§7.6用三角函数解决实际问题3--仰角俯角
仰角俯角的概念
得 AC BC sin ABC 32sin 30 16
sin BAC sin15 sin15
在等腰Rt△ACD中，故
CD 2 AC 2 16 8 2 16( 3 1)
2
2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
二、教学重点、难点 重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已
知条件和所求角的关系 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度
的问题
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图：
2、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC 求得AB的长。
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 选取相距100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小
时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到 0.1h）?
《 仰角、俯角问题》完整版教学课件PPT
D′
C′
B′
D
C
B
解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，
∠AC′B′=60°，
D′C′=50m
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，
设tanD' AB' D' B' ，tanC' AB' C' B' ，
ABD′=B m
x
x tan60，CB
x
tan30，
x
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan a BD , tan CD .
AD
AD
BD AD tan a 120 tan 30 120 3 40 3(m). 3
CD AD tan 120 tan 60 A
120 3 120 3(m).
B
αD β
BC BD CD 40 3 120 3
45° 37° B 400米 A
解：作O⊥AB交AB的延长线于O
设O=米，
在Rt△OB中，∠BO=45°，
OB=O= 米
在Rt△OA中，∠AB=37°，
tan∠PAB PO 0.75 ， OA
O
即
x x 400
0.75 ，解得=1200
故飞机的高度为1200米
45° 37° B 400米 A
当堂练习
1 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观 测者之间的水平距离BC=_____1_0_0__米 2 如图②，两建筑物0°，测得C点的俯角为60°，则 建筑物CD的高为__2_0__米3
x tan 60 x tan 30 50，
视线与水平线的夹角叫做仰角
——仰角俯角
平望二中 徐丽美
怎样测学设计了这样一个方案： 先在地面上距塔底B的适当地方， 比如100米的A处，架一个测角 仪，如测角仪高1.52米，那么 从C点可测出∠ECD=27°此时 CD⊥BE, 显然DE＋BD即为铁 塔的高。
27°
C
D
sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89, tan 27°≈0.51
.
例题1:如图，AB和CD是同一地面上的两座相距 36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼 顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼 CD的高。
C
A 45° 30°
36
B
D
例题2：在山顶上点D处有一铁塔，在塔顶B 处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底D 测得点A的俯角β=45°，已知塔高为30米，求 山高CD。
B α
D β
C
A
1.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔 顶A的仰角为30°，前进 20米到D处， 又测得塔顶A的仰角为60°. 求塔高AB.
A
30°
60°
C
D
B
2.如图，在山脚C处测得山顶A的仰角为 45°，沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高 AB。
1.52米
B
100米
A
视线 铅
仰角
垂O
俯角
水平线
线 视线
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 的夹角叫做仰角；
当从高处观测低处的目标时, 视线与水平线 的夹角叫做俯角。
如图，在地面上距塔底B的100米的A 处，架一个测角仪，测角仪高1.52米， 从C点测得仰角∠ECD=27°，求铁 塔的高度。（精确到1米）
九下数学课件仰角、俯角和方向角有关的问题(课件)
(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93) A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
题型一 仰角、俯角问题
解：过点E作EF⊥CD于点F，过点E作EM⊥AC于点M，如图． ∵斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1:2.4，∴设EF＝x米，则DF＝2.4x米． 在Rt△DEF中，DE＝78米，∵EF2＋DF2＝DE2，∴x2＋(2.4x)2＝782， 解得x＝30(负值舍去)，∴EF＝30米，DF＝72米．∴CF＝DF＋DC＝72＋78＝150(米)． ∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形．∴EM＝CF＝150米， CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°， ∴AM＝EM·tan 43°≈150×0.93＝139.5(米)， ∴AC＝AM＋CM≈139.5＋30＝169.5(米)． ∴AB＝AC－BC≈169.5－144.5＝25(米)． 故选D.
为50°，则建筑物AB的高度约为( D )
(参考数据：sin 50°≈0.77；cos 50°≈0.64；tan 50°≈1.19) A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
题型一 仰角、俯角问题
【变式2】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操
作：
①在点C处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角∠ACE＝α； ②量得测角仪的高度CD＝a；
题型一 仰角、俯角问题
【变式4】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的
俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为__________米(结果保留根
三角函数应用举例(1)仰角俯角
28.2.2解直角三角形的应用（仰角和俯角）教案
中，
D
设计意图：通过分析题意，引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过
一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到
处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这
BC有多高？
A
E
尽管实际问题的背景发生了变化，
C E。
九年级(下)数学教案：锐角三角函数的简单应用(全3课时)
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。
问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
三角函数之仰角俯角坡度
仰角俯角坡度
⑴:使学生了解仰角、俯角的概念，
复习：(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水
平线下方的角叫做俯角．
、例题
例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
例22003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
二用三角函数有关知识解决方位角问题
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么
关系？
例4同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。
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l.78m
参考数据： sin78°≈0.98 cos78°≈0.21 tan78°≈4.70
P C
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
合作与探究
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底 部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
A
P
45° 30°
200米 D
答案: (300100 3) 米
O B
合作与探究
意犹未尽
5、一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的 俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线， CD＝200米，求塔高AB？
A
C
D
B
D′
6、有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60 米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三 角形场地的面积．
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45°.已知调整后的楼梯 比原来多占地4米,求楼梯的高度. D
B
A
合作与探究
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上 方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大 桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °， 求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30°和45°，求飞机的高度PO .
A
B
C
如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m 的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长 都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面 与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到 头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖 直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否 比较方便?
2 1.414, 3 1.732
答案:15.1米
思想与方法
数学建模及 方程思想
解
解方程
直角三角形 解
简单实 际问题
构建
数学模型
三角形 梯形 组合图形
通过作高 转化为直 角三角形
思想与方法
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个 方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画 出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中 的边、角或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.
解：由题意得，
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 P OA OB
α
β
OA
450 450 3, 450米 tan 30
450 OB 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m) O 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间 的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50) m，则下 3 面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30° 图1 2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已 知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE= (40 3 1.5)m （根号保留）． _________
25 5
BБайду номын сангаас
濠 河 55°
C 50m D
40°
初探中考题
【探究3】 在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上 悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测 得条幅顶端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都 为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度． （计算结果精确到0.1米） 参考数据:
30 °
450
A
B
C
图5
归纳与提高
α
450
β
α
β
45°
30°
45°
O
B
C
30°
60°
A
O
B
30° 400
A
P
A
P
45° 45 °
200 200米
30 ° 30 °
D
45°
200米 45° 200
O
B
O
B
数学在身边
【探究2】学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后 与同学在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他 想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高 度.现已测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道 BD的长度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°， 但他们在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出 21 7 电视塔塔楼AB的高. tan 40 , tan 55 （参考数据： ） A 答案：空中塔楼AB高 约为105米
变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升 飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的 P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如 图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米， 参考数据 ）.
2 1.414， 3 1.732
Q P
答案：AB≈520（米）
60 °
题
在进行测量时，
仰角、俯角
铅垂线 视线
从下向上看，视线与水
平线的夹角叫做仰角； 从上向下看，视线与水 平线的夹角叫做俯角
仰角 俯角
水平线
视线
合作与探究
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别 为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
图2
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB 等于 100( 3 1)m （根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45° ，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm 2
（根号保留）．