多旅行商问题模型

合集下载

旅行商问题(TSP)

iS jS
除起点和终点外，各边不构成圈

xij

0, 1

(7 1) (7 2) (7 3)
5
0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
8
0
9 15 17
8
11
18
14
22

5 9 0 7 9 11 7 12 12 17
9 15 7 0
lingo解决旅行商问题 model: sets: city/1..6/:u; link(city,city):dist,x; endsets data: dist=99999,702,454,842,2396,1196,
702,99999,324,1093,2136,764, 454,324,99999,1137,2180,798, 842,1093,1137,99999,1616,1857, 2396,2136,2180,1616,99999,2900, 1196,764,798,1857,2900,99999; enddata
C=v1,v2,…,vi,vj,…,vj-1,vi+1,vj+1,…,vm,v1 （3）C0C,重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得到的C即为所求。
例对下图的K6,用二边逐次修正法求较优H圈.
较优H圈: 其权为W(C3)=192
分析: 这个解的近似程度可用最优H圈的权的下界与
其比较而得出.即利用最小生成树可得最优H圈的一个下界.
设C是G的一个最优H圈，则对G的任一顶点v, C-v是
G-v的生成树.如果T是G-v的最小生成树,且e1是e2与v关联
的边中权最小的两条边,则w(T)+w(e1)+w(e2)将是w(C)

关于旅行商问题的数学模型

关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。

本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。

1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。

旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。

城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。

例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。

2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。

2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。

3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。

因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。

图算法--旅行商问题

图算法--旅⾏商问题旅⾏商问题的描述试想⼀下，⼀个业务员因⼯作需要必须访问多个城市。

他的⽬标是每个城市只访问⼀次，并且尽可能地缩短旅⾏的距离，最终返回到他开始旅⾏的地点，这就是旅⾏商问题的主要思想。

在⼀幅图中，访问每个顶点⼀次，并最终返回起始顶点，这个访问的轨迹称为哈密顿圈。

要解决旅⾏商问题，需要⽤图G=（V，E）作为模型，寻找图中最短的哈密顿圈。

G是⼀个完整的、⽆⽅向的带权图，其中V代表将要访问的顶点的集合，E为连接这些顶点的边的集合。

E中每条边的权值由顶点之间的距离决定。

由于G中⼀个完整的、⽆⽅向的图，因此E包含V（V-1）/2条边。

事实上，旅⾏商问题是⼀种特殊的⾮多项式时间问题，称为NP完全问题。

NP完全问题是指那些多项式时间算法未知，倘没有证据证明没有解决的可能性的问题。

考虑到这种思想，通常⽤⼀种近似算法来解决旅⾏商问题。

最近邻点法的应⽤⼀种近似的计算旅⾏商路线的⽅法就是使⽤最近邻点法。

其运算过程如下：从⼀条仅包含起始顶点的路线开始，将此顶点涂⿊。

其他顶点为⽩⾊，在将其他顶点加⼊此路线中后，再将相应顶点涂⿊。

接着，对于每个不在路线中的顶点v，要为最后加⼊路线的顶点u与v之间的边计算权值。

在旅⾏商问题中，u与v之间边的权值就是u到v 之间的距离。

这个距离可以⽤每个顶点的坐标计算得到。

两个点（x1，y1）与（x2，y2）之间距离的计算公式如下：r = √（x2 - x1）2 + （y2 - y1）2 （注意是求和的平⽅根）利⽤这个公式，选择最接近u的顶点，将其涂⿊，同时将其加⼊路线中。

接着重复这个过程，直到所有的顶点都涂成⿊⾊。

此时再将起始顶点加⼊路线中，从⽽形成⼀个完整的回路。

下图展⽰了使⽤最近邻点法来解决旅⾏商问题的⽅法。

通常，在为旅⾏商问题构造⼀个图时，每个顶点之间相连的边不会显⽰表⽰出来，因为这种表⽰会让图不清晰了，也没有必要。

在图中，每个顶点旁边都显⽰其坐标值，虚线表⽰在此阶段需要⽐较距离的边。

基于动态规划的旅行商问题优化模型

基于动态规划的旅行商问题优化模型旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次后回到起始城市。

这个问题的算法复杂度随着城市数量的增加而指数级增长，在实际应用中往往需要找到一种高效的解决方法。

为了优化旅行商问题，可以采用动态规划的方法来求解。

动态规划是一种将问题拆分成子问题并存储中间结果，以避免重复计算的算法思想。

在旅行商问题中，动态规划可以用来计算城市间的最短路径以及最优解。

首先，我们需要定义一个状态转移方程来描述问题的最优解。

设dp[i][j]表示从起始城市出发，经过城市集合i后到达城市j的最短路径长度。

我们可以利用子问题的最优解来计算整体问题的最优解。

状态转移方程如下：dp[i][j] = min{dp[i\j][k] + dist(k, j)}，其中i\j表示从i中去掉城市j后的城市集合，dist(k, j)表示从城市k到城市j的距离。

基于此状态转移方程，我们可以采用动态规划的方法求解旅行商问题。

具体步骤如下：1. 初始化二维数组dp，并将初始状态设置为无穷大。

2. 对于每个子问题(i, j)，遍历城市k，找到dp[i\j][k] + dist(k, j)的最小值。

3. 更新dp[i][j]的值为上一步骤中求得的最小值。

4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的子问题。

5. 最后，dp[0][0]即为最优解，表示从起始城市出发经过所有城市一次后回到起始城市的最短路径长度。

除了动态规划方法外，还可以使用其他的优化策略来解决旅行商问题。

例如，遗传算法、模拟退火算法等启发式算法。

这些算法通常通过随机搜索的方式来找到较优解，虽然不能保证找到全局最优解，但在实际问题中具有较高的效率。

除了以上提到的求解方法，我们对于旅行商问题还可以做一些限定条件的优化。

例如，通过对城市进行聚类，可以先将城市分为若干组，再分别求解每个组内的最优路径。

这样可以减少计算量，提高求解效率。

多旅行商问题模型

以点0表示旅行商的出发城市，称为源点，点1,2,,l 表示m 个旅行商需访问的城市。

MTSP 问题的数学模型可以表示为：令10ij x ⎧=⎨⎩弧(i,j)在线路上弧(i,j)不在线路上模型表示如下：0000min 10,1,,10,1,,()01,0,1,,R R ij iji j R ij i R ij j ij ij z d x x j R x i R X x Sx i j R====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪⎪=∈⎪⎪==⎩∑∑∑∑或式中：1;ij R m l d =+-为增广费用。

若用(,1,,)ij c i j l =表示旅行商经过对应弧度(,)i j 所花的费用，如时间、距离、花费等，那么给ij c 增加(1)m -行和(1)m -列，每一新的行或列是ij c 的最后一行或列的复制，增广矩阵的其他元素为无穷大，由此构成了增广费用ij d 。

一般MTSP 中，旅行商访问l 个城市必须满足以下2个条件。

条件1：从指定城市出发，对其他所有城市严格访问一次后返回原出发城市。

条件2：一条有效路径严格由m 条非平凡子路径(Nontrivial Subtours)组成。

所谓非平凡子路径是指该路径中除出发城市外，至少访问一个其他城市。

用遗传算法求解MTSP ，可通过附加虚拟城市的方法把MTSP 转化为TSP 。

将另外(1)m -个旅行商理解为(1)m -个虚拟城市，这(1)m -个虚拟城市标号分别为1,2,,1,l l l m +++-，它们与城市0具有相同的坐标(即相同位置)。

在旅行商访问路径中出现的每一个虚拟城市均表示旅行商返回出发城市，从而组成一个回路。

每个回路表示MTSP 中一个旅行商的旅行路径。

需注意的是，为了避免出现平凡子路径，必须假设(1)m -个虚拟城市到原点的距离为00(,0,1,,1),ij c M i j l l m M ==++-为一无穷大的正数（即永远不能达到），到其他各点距离与原点一致，这样遗传算法就不会出现0-0-0的途径。

基于蚁群算法的旅行商问题模型研究

基于蚁群算法的旅行商问题模型研究随着旅游业的发展，旅游成了人们生活中不可或缺的一部分。

为了提高旅游质量，降低旅游成本和难度，我们需要解决旅行商问题。

什么是旅行商问题？旅行商问题（TSP）是指一名旅行商人要拜访n个城市，每个城市只能拜访一次，然后回到起点。

每个城市之间的距离是已知或可以计算的。

旅行商人的目标是找到一条最短路径，使他能够顺序地拜访每个城市一次，最后回到出发点。

TSP是一个非常重要的组合优化问题，它在物流、工程、制造和导航中都有应用。

TSP的解决方案对TSP问题进行求解是一个NP难问题，即非确定性多项式完全问题。

但是，如今已发展出多种算法来解决TSP问题。

经典的解决TSP问题的方法有两种：全排列法和近似算法。

全排列法是将n个城市按照顺序排列，然后枚举这n个城市的所有排列，最终从中选择一条路径最短的路线作为最优解。

但是，这种方法的计算成本非常高，在大规模问题上不实用。

近似算法是对全排列方法的改进。

它采用启发式搜索，在计算复杂度可接受的情况下找到近似最优解。

近似算法包括分支限界法、模拟退火算法和遗传算法等。

蚁群算法：一种解决TSP问题的有效算法蚁群算法（ACO）是一种模拟蚂蚁探索食物的启发式优化算法，是解决TSP问题的一种有效方法。

它的基本思想是模拟蚂蚁在食物搜索中的行为，通过搜寻信息素来选择路径。

在ACO算法中，将每只蚂蚁看作一个搜索代理，通过释放信息素来传递经验。

该算法首先随机产生一群蚂蚁，它们在不同的城市中进行随机移动，每一只蚂蚁在选择下一个城市时根据当前所在城市和可选择城市的信息素含量作出选择。

蚂蚁根据选择的路径，释放信息素，并在路径上留下新的信息素。

当所有蚂蚁都完成了路径选择时，根据释放的信息素，更新信息素的含量。

ACO算法的核心是信息素的积累和传递过程，信息素的释放和更新过程，并且不断调整选择策略。

ACO算法的优点ACO算法的优点是可以有效地解决TSP问题，尤其是在大规模问题上。

旅行商问题+背包问题--经典问题

旅⾏商问题+背包问题--经典问题问题描述：旅⾏商问题（Traveling Salesman Problem,TSP）是旅⾏商要到若⼲个城市旅⾏，各城市之间的费⽤是已知的，为了节省费⽤，旅⾏商决定从所在城市出发，到每个城市旅⾏⼀次后返回初始城市，问他应选择什么样的路线才能使所⾛的总费⽤最短？此问题可描述如下：设G=(V,E)是⼀个具有边成本cij的有向图，cij的定义如下，对于所有的i和j，cij>0,若<i,j>不属于E，则cij=∞。

令|V|=n，并假设n>1。

G的⼀条周游路线是包含V中每个结点的⼀个有向环，周游路线的成本是此路线上所有边的成本和。

旅⾏商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）⼜译为旅⾏推销员问题、货郎担问题，简称为TSP问题，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单⼀旅⾏者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最⼩路径成本。

最早的旅⾏商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等⼈提出。

　TSP问题在物流中的描述是对应⼀个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。

如何确定最短路线。

TSP问题最简单的求解⽅法是枚举法。

它的解是多维的、多局部极值的、趋于⽆穷⼤的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，⼤⼩为（n-1）。

可以形象地把解空间看成是⼀个⽆穷⼤的丘陵地带，各⼭峰或⼭⾕的⾼度即是问题的极值。

求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到⼭顶或⾕底的过程。

问题分析旅⾏商问题要从图G的所有周游路线中求取最⼩成本的周游路线，⽽从初始点出发的周游路线⼀共有(n-1)!条，即等于除初始结点外的n-1个结点的排列数，因此旅⾏商问题是⼀个排列问题。

排列问题⽐⼦集合的选择问题通常要难于求解得多，这是因为n个物体有n!种排列。

通过枚举(n-1)!条周游路线，从中找出⼀条具有最⼩成本的周游路线的算法，其计算时间显然为O(n!)。

TSP问题模型

一、问题描述TSP ，即Traveling Saleman Problem ，也就是旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP 问题，是最基本的路线问题。

TSP 的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。

TSP 问题指一个旅行商，n 个城市。

旅行商要从这一个出发地出发，择一条路径（哈密顿回路），对n 个城市中的每一个城市进行一次且仅一次的访问，最后回到出发地.其目标是得到所有可行路径之中的最小路径，或旅行时间最短，或旅行费用最少等。

如图1，图2所示，为一个5个城市的TSP 问题描述（仅画出两种方案），显然图1和图2的路线都满足遍及所有城市的要求，但是图2的路线长度要远小于图1的路线长度，而解TSP 问题的目的就是求出遍及所有城市的长度最短的路线方案。

该问题的模型可以表示为下述0/1整数规划模型：2 4 1 图13 5 1 24 35 图2{}(,j)A {:(,)}{j:(,)}{(,):,}min(1)..1(2)1(3)||12|U |||2(4)0,1ij ij i ij i i j A ij i j A ij i j A i U j U ij c x st x j Vx i Vx U V x ∈∈∈∈∈∈=∈=∈≤-≤≤-∈∑∑∑∑n ：所要访问的城市数目。

V ：所有访问的城市集。

.U ：所有访问的城市集的真子集，即V U ⊂。

A ：连接任意两个点的弧组成的集合。

()j i ：所要访问的第()j i 个城市，即V j i ∈,。

ij c ：相邻两个城市间距离。

如果 j i =，则0=ij c 。

()⎩⎨⎧=其他城市城市后紧接着访问如果访问01,j i j i X二、总结和展望禁忌搜索算法是对人类思维过程本身的一种模拟，其特点是采用了禁忌技术，它通过对一些局部最优解的禁忌达到接纳一部分较差解，从而跳出局部搜索的目的。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

以点0表示旅行商的出发城市，称为源点，点1,2,
,l 表示m 个旅行商需访问的城市。

MTSP 问题的数学模型可以表示为：
令10ij x ⎧=⎨⎩弧(i,j)在线路上弧(i,j)不在线路上
模型表示如下：
0000min 10,1,,10,1,,()01,0,1,,R R ij ij
i j R ij i R ij j ij ij z d x x j R x i R X x S
x i j R
====⎧=⎪⎪
⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪⎪=∈⎪⎪==⎩∑∑∑∑或式中：1;ij R m l d =+-为增广费用。

若用(,1,
,)ij c i j l =表示旅行商经过对应弧度(,)i j 所花的费用，如时间、距离、花费等，那么给ij c 增加(1)m -行和(1)m -列，每一新的行或列是ij c 的最后一行或列的复制，增广矩阵的其他元素为无穷大，由此构成了增广费用ij d 。