整数规划
整数规划.
5.2 整数规划的解题思路
1. 当人们开始接触整数规划问题时，常常会 有如下两种初始想法： 想法一：因为可行方案的数目常常是有限 的，因此，从理论上讲，经过一一比较后， 总能求得最好方案。例如背包问题充其量有 2n-1种方式。但是这种穷尽法是行不通的。假 设一台计算机每秒比较一百万个方式，那么 要比较20！种方式，大约需要800年，要比较 260种方式，需要360多个世纪。
可行域=空集
max f = x1 + 4 x2 s.t. - 2 x1 + 3x2 ≤3 x1 + 2 x2 ≤8 x2 ≤2 x1 , x2 ≥0 解得 x1 = 4, x2 = 2
2. 分枝定界法的最优解步骤：
第一步：首先将整数规划问题当作一般的线性规划问 题处理，如果得到的解是整数解，则停止，否则转入第 二步； 第二步：增加整数约束，分枝，对分枝用线性规划求 解。如果得到的最优整数解的目标函数比其他分枝的最 优整数解的目标函数值都要好，则停止，否则转第三步； 第三步：（Ⅰ）若未获整数解的目标函数值比同层的 分枝要差，则暂停分枝。 （Ⅱ）如果其他枝的整数解目标函数值比这样要好，此 枝再也不用再分枝。 （Ⅲ）如果其他分枝的整数解目标函数比这枝要差，回 过头来继续对此枝分枝，希望找到一个使目标函数值有 所改善的整数解，转回第二步。
原始结点
图示：
上述说法可用图表示
max f = x1 + 4 x2 - 2 x1 + 3x2 ≤3
s.t.
x1 + 2 x2 ≤8
x1 , x2 ≥0 解 x1 = 2.5, x2 = 2.7
分枝 1 分枝 2
x2 ≥3
结点 1
x2 ≤2
原始结点
max f = x1 + 4 x2 s.t. x + 2 x ≤8 1 2 - 2 x1 + 3x2 ≤3 x2 ≥3 x1 , x2 ≥0
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
第4章 整数规划
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
整数规划(整数规划)
在生产管理和经营活动中若要求解：
• 安排上班的人数 • 运输车辆台数
第八章
整数规划（IP）
(Integer Programming)
主要内容： §1 整数规划的模型（掌握） §2 整数规划的计算机求解（掌握） §3 整数规划的应用（掌握）
（补充指派问题的匈牙利解法）
一、整数规划的模型
（一）整数规划实例 例1：某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及 托运所受限制如表所示：
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有MaxZ = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2，3) (1，4)(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最 优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
工作 人
B1 a11 a21 a31
B2 a12 a22 a32
B3 a13 a23 a33
A1 A2 A3
要求：1.将此分配问题的求解转化为一个网络图中求始点 与终点之间的最短路问题，画出该网络图，注明 节点和边的含义，并标明每一条边的aij值； 2.以上述网络图为基础，利用0－1变量建立该最短 路问题的0－1整数规划模型，列出该模型的数学 表达式。
设决策变量
xij =
1
0
分配第i 个人去做第j 件工作
相反
n
( I,j=1.2. …n )
min Z 其数学模型为：
c
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
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x1表示扩建工厂的变量, , 第1年的可用资金为40 =1表示扩建工厂,=0表 千元,所以相应的约束条 示不扩建 件为: 15x1 +10x2 +10x3 +15x4 ≤ 40 同理,变量x ,x ,x 依
2 3 4
次表示扩建仓库,更新机 器,新产品研制.
( 4 ) 检验解是否可行.如可行,已得一个可行解,计算并记下
它的z值,并停止分枝,若子域都检验过,转步骤(7),否则转 步骤(6).因继续分枝,即使得到可行解,目标函数值也比记下 的z值大,不会是最优解;如不可行,进行步骤(5).
14
隐枚举法求解步骤( 隐枚举法求解步骤(二) 求解步骤
(5)将子域固定变量的值代入第一个不等式约束条件方程, ,
Z1=8,可行, 停止分支. Z4=0 < Z1 ,不可 行,不可行子域, 停止分支. (0,0,0,0,0) Z8=2< Z5 ,不可 行,不可行子域, 停止分支.
(1,0,0,0,0)
(0,0,0,0,0)
Z3=2 < Z1 ,不可行, 可行子域,分支. Z5=6 < Z1 ,可 行,停止分支.
B1 A1 B2 B3 B4 A2
A3
B5
5
首先做如下假设: 首先做如下假设: 如果在B 建新厂, =1;否则, =0. 如果在B1建新厂,y1=1;否则,y1=0. 如果在B 建新厂, =1;否则, =0. 如果在B2建新厂,y2=1;否则,y2=0. 如果在B 建新厂, =1;否则, =0. 如果在B3建新厂,y3=1;否则,y3=0. 如果在B 建新厂, =1;否则, =0. 如果在B4建新厂,y4=1;否则,y4=0. 表示从工厂i 到销售中心j的运输量; xij:表示从工厂i 到销售中心j的运输量; i=1,…,5 j=1,2,3. ,5; i=1, ,5;j=1,2,3. 利用已知的数据,年运输成本为: 利用已知的数据,年运输成本为: TC1=5x11+2x12+3x13+4x21+3x22+4x23+9x31+7x32 +5x33+10x41+4x42+2x43+8x51+4x52+3x53
x B1的最优解中含有非整数,再对x2分支:2 ≥ [16 / 5] = 3 和 x 2 ≤ [16 / 5] + 1 = 4 的最优解中含有非整数,再对 分支: 的最优解中含有非整数
B11
max Z = 4 x1 + 3 x 2 max Z = 4 x1 + 3 x 2 B12 s.t. 4 x1 + 5 x 2 ≤ 20 s.t. 4 x1 + 5 x 2 ≤ 20 2 x1 + x 2 ≤ 6 2 x1 + x 2 ≤ 6 x1 ≤ 1, x 2 ≥ 4 x1 ≤ 1, x 2 ≤ 3 整数解 x1 , x 2 ≥ 0 x1 , x 2 ≥ 0 不再分支
11
实例分析
现值 第1年资金 第2年资金 第3年资金 第4年资金 90 15 20 20 15 项目(千元) 扩建仓库 更新机器 新产品研制 40 10 37 总可用成本 10 10 15 40 15 10 50 20 10 40 5 4 10 35
变量
约束条件
目标函数
当前估算净值最 大,即max
所以选址模型为: 所以选址模型为:
min TC= TC1+TC2 s.t. s.t.x11+x12+x13≤10y1; x21+x22+x23≤20y2; x31+x32+x33≤30y3; x41+x42+x43≤40y4; ≤30; x51+x52+x53≤30; =30; x11+x21+x31+x41+x51=30; =20; x12+x22+x32+x42+x52=20; =20; x13+x23+x33+x43+x53=20; ≥0,对所有的i xij≥0,对所有的i,j; =0, y1,y2,y3,y4=0,1
2
目
录
整数规划实例与模型
0-1整数规划的建模方法 分支定界法 割平面法 指派问题 应用举例和Excel Excel求解 应用举例和Excel求解
3
应用与实例
在现实生活中,经常遇到一些需要变量取整数才 有实际意义的问题,例如制定计划,规划时需要 确定工人的人数,设备的台数等. 许多有名的最优化问题,如旅行商问题,背包问 题,下料问题,工序安排问题等,也都可以归结 为整数规划问题.
4
应用与实例 ——具体实例
现有一位于城市B5的工厂, 其年生产量是30000件,产品被运 往A1,A2,A3三个城市的销售中 心.经预测该厂产品的需求量将 会增长,工厂决定将在B1,B2, B3,B4四个城市中的一个或多个 城市中新建工厂以增加生产力(如 有图).综合考虑在这四个城市 中新建工厂的年固定成本和生产 能力,以及每件产品从每个工厂 送到每个销售中心的运费.问如 何选择新的厂址,才能使该工厂 每年的总成本最小.
8
整数规划的一般模型
max(或 min)∑ ci xi s.t.
n
∑a x
i =1 i
n
i =1
i
≤ b (或 ≥ b 或 = b)
xi ≥ 0, 且为整数或部分为整数 i = 1,2, , n
9
ห้องสมุดไป่ตู้
目
录
整数规划实例与模型
0-1整数规划的建模方法
分支定界法 割平面法 指派问题 应用举例和Excel Excel求解 应用举例和Excel求解
(0,1,0,0,0)
(0,1,1,0,0)
Z6=2 < Z5,不 可行,可行子 域,分支. (0,1,0,1,0)
(0,1,0,0,0)
Z7=9> Z5 ,停止分支.
(0,1,0,0,0) 16
目
录
整数规划实例与模型 0-1整数规划的建模方法
分支定界法
割平面法 指派问题 应用举例和Excel Excel求解 应用举例和Excel求解
17
分支定界算法的相关性质
分支定界的实质是在保留原问题全部整数可行解前提下,将原问 题分解为若干子问题,即分支,并利用子问题的目标值来判定分 支的界限. 整数线性规划的分支原则是利用整数规划的相邻整数点之间无可 行域这一特点,因而可以按相邻整数为边缘来分支. 整数规划的最优解不会更优于相应的线性规划的最优解.即对于 最大化问题,与整数规划相应的线性规划的目标函数值,是该整 数规划目标函数值的上界;对于最小化问题,其目标函数值是相 应的下界. 以下面整数规划为例,讲解分支定界算法:
(6)定出尚未检验过的另一个子域的解,执行步骤
(3)～(5),若所有子域都停止分枝,计算停止,目标函 数值最小的可行解就是最优解;否则,转(7).
( 7 ) 检查有无自由变量.若有,转(2);如没有,计算
停止.目标函数值最小的可行解就是最优解.
15
隐枚举法举例
说明: 说明: 彩色字体为固定变量.
min z = 8 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 + 7 x 4 + 5 x 5 令所有变量都为0, 3 x1 3 x 2 + x3 + 2 x 4 + 3 x 5 ≤ 2 不可行,分支. s.t. 5 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 + x 5 ≤ 4 Z2=0< Z1 ,不可行; x j = 0或1, 对一切 j. (0,0,0,0,0) 可行子域,分支.
6
建新工厂的年固定成本为: 建新工厂的年固定成本为:
TC2=175y1+300y2+375y3+500y4; 总成本为: 总成本为:TC=TC1+TC2; 生产能力的约束条件为: 生产能力的约束条件为: 从新工厂B 运到A 从新工厂B1运到A1,A2,A3三个城市销售中心的总量应小于等 的生产能力,所以约束条件为: 于B1的生产能力,所以约束条件为: 的生产能力; x11+x12+x13≤10y1 B1的生产能力; 同理可得: 同理可得: 的生产能力; x21+x22+x23≤20y2 B2的生产能力; 的生产能力; x31+x32+x33≤30y3 B3的生产能力; 的生产能力; x41+x42+x43≤40y4 B4的生产能力; 的生产能力; x51+x52+x53≤30 B5的生产能力; 三个销售中心的需求量为: 三个销售中心的需求量为: 的需求量; x11+x21+x31+x41+x51=30 A1的需求量; 的需求量; x12+x22+x32+x42+x52=20 A2的需求量; 的需求量; x13+x23+x33+x43+x53=20 A3的需求量; 7
最优解:(1,16/5) 目标函数最优值:68/5
B2 max Z = 4 x1 + 3 x 2
s.t.
4 x1 + 5 x 2 ≤ 20 2 x1 + x 2 ≤ 6 x1 ≥ 2 x1 , x 2 ≥ 0
整数解 不再分支 最优解:(2,2) 目标函数最优值:14
20
分支定界法求解过程( ) 分支定界法求解过程(3)
max Z = 4 x1 + 3 x 2 s.t. 4 x1 + 5 x 2 ≤ 20 2 x1 + x 2 ≤ 6 x1 , x 2 ≥ 0, 且 x1 , x 2 取整数