第六章-整数规划2
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
第六章 整数规划(应用运筹学)
x2≥3
线性规划B6 Z5=6 x1=0 , x2=3
z6
z 6
§3 0—1规划Binary integer programming
当我面临是与非两种选择时，我们可以用决策变量取0或1值来表示 这样的决策，这样，地j个是非决策问题可以表示成
if decision j is yes, 1 如果决策是 xj if decision j is no 0 如果决策是非
x2 3 2 1 2x1+3x2 =6 o 1 2 3 4 x1 2x1+3x2 =14 2x1+3x2 =14.66
得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目
B0
max z =x1+2x2 s.t. 2x1+5x2 ≤ 15 2x1－2x2 ≤5 x1 , x2≥0
x2为整数的限制条件，得规 划B0对应的最优解与最优 值如下，而 X=(0，0)为A0 3 的可行解 B0 13 3 T 11 X (3 ,1 ) , z 6 14 7 14
2x1＋5x2=15
(1)每求出一次符合整数的解，都要考虑修改下界
函数值最大者为新的下界 (2)修改
z
，选整数解的目标
z
0
z ，找出所有未 分枝问题目标函数值最大者，为新的上界 z 当改变完上、下界 z ，z 后，若 z ＝ z，则所有分枝均已查明，得到 A
的最优解， 若
z＞ z
，则说明仍有分枝未查明，返回到第四步
分枝定界法
分枝定界法步骤
运筹学 第六章 整数规划 第一讲 整数规划数学模型与纯整数规划的求解
A B C D E
6 4 2 4 5
10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
6.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
① 求解LP : 如果LP无最优解, 则IP无最优解;
设LP的最优解为x , 最优值为z , 则IP的最优值z * 满足 :
z z* z
其中 z 为IP在任何一个可行解处的目标值.
② 检验与分支：
如果x 满足IP的整数要求, 则x为IP的最优解：z* z . 否则 考虑一个不满足整数要求的xr , 将约束
示不安排第i人去做 j工 作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1 n
要求一部分或全部决策变量取整数值
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
xr xr 和
xr xr 1
分别加入LP形成两个子问题 a] ([
不超过a的最大整数)
6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming
Ch6 整数规划 Integer Programming
n
max
z cj xj
j 1
ij j
不考虑整数条件，由余下的目标函数和 约束条件构成的规划问题称为该整数规 划问题的松弛问题。
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
第六章 整数规划(2012)
16
第三节 割平面法
割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤： （1）切割方程 fi - ∑ fik xk ≤ 0 真正进行了切割，至少把非整数最优 解这一点切割掉了。 证明：（反证法）假设松驰问题的最优解 X* 未被切割掉，则由 fi - ∑ fik x*k ≤ 0， 又因为 x*k = 0，（因 x*k 为非基变量） 有 fi ≤ 0 ，这与 fi ＞ 0 矛盾。 （2）不会切割掉任何整数解，因为切割方程是由变量为整的条件 提出的。
该整数规划松弛问题的解为： （X1 ，X2 ）= （3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
7
第二节 分支定界法
分支定界法图解整数规划
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6 B1：解 （2，23/9 ） Z11 = 41/9 B2 Max 松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0 B1 Max Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X1 ， X2 ≥ 0 Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≤1 X1 ， X2 ≥ 0
整数规划_精品文档
整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。
整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。
随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。
一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。
分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。
彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。
整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。
二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。
二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。
物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。
金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。
资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。
组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。
三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。
分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。
遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。
摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。
蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。
元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。
粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。
深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。
四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。
第六章-整数规划
0
0 1 0 0 3/4 -1/4
1
0 1/3 1/3 -1/3 1/4 1/4
1 1
ci-zi →
0
0
-1/2
-1/2
最优解 X (3/ 4, 7 / 4)T ，对应下图中的A点。
由于最优解为非整 数解，需要构造割 平面。以第一个约 束构造割平面为：
3 1 3 x x 4 3 4 4 4
3. 如果要求部分决策变量取整数值，则称为混合整数规 划（Mixed Integer Programming，MIP）问题。
4. 如果整数变量都是0-1变量，这样的整数规划问题称 为0-1规划（Binary Integer Programming，BIP）问题。
一、问题的提出
在现实生活中我们经常遇到一些决策变量需要取 整数才有实际意义的问题，例如产品数量、工人人 数、设备台数、股票手数等等，还会经常遇到由一 系列相关的“是或否”的选择组成的决策问题，决 策变量只能有两个取值0或1（0-1变量）比如在被选 方案中进行项目决策、投资决策和设施决策等。下 面我们看一个例子 。
三、解的特点和求解思想
整数规划与线性规划在模型上的唯一区别在于决策变量是否取整数。 当可行域有界时，整数规划问题可行解的个数有限。然而可行解个数 有可能会是天文数字，性能最高的计算机也不能胜任用简单枚举法求 解50个变量以上的整数规划问题。 在某些特殊情况下，松弛问题的最优解满足整数型约束，可以用单纯 性法求解松弛问题以求出整数规划的最优解。 一般情况下，松弛问题的最优解不会恰好是整数解，我们可以考虑用 去掉松弛问题可行域中的一些非整数解，使得新产生的松弛问题的子 问题的最优解是整数解，可以考虑通过单纯性法求解松弛问题及其一 系列子问题来求解整数规划问题的最优解。 目前对于一般的整数规划问题还没有令人满意的有效解法，在应用中 主要有两种一般性解法：割平面法和分支定界法.对于特殊结构的整 数规划问题，在应用中提出了的一些令人满意的专用解法。例如求解 0-1规划的解法和求解指派问题的匈牙利人算法。
第六章 整数规划
原来的上界 .
在分枝定界法的整个求解过程中,上界的值在不断减小.
问题 B5
max f 20 x1 10 x2
问题 B6
max f 20 x1 10 x2
5 x1 8 x2 60 x1 8 x2 4 s.t x1 6 x2 3 x ,x 0 1 2
第六章 整数规划
整数规划模型
分支定界法
割平面法 0-1整数规划问题
指派问题
整数规划模型
在许多线性规划问题中,要求最优解必须取整数.例如 所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等.如果所得的 解中决策变量为分数或小数则不符合实际问题的要求. 对于一个规划问题,如果要求全部决策变量都取整数, 称为纯(或全)整数规划;如果仅要求部分决策变量取整数, 称为混合整数规划问题.有的问题要求决策变量仅取0或l两
解 设计划甲种宿舍建 x1 幢,乙种宿舍建 x2 幢,则本题数学 模型为 :
max Z 20 x1 10 x2
0.25 x1 0.4 x2 3 x1 8 s.t x2 4 x1 , x2 0, 取整数
这是一个纯整数规划问题,称为问题 A0 。
（1）
作出问题 A1 , A2 的伴随规划 B1 , B2 , 则问题 B1 , B2 , 的可行 域为 K1 , K 2 , 见图2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两 个分枝问题称为"一对分枝".
x2
4
3
x2
2 1
O
2
4
6
8
x1
O
1
2
4
6
8
x1
(a)
(b)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1，在所有未划去数中找出最小数，设为d 2，将所有未画去的数都减去d，而对位于两 直线交点处的数则加上d。 3，得出最优指派方案。
(1)
0
2
3
0
2
0
2
1
(2)
4
2
0
1
1
0
3
3
(3)
0
3
3
0
1
0
1
0
(1)
4
3
0
1
0
0
2
2
(3)
(2)
(4)
注：最优解不一定唯一！
如果限制决策变量取整数，则在约束关系选项中选择“int”； 如果限制决策变量取0或1，则在约束关系选项中选择“bin”。
5 2
1
2 0 2 0
3 2 0 3
0 1 1 3
0 2 4 1
2 0 2 0
3 2 0 3
0
1 13
B
效率矩阵
每行元素中减去 该行的最小元素
每列元素中减去 该列的最小元素
指派问题的匈牙利算法（续）
划去C中所有0元素所需要 的最少直线数等于C中不同行 不同列上0元素的个数
指派问题应用举例
各建筑队完成每座厂房所需费用（万元）
B1
B2
B3
B4
A1
3
4
5
2
A2
8
5
7
6
A3
9
6
4
5
A4
5
3
6
6
指派问题的匈牙利算法
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 6 9 12 8 7 每行减最小数 6 7 14 6 10 6 9 12 10 6
• 注意：不要使用 Excel中的“IF( )” 函数来表达 xi 和 yi
的逻辑关系。
例如：设单元格 A5 代表 x1，单元格 A6 代表 y1，Solver
无法处理诸如A6 = IF(A5>0,1,0) 的约束关系式。
Excel求解
例6.9．5人翻译5种外文的速度（印刷符号/小时）如下表6-11 所示。若规定每人专门负责一个语种的翻译工作，那么，试解 答下列问题： （１）应如何指派，使总的翻译效率最高？ （２）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，则应如何 指派？
max s.t.
z = 3y10 + 6y11 + 12y12 + 4y20 + 8y21 + 16y22 + 32y23
y10 + 2y11 + 4y12 5 2y10 + 4y11 + 8y12 + 3y20 + 6y21 + 12y22 + 24y23 30 yij = 0 or 1
指派问题
f (x1, x2, …, xn ) My g (x1, x2, …, xn ) M (1-y) y = 0 or 1
不允许选择3种股票的例子
Either f(x)=x1+x2+x3+x4+x5+x6 4 or g(x)=f(x)=x1+x2+x3+x4+x5+x6 2
引入一个变量，并增加以下约束: x1+x2+x3+x4+x5+x6 4w x1+x2+x3+x4+x5+x6 2 + 4w
z≥5
（0，1，0）
-2
（0，1，1）
3
（1，0，0）
3
（1，0，1）
8
z≥8
（1，1，0）
1
（1，1，1）
6
0-1整数规划的枚举法
（x1 , x2 , x3）
z
约束条件
删除 最优
1
2
3
4
条件
解
（1，0，1）
8
z≥8
（1，1，1）
6
（0，0，1）
5
（0，1，1）
3
（1，0，0）
用0-1变量表示一般整数规划
max s.t.
z = 3x1 + 4x2
x1
5
0 x1 5
2x1 + 3x2 30
0 x2 10
xj 0, xj integer, j=1,2
22 5 23, 23 10 24
x1 = y10 + 2y11 + 4y12 x2 = y20 + 2y21 + 4y22 + 8y23 yij = 0 or 1
算法原理：设C (cij )nn是一个效率矩阵，若可行解 x*的n个 1所对应的n个cij 都等于0，则 x*是最优解。
对于前面的例子，得 到如下的效率矩阵：
3
C
8 95
4 5 6 3
5 7 4 6
2 6 5 6
2 5 4 3
1 3
指派问题的提出和模型
问题的提出 有n项不同的任务需要完成，而恰好有n个人（或n台设备）可以 分别完成其中的一项工作，但由于任务的性质和个人的专长不 同，因而不同的人去完成不同的工作产生的效率就不一样。那 么，应派哪一个人去完成哪一项工作才能使总的效率最高？
问题模型
nn
min
cij xij
没有被直线覆盖的元素中找最小者， 对未被覆盖的行（列）减去该元素
0 3
1 0
1 1
0
0
0 2
0 11 8 6 6 2 2 1 0 5 0 4 3 4 0
第一列加1
1 3 0 11 8 0 0 6 6 2 0 1 2 1 0 1 0 5 0 4 1 2 3 4 0
√
在已打√的行中，对 0 所在的列打√ 在已打√的列中，对 所在的行打√ 重复上述过程，直到不能打√
0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 √ 0 2 3 2 1 √ 0 0 5 0 4 0 2 3 4 0
√
对没有打√的行，打√的列划线
0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 0 2 3 2 1 0 0 5 0 4 0 2 3 4 0
3
（1，1，0）
1
（0，0，0）
0
（0，1，0）
-2
用0-1变量表示一般整数规划
如果一个整数变量 x 有上界 u，即 0 x u，
这里 2N u 2N+1，
则 x 可用0-1变量 yi（i=0,1,…,N）表示： x = i=0,1,…,N 2i yi, yi = 0 or 1, i=0,1,…,N
约束条件建模
正好选择三种股票
x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6=3
如果选择股票2，必须也选择股票1
x1 如果x选2 择股票1，那就不能选择股票3
x1 + x3 1
股票4和股票5只能选其一
x4 + x5 = 1
不允许选择3种股票
Either x1+x2+x3+x4+x5+x6 4 or
s.t.
x1 + 2 x2 - x3 ≤ 2
x1 + 4 x2 + x3 ≤ 4
x1 + x2
≤3
4 x2 + x3 ≤ 6
x1 , x2 , x3 = 0 or 1
0-1整数规划的枚举法
（x1 , x2 , x3）
z
约束条件
删除 最优
1
2
3
4
条件
解
（0，0，0）
0
z≥0
（0，0，1）
5
i1 j 1
n
s.t.
xij 1, j 1,2,, n
i 1 n
xij 1, i 1,2,, n
j 1
xij 0 或1, 对一切i, j.
指派问题应用举例
某市计划在今年内修建4座厂房：发电厂、化肥厂 、机械厂、食品厂，分别记为B1，B2，B3，B4。 该市有4个大的建筑队A1，A2，A3，A4都可以承 担这些厂房的建造任务。但由于各个建筑队的技术 水平、管理水平等不同，它们完成每座厂房所需要 的费用也不一样。为计算简单，设有关数据如下表 所示。又因希望尽早把这4座厂房都建造好，故需 把这4个建筑队都动用起来，即每个队分配一项任 务。市政府经费紧张，于是提出研究下述问题：究 竟应该指派哪个队修建哪个厂，才能使建造4座厂 房所花的总费用最少？
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 6 9 12 8 7 6 7 14 6 10 6 9 12 10 6
7+9+6+6+6=34
指派问题应用举例
各建筑队完成每座厂房所需费用（万元）
B1
B2
B3
B4
A1
3
4
5
2
A2
8
5
7
6
A3
9
6
4
5
A4
5
3
6
6
指派问题的匈牙利算法
若一行中有多个0元素，任选一个
若独立0元素的个数等于行数， 则停，否则继续下面计算。
0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 0 2 3 2 1 0 0 5 0 4 0 2 3 4 0