导.第一,平等性原则.是指数学教学设计应当促进所有学生的数学学习.显然,这一原则集中地体现了上述的基本立场,即数学教育应使所有的学生、而不只是少数人在数学上达到高标准.也正是在这样的意义上,《课程标准(2000)》提出,平等性是与高标准直接相关的.另外,针对美国的现实情况,新的课程标准提出应当努力消除以下的不平等现象,即女性、少数民族和来自贫困家庭的儿童往往不能得到应有的数学教育.文中指出,实现上述目标的关键就在于:第一,应当改变不正确的传统观念,相信一切学生都可以学好数学;第二,应对这些儿童提供更多的支持.第二,关于课程的原则.这是指数学教学设计应当突出重要的和有意义的数学,并设计出协调的和综合的数学课程.那么,究竟什么样的数学是重要的呢?对此《课程标准(2000)》提出了这样几条标准:第一,从数学本身看;第二,从数学在数学以外的应用看;第三,从认知发展的角度看,即相关的题材是否有利于调动学生的学习积极性,或能使他们更为清楚地认识数学的意义.另外,所谓课程的协调性和综合性则分别是指,课程中的各个部分应密切相关,而不应是互不相干的;整个课程应在各个对立环节之间实现较好的平衡,即如程序性知识与概念性知识的平衡,既能帮助学生掌握具体的数学知识和技能,又能帮助学生了解数学的本质和应用,等等.第三,关于教学的原则.这主要是指数学教学设计的实施依赖于有能力的教师.作为这一原则的具体阐述,《课程标准(2000)》突出地强调了教学活动的创造性,如教师应当根据总的教学目标和学生的情况决定具体的教学任务,并能很好地指导学生的课堂讨论,等等.特殊地,这种关于教学活动创造性的明确肯定,显然也就与对于《课程标准(1989)》的以下批评构成了直接的对立:《课程标准(1989)》过分地强调了某些教学形式(如小组学习等),而未能给教师留下充分的自主权.作为实现上述目标的关键,《课程标准(2000)》提出,教师应善于对数学、学习活动的本质及已有的实践作出自觉的分析与反思;另外,有关方面也应为教师在业务上的不断提高提供更大的帮助.第四,关于学习的原则.这是指数学教学设计应使学生理解数学和应用数学.显然,这一原则表明了这样的观点,即数学学习是与理解和应用密切相关的.另外,就理解而言,《课程标准(2000)》提出,这既与学生已有的知识和经验有关,即主要是一个整合(同化与顺应)的过程;同时又是一个文化继承的行为,也即是这样的一个过程:学习者逐步成为了数学共同体的一员.容易看出,以上的观点即是建构主义(特别是社会建构主义)学习观的直接反映.《课程标准(2000)》明确提出了这样的观点,数学学习未必是一件乐事,也需要艰苦的工作,后者又以全身心的投入为必要的前提.应当指出后一观点也有着很强的针对性,因为,过分强调学生的兴趣也是前些年的数学实践的暴露出来的一个错误倾向.《课程标准(2000)》还提出了这样的目标:数学教学应当努力提高学生的学习能力,即使学生成为“自主的学习者”.第五,关于评估的原则.这一原则是指数学教学设计应当包括评估以指导、强化和评价学生的数学学习,并为教师提供必要的信息.《课程标准(2000)》指出,以下两点可以被看成评估工作的实际出发点:对什么进行评估?为什么要进行评估?另外,为了作好评估,我们则应注意评估方法的适当性并对所获得的信息作出仔细的分析.因为,这是一个基本的事实,即存在有多种不同的评估方法,如选择性问题、建构性问题、非常规性问题、课题研究、观察、谈话和学习日记等,而且,这些方法又有着不同的适用范围;另外,就所获得的信息的分析而言,我们则又应当特别注意结论的一致性.最后,《课程标准(2000)》指出,适当的评估不仅对于改进教学有着十分重要的作用,而且对于学生的成长也有很大的好处,特别是,这能促使学生主动地承担起责任,并进一步增强学习的自主性.第六,技术性原则.这是指数学教学设计应当利用现代技术帮助学生理解数学,并为他们进入技术性不断增强的社会做好准备.事实上,技术,特别是计算机技术的迅速发展,即可说是最为清楚地表明了社会进步的迅速性.例如,在今天,对于大多数美国学生来说,计算机和网络已经成为日常生活的一个部分,在教学中更已出现了多媒体教学和远程教学这样一些新的教学方法或手段.显然,面对这样的现实,明确地提出“数学教学应当为学生们进入技术性不断增强的社会做好准备”不仅十分恰当,而且也是完全必要的.另外,就现代技术在数学教学中的应用而言,一个关键的问题就在于,我们不仅应当清楚地认识现代技术为数学教学所提供的新的前景,如学生能够积极地去从事数学的探索,并真正从事实际生活中数学问题的分析,从而也就能够更好地领会数学的意义;我们也应清醒地看到这种应用所可能造成的消极后果,如若只是满足于观察和实验就可能使学生认识不到证明的必要性,对于计算器的依赖则又可能极大地削弱学生的计算能力.也正是在这样的意义上,《课程标准(2000)》提出,我们应当区分对于现代技术“好的应用”和“坏的应用”.显然,这是一个十分重要的问题.三、活动的标准如前所述,《课程标准(2000)》中给出了两类不同的标准,即所谓“内容的标准”和“活动的标准”.两者的区别可以大致描述如下:前者具体指明了什么是学生应当知道的,后者则是指明了实现上述目标的具体途径,特别是,如何才能达到或加强数学的理解;另外,从更深入的层次看,这里的“活动的标准”又是与通常所说的“数学能力”(包括数学思维能力)直接相联系的.由于“内容的标准”是人们较为熟悉的,以下我们就着重对《课程标准(2000)》中所给出的5个“活动的标准”(标准6～标准10)作以介绍.标准6.问题解决.这是指,我们应帮助学生通过问题解决获得数学知识;养成表述、抽象、一般化这样的思维习惯;能应用多种解题策略解决问题;并能对解题过程中的思维活动作出调节和反思.《课程标准(2000)》指出,问题解决不仅关系到了数学教育的一个主要目标,即应努力提高学生解决问题的能力,而且也是学生学习数学的一种重要手段,即可通过问题解决获得新的知识.显然,从后一角度去分析,以下就是一个不适当的看法,即认为只有当学生具备了“足够的知识”时,才可以为其提供解决问题的机会.另外,突出数学的思维习惯,则清楚地表明了这样一种认识,即我们不能满足于解答的获得,而应积极地去从事进一步的工作,如对结论加以推广,探究不同的解题方法,等等.应当指出,这事实上就代表了对于“问题解决”这一始于80年代的数学教育改革运动的自觉反思(可参见另文《关于大众数学的反思》,《数学教育学报》,1994年第5期).标准7.推理与证明.这是指,我们应帮助学生认识到推理和证明是数学的一个十分重要的成分;让学生进行猜测并对此进行考察;逐步学会数学论证和证明,并能对各种论证和证明的方法作出适当的选择和应用.一般地说,以下即是这方面最为重要的一个思想,即推理和证明应被看成数学的一个有机组成成分,而并非是一个外加的部分,特别地,这即是达到真正理解的重要一环.因而,对于推理和证明的学习就贯穿于全部的学习过程之中.其次,我们又应看到推理与证明的学习是一个逐步深入的过程,其中必然包含着由简单到复杂,由非形式到形式化的发展过程;最后,为了帮助学生很好地发展这方面的才能,一个特别重要的环节就在于,教师应当努力创造一个好的学习环境,在其中,大胆表述和积极的批评能得到大力的提倡.标准8.交流.这是指,我们应帮助学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清;并能清楚地、前后一致地表达自己的数学思想;能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识,并能学会使用精确的数学语言.由以上内容可以看出,这一标准事实上包括了两个方面,即通过交流去学习数学,以及学会数学地交流.特殊地,对自己的数学思想进行组织和澄清即可被看成交流的第一步,而这就清楚地表明了交流对于数学学习的特殊意义,因为,组织和澄清就是一个反思的过程,从而不仅会导致更深刻的理解,而且也会促使学生对先前的思想作出必要的修正与改进.另外,对其他人的思维和策略进行考察无疑有助于学生学会批判地思维,而且,从更深入的层次看,这更反映了这样一种认识,数学是一种群体的活动.值得指出的是,《课程标准(2000)》对“数学地写”(与“数学地谈论”一样,这也是数学交流的一个重要方面)在数学学习中的作用作了较为具体的分析.标准9.联系.这是指,我们应当帮助学生认识不同数学思想的内在联系,并能对此加以应用;理解数学思想如何彼此相关从而构成了一个协调的整体;并能在数学以外的情景中辨认、学习和应用数学.由此可见,所说的联系包括了两个方面的含义,即数学内部的联系与数学与数学以外的联系.就前者而言,一个核心的思想就在于,我们应帮助学生清楚地认识到数学是一个整体,而这事实上也就应当被看成数学思维的一个重要内容.另外,就数学的学习而言,知识的相关性则又明显地表现于以下的事实,即已有的知识为新的学习活动提供了必要的基础,新的学习则不仅加深了已有的认识,并构成了已有知识的一种推广和发展.《课程标准(2000)》强调指出,我们应当善于利用数学的内在联系加深理解和解决问题.标准10.表述.这是指,我们应当帮助学生创造和应用适当的表述以对数学思想进行组织、记录和交流;逐步掌握各种表述方法,从而能有目的地、熟练地、恰当地加以应用;能利用表述对物理的、社会的和数学的现象作出模型和解释.《课程标准(2000)》指出,表述直接关系到了学生对于数学概念的理解、交流和应用,特别是,就数学模型的建构而言,这不仅是“数学化”思想的具体体现,而且也直接关系到了数学是“模式的科学”这样一个本质特性.另外,这方面的一个基本事实就在于:同一数学对象或关系可能有多种不同的表述方法(如函数关系的公式表示法、图象表示法和表格表示法),它们适用于不同的目的或场合,从而,我们就应注意帮助学生作到对各种表述方法的恰当和熟练的应用.。
美国数学课程改革的特点及其启示
提 得 过 高 ， 而 大 大 超 出 了 多 数 学 生 的 接 受 能 （ ｇｎ ａｏ Ａｃｉｎ的报 告 。提 出必须把 “ ｖ从 ＡｎＡ ｅｄ ｒ ｔ ） ｆ ｏ 问题 力 ， 脱 离 了学 生 的认 识 规 律 。此 外 ，这 次运 动 所 解 决 ”作 为 ８ 年 代 中 学数 学 的 核 心 ，并 认 为 “ ０ 在 推 出 的各 类 新 教 材 也 多是 山大 学 专家 教 授 参 与 开 解 决 问题 方 面 的成 绩 如 何 ，将 是衡 最 个 人 和 民族 发 的 ， 作 为 课 程 实 施 者 的 一 线 教 师 却 被 置 之 于 数 学 教 育 成 功 的有 效 标 准 ” 。 《 动 议 程 》 概 述 行 外 这 也给 课程 的最 终推 行 带来 了极大 的 困难 。
续 下 降 。美 国 国 家 课 程 测 试 （ ＡＥ ） 席 曾 说 ： Ｎ Ｐ主
“ 个 时 期 以来 公众 特 别 强 调 基 础 ，而 评估 数据 一
４ ． ３．
维普资讯
《 国 中小 学教育 》２ ０年 第７ 外 ０８ 期 数 号 。 例 如 １８ 年 英 国 数 学 教 育 界 提 出 《 学 重 关 于 数 学 内 容 的 ， 包 括 “ 与 运 算 ” 、 “代 ９２ 数
要 》（ ｔｅ ｔ ｓＣ ｕ ｔ ，指 出 “ 将 解 决 问题 数 ” 、 “ 何 ” 、 “ 量 ” 、 “ 据 分 析 与 概 Ｍａ ｍａｉ ｏ ｎｓ ｈ ｃ ） 应 几 测 数 作 为课 程 的 重要 组 成 部 分 ” ，强 调 “ 学 只 有在 数
美国数学课程改革的特点及其启示数字几何测量代数概率学习目标总数16ll47543得克萨斯15734332纽约278105656佛罗里达3lll17102089俄亥俄158661348密ljjc撤375llo3562llo86ll56北卡罗来纳1432342623lo53445178ll234l表2美国学生数学成绩在国际数学测试il排名第li陶家地区新加坡韩国香港台湾日本美国国际平均成绩il成绩605589586585570504467l二美国数学课程改革特点及趋势l美国数学课程改革在曲折中发展回顾20世纪60年代以来美国数学课程曾经历过几次反复
中小学数学题目编制的新导向：问题解决式题型
１ １ 归 类题 ．
题解 决式题 型通 常是 依照 问题解 决 的理解 问 题、 明确 问题 、 索 问题 解 决 方 案 、 施 和 评 探 实
估解 决方 案 的四个 基 本环 节来 分 阶段 编制 数 学 题 目的 ．” 这 也是 问题 解决 式 数 学题 型 …
数 学 问题 多 种多样 ， 型各 异 ．因此 ， 类 遇
强调学 生 “ 能解决 简单 的问题 ” ．问题解 决 式 题型 就是用 来培 养 中小 学生 数学 问题 解决 能 力 和对 该 能力进行 评 价 的一 种题 目类 型 ．问
与普 通 的数学 题 目最 大 的不 同之 处 ．普 通 的
数学 题 目要 求学生 一 次性完 成从 审题 到解 题 的所 有 步 骤 ， 如此 编 制题 目没有 充 分 考 虑 中 小学 生 尤其 是低 年级学 生智 能发 展 的规 律 ．
如图 １ ， 折 矩 ０对
代就 十 分 熟 悉 的折 纸 内容 ， 多地 编 入 初 中 较
数学 教 材 中 ， 编者 的意 图 ， 从 到实 际收 到 的效
形纸 片 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ， 使
果都 是 非常 明显 的．由此 可 见 ，折 纸 ”的 功 “
能是 强 大 的 ．当然 ， 使用 新教 材 的过程 中 ， 在 可 以突 破 教 材 内容 的 内容 的 范 围 ， 据具 体 根 情况 灵 活补 充或 删减 ， 如可 以把 民 间的 、 它 其
３ 由折纸得 出一些 特 殊度数 的 角
对 折便 得 到 １。 ５ 的角 ．
以上 是 我 在 使 用 新 教 材 时 ， “ 纸 内 对 折 容 ”的一 些处 理 思路 ．本 来在 学生 的孩 提 时
在没有 量角器 或 三 角 尺 的情 况 下 ， 做 要
美国数学课程标准中案例的特点分析
地会 质疑其 合理 性． 果法 官 的假设 合 理 ， 么 ２ 如 那
个（ ４ ） 或 个 车轮 轮毂 幅条 回到 同一位置 的概率 到
题 ；２ （ ）问题 中的各 种 数量要 合 理 ， 即案 例 中所 涉 及 到 的各 种数量 要符 合 常理．
特 点 ３ 案例蕴 涵 了丰 富的教 育价值
学 与艺 术 之 间 的 内 在 联 系 ， 体会 到 数 学 的美． 又 如 ， “ 道 的铺 设 问题 ”中， 生 利 用 简 单 的三 在 管 学
角 知识 解决 了实 际 生 活 中 的 问题 ， 既让 学 生 学 会
了如何解 决此 类 生 活 问题 ， 培养 了他 们 的数 学 又
应 用意 识 ， 至 还 在无 形 中渗 透 了保 护 生 态 环 境 甚
一
下 简称 “ 国课 标 ” 美 ）本 身 内容 与 理 念 的介 绍 、 研
究， 也有 部分研 究 关 注该 标 准 与 中 国高 中数学 课
程 标准 的异 同 ， 以便学 习和借 鉴 ． 而 ， 于 该标 然 对 准 中案 例 的研 究 ， 少之 又 少． 者 在 多年 以《 则 笔 学 校 数学 的原则 与标 准 》 为蓝 本开展 《 专业 英语 》 课 程教学 的基 础上 ， 美 国数 学课 程 标 准 中案 例 的 对 特点有 一些 新 的感 悟与 体会 ， 与读 者共飨 ．
误 ；２ 借 助 动态 几 何 软 件 或 模 拟 实 验 探 求 问题 （） 结论 ， 让学 生在 探究 活 动 中 学会 使 用 必要 的工 具 或操作 模拟 实验 （ 详见“ 多边形 的各 边 中点 所构 成
的新多 边形 的面 积 问题 ”和“ 官判 案 问题 ” ． 法 ） 只 有 学生 掌握 了探究 问题 的 基本 方 法 ， 究 学 习才 探 能落到 实处 ， 否则 ， 探究 学 习只能停 留在对 封 闭式 的数学 问题 进行 探究 的层 面 上 ， 法深 化 探 究 学 无 习的 内涵． 我 国的数 学课 程标 准也强 调培 养学生 的探究 能 力 ， 憾 的是 ， 于学 生应 有 的探 究 方法 ， 问 遗 对 如 卷 调查 法等却 概不 涉 及 ， 利 用 模 拟实 验 来 解决 对
于文华、蔡金法---美国小学数学教学中的问题提出活动及启示 - 最终版
美国小学数学教学中的问题提出活动及启示∗∗――――以West Park Place Elementary School为例于文华1,蔡金法2(1. 山东师范大学数学学院,济南250014; 2. 美国特拉华大学数学系,纽瓦克19716)摘要：为考察美国小学数学课堂内外教学中有关的问题提出活动，以美国特拉华州West Park Place Elementary School小学为例，观摩了一堂数学课，并分析了作业与练习中的问题提出的类型与模式。
以此为出发点，探讨对我国小学数学课堂教学中实施问题提出活动的启示。
主要有四点启示：问题提出融入课堂实践之挑战；问题提出任务的设计与操作过程；问题提出可以作为检验、促进学生数学理解的一个手段；问题提出任务使得学生的课堂投入与参与度加大。
关键词：问题提出；数学课程；课程改革；小学数学；问题解决一、引言问题提出、问题解决是数学教育研究的重要领域，例如数学问题提出的认知过程与模式[1-3]、数学问题提出与数学问题解决的关系[4-6]、课程与教材中的数学问题提出的相关研究[7-8]，都有不少研究。
课程标准层面上，美国数学教师理事会对数学问题提出给予了充分的重视，认为学生应该“能在数学领域和数学领域之外，在不同的广泛情境下提出有趣的问题”，教学指导活动应该加强学习问题提出技能（NCTM，2000）[9]。
在美国《学校数学课程与评价标准》（1989）、《数学教学的职业标准》（1991）、《学校数学教育的原则与标准》（2000）等文件中都明确提出了增加“问题提出”活动的教学要求与任务[10]。
我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》、《普通高中数学课程标准（实验）》对问题提出从知识与技能、评价方式建议、学习方式、教学建议等多方面进行了论述[11-12]。
教材改革层面上，胡典顺、蔡金法等[13]通过比较人民教育出版社两个版本的小学数学教材1994年版和2004年版，发现2004年版中涉及问题提出的数学问题的百分比（4%）高于1994年版（2%）。
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美国中小学数学课程标准6:问题解决数学教学纲要应注重于问题解决,使之成为理解数学的一部分,从而使所有学生-◆通过他们在问题上的努力学习新的数学知识;◆养成在数学内外建立公式、表达、抽象、一般化的倾向;◆应用众多的策略去解决问题,并使各种策略适应新的情况;◆对在解决问题中的数学思维进行监控和反思。
说明:幼儿园前-12年级解决问题的能力不仅仅是学习数学的一个目的,而且也同样是学习数学的一种主要方法。
当学生们在对数学内容的探索中应用问题解决的方法时,他们得到对数学的新的理解,并提高他们应用所知道的数学的能力。
问题解决意味着去从事完成一项事先对解决问题的方法并无所知的任务。
为了寻求解决问题的方法,学生们必须以不同的方法应用他们的知识,并且,也许能通过这个过程,来得到新的知识。
问题解决是整个数学学习的不可缺少的一部分,而不是数学教学计划中的一个孤立的部分。
它应该是支持发展数学理解的课程的一个有机部分。
学生们应该有很多的机会去建立公式,设法解决那些需要相当程度的努力的复杂问题。
◆通过他们在问题上的努力学习新的数学知识;问题解决怎样帮助学生学数学呢?精心设计的问题情景提供一种场所,在那里学生能巩固并扩展自己所知道的东西。
精心挑选的问题能鼓励进行深入的数学探索。
例如,考虑分数的观念,这是中学数学中的一个重要概念。
这个概念就可以通过一种展开了的探索方式引进给学生。
在此探索过程中,给学生一些不同的果汁配方(水和浓缩果汁的不同的量,并问学生哪一种果汁"果汁味更浓些"。
由于没有两种配方的果汁的量相同,这个问题对于那些对分数还不懂的学生来说是一个难题。
当试验了种种想法以后,学生们最后集中到了分数概念上。
丢弃了其他的一些概念,学生们以各种方法仔细思考了比例并与他人作了讨论,比例这一概念出现了。
问题解决能够,而且应该帮助学生发展在一些特殊技能方面的熟练程度。
等学生们懂得足够多的时候才给学生以问题解决的机会将会使失去处理一些挑战性的问题的经验,使他们不再有问题解决的经验。
当然,问题解决也不会在真空中发生,它也需要一些有关的知识。
例如,考虑老师提的这样的一个问题: "在我口袋里有若干一分的小银币(pennies,若干个一角的银币(dimes,若干个五分的镍币(nickels,如果我从口袋里取出三枚硬币,我可以取到多少钱?(选自NCTM1998,第24页"要解决这个问题,就需要一些知识--关于penny、dime和nickle各是多少钱的知识,加法的一些知识。
学生们在解决这个问题之前并不需要在加法方面多么熟练;实际上,解决这个问题提供了进行加法练习的很好的情景。
这个问题的最重要的教学目标--帮助学生对可能性作系统性的思考,并把他们的思维作组织和记录--不必等到学生把加法做得很熟练。
◆养成在数学内外建立公式、表达、抽象、一般化的倾向;已经有一种用数学的观点认识世界的人们倾向于以一种数学化的方式来处理事务。
对于那些具有数学倾向的人们,可以期望他们有怎样的行为方式呢?好的问题解决者常常用数学的观点来仔细地分析实际情况。
在尝试一些比较复杂的处理问题的途径之前他们倾向于考虑是否可能有一种简单的解法。
另一方面,他们也会作更加复杂的分析。
例如,让中等年级的学生提交两个出租汽车公司的数据,并问哪个公司更加可以信赖(NRC1998,一个基于顾客的平均等待时间而很快得到的答案则是错误的。
进一步的数学分析表明,平均等待时间较短的公司也有较大的方差。
在此问题中,一种深入的研究倾向能导致对此问题的比较完整的理解,并得到正确的答案。
有数学倾向的人倾向于作结构探索以找到是什么使各种事物都打上数学的记号。
他们作抽象和一般化。
这些人会对一个问题寻找多种方法来处理,因而建立新的联系,找新的合成物,并揭示数学的不同的方面。
例如,3~5年级的学生以几何方式来探索平方数,寻找不同的模式。
有一个学生看到要得到下一个平方数就是加一个L形的图形,从而得到了一个用前一个数来表示的第n个正方形的面积的公式。
另一个学生发现第n个正方形的面积是前n 个奇数的和。
这些学生就明白了实际上有多种方法来考虑一个问题,发现一种方法未必意味着你已经可以对这个问题束之高阁了。
问题解决者倾向于去探索现实、进行猜想。
例如,以下的对话将会出现于一组幼儿园的儿童组,这些孩子们坐成一圈,轮流报数直到100:昨天,我报了数‘1’。
后来,我又报了数‘100’。
如果又从我开始,我想我会再一次说同样的数。
不,你不会的。
昨天塞拉不在,今天却不同。
昨天塞拉不在,今天约翰不在。
所以将是一样的。
孩子可以在一起探索现实,对将发生什么作出猜想。
作为好的问题解决者的学生倾向于去检验他们的猜想,试图通过推理来对他们的猜想进行证实,或者在若干相反的现象的基础上放弃他们的猜想。
例如,一群高中学生会试图为一种标准灯罩做一个模型,这种灯罩在罩子顶部有一个比底部较小的圆周。
他们也许会从剪出一个矩形开始。
他们也许很快认识到这不行。
然而,他们将就各种模型作进一步的努力,直到解决问题。
好的问题解决者倾向于对新问题建立公式,例如一个高中的班级能考虑这样的问题,抛物线ax2+bx+c,当两个系数固定而另一个系数变化时将会发生什么?(例如,如果a和b固定,c 变化,顶点沿着一条铅垂直线运动。
一个倾向于为新问题建立公式的学生可能会问:"对于三次曲线,如果你做同样的事情将会怎样呢?(注意相对极小值发生了什么情况?在为学生创造一个能鼓励他们去探索冒险、分享失败和成功、互相质疑的环境以发展问题解决的倾向的过程中,教师扮演了一个重要角色。
如同上面的一些例子所示,在这种类型的教室环境中,问题解决倾向的发展是学数学、做数学的自然环节的组成部分。
◆应用众多的策略去解决问题,并使各种策略适应新的情况;问题解决策略是学生的数学装备的组成部分。
当一个问题还没有合适的解法,学生们将由于有一套适用的策略来帮助他们取得进步。
问题解决策略应该如同对数学装备的任何部分一样看待。
应该提供学生们在策略方面的足够的教学及实践,以使学生们能应使用这些策略,策略的应用必须被嵌入课程以使学生在有各种策略可用时能作出决定什么时候以及怎样去使用它们,从而发展认识能力。
从波里亚的工作([1945] 1973开始,对问题解决策略已经有了许多的描述。
一些比较频繁地被引用的策略包括使用图表和其他的表示方法,寻找模式,罗列所有可能性,特殊值和例的试验,退一步做,猜测和检查,构造等价问题,构造较简单问题。
一个显然的问题是这些策略该以怎样的明白程度进行教学。
如同学生的数学装备的任何其他部分一样,如果希望学生们学会它们,就必须给策略以教学上的注意(Schoenfeld1992。
此外,如果在课堂活动中这些策略出现或被展示,学生们必须意识到这些策略,而教师应该鼓励学生予以注意。
例如,当一个学生叙述一个解答以及它是如何得到的,老师也许应该说:"听起来好象是你为发现做了一个有条理的清单。
有谁用了一种不同方式解决问题吗?",以此来肯定这个学生的策略。
这样的语言有助于发展共同的语言和表达,并帮助其他学生理解第一个学生正在做些什么。
某些策略,如系统地寻找模式,与内容课程目标非常接近。
寻找模式是幼儿园前~2和3~5年级的"模式,函数和代数"的主要内容。
其他的策略,如猜测和检查,与特定的内容并无特殊的共同之处。
不同的策略是在不同的年龄成为可接受的。
这一点与为了回答以下的问题的各种努力一样在一些与年级有关的讨论中将会变得越来越清楚:"在_____年级,问题解决是怎样的?"有一些非常专门,并具有数学威力的策略,如反证法,它们可以在学生已经在数学复杂性上达到相对高级的程度时使用。
儿童推理的模式形成这种数学策略的先兆。
没有一种策略可以一劳永逸地学会,也许一个算法可以这样学会。
相反,策略需要长期的学习。
在应用于日益复杂的问题情景中,策略也变得日益复杂。
◆对在解决问题中的数学思维进行监控和反思。
有一个研究(Lester 1985,Schoenfeld 1987指出,学生在问题解决中的失败常常不是由于数学知识的缺乏,而是由于对于他们所实实在在知道的知识的非有效的应用。
有效的问题解决者常常监控和调整他们正在做的事。
他们要确信他们理解了问题。
如果问题是书面的,他们就仔细阅读它。
如果问题是以口述方式告诉他们的,他们提出各种问题直到理解问题。
有效的问题解决者常常做计划。
他们定期对他们所正在做的事作检查,以了解他们是否在正确的轨道上前进。
如果他们感到不在前进,就停下来,考虑换一种方式,并毫不犹豫地彻底改变他们所正在做的事。
为了让学生成为好的问题解决者,自我意识和自我评价是绝对重要的。
这样的深入思考的技巧(称为"元认知"在支持他们发展的教室环境中会更好地得到发展。
教师问以下的一些问题在帮助形成这些深入思考的习惯方面扮演重要的角色:"在我们开始之前,我们确认了我们已经理解这一点了吗?"、"我们有哪些可以选择?"、"我们有计划吗?"、"我们在前进吗?或者,我们该重新考虑我们正在做的事吗?"、"为什么我们认为这是真实的呢?"类似这样的问题能帮助学生形成在做一件事的过程中检查他们对问题的理解的习惯。
通过问题解决来学习是《课程与评价标准(NCTM 1989》的一个强劲信号。
那些让学生从中学习问题解决的教室是那些给学生以机会去发展问题解决的各方面的教室--倾向、策略、监控和调整--在实实在在的数学背景中。
在这样的教室里的教师营造一种有目的探索的气氛。
通过质疑和对话,这些教师帮助他们的学生熟悉问题解决的过程。
在这些教室中的问题解决本身既是一种重要的课程目标,又是一种重要的课程工具。