运筹学课件 第六章-整数规划3
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《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
运筹学课件OR_6_整数线性规划
而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界。 分支定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分支)的方法
，逐步减小上界和增大下界，最终求到z*。
7
Ningbo University
分支定界解法
在不考虑整数条件，所得到的最
优解是x1=4.81, x2=1.82, z=356。 在增加整数条件后，最优解不可
最优解是x1=4, x2=2, z=340
我们在B2问题以x2来分析，找出 接近的整数，并把不含整数的部 份去掉。 新问题的最优值再要重新确认。 B5问题的最优解无可行解。
最优解是x1=5.44, x2=1, z=308
11
Ningbo University
它和一般整数线性规划的约束条件形式是一致的。在 实际问题中，如果引入0-1变量，就可以把有各种情况 需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论 了。在本节我们先介绍引入0-1变量的实际问题，再研 究解法。
18
Ningbo University
投资场所的选定—相互排斥的计划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中有7 个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：
1. 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。 不考虑整数条件求解这两个后继问题。
2. 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果，比较所有分支问题 的解，找出最优目标函数值最大者作为新的上界 。从已符合整数条 件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 。
2. 比较与剪支
分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问题。20世 纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是解整数线性规划 的重要方法之一。
6
，逐步减小上界和增大下界，最终求到z*。
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Ningbo University
分支定界解法
在不考虑整数条件，所得到的最
优解是x1=4.81, x2=1.82, z=356。 在增加整数条件后，最优解不可
最优解是x1=4, x2=2, z=340
我们在B2问题以x2来分析，找出 接近的整数，并把不含整数的部 份去掉。 新问题的最优值再要重新确认。 B5问题的最优解无可行解。
最优解是x1=5.44, x2=1, z=308
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Ningbo University
它和一般整数线性规划的约束条件形式是一致的。在 实际问题中，如果引入0-1变量，就可以把有各种情况 需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论 了。在本节我们先介绍引入0-1变量的实际问题，再研 究解法。
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投资场所的选定—相互排斥的计划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中有7 个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：
1. 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。 不考虑整数条件求解这两个后继问题。
2. 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果，比较所有分支问题 的解，找出最优目标函数值最大者作为新的上界 。从已符合整数条 件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 。
2. 比较与剪支
分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问题。20世 纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是解整数线性规划 的重要方法之一。
6
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
运筹学课件OR_6_整数线性规划
1. 各分支的最优目标函数中若有小于下界者，则剪掉这支(用打×表示) ，即以后不再考虑了。若大于下界，且不符合整数条件，则再进行分 支(步骤3.1)。一直到最后得到得最优整数解为止。
13
Ningbo University
Ex. 分支定界法
9 7 x x 1 1 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 9 7 5 5 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 x x 2 2 1 3 1 5 7 2 0 1 .1 5 .7 7 5
分支定界解法
在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首先 容易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，然后比 较它们的目标函数值，从而确定最优解。
对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的组合数也较 小时，这个方法是可行的，也是有效的。
对于大型问题，可行的整数组合数会很大。
适合的解法应是仅检查可行的整数组合的一部分，来 找出最优的整数解。分支定界解法就是其中之一。
最优解是x1=5, x2=1.57, z=341
9
Ningbo University
分支定界解法
B4问题的最优解比我们的下界差， 故不须再进行讨论。
而B2问题的最优解比下界好，有 可能会存在较佳的整数解，因此
需要继续讨论。
最优解是x1=1.42, x2=3, z=327
最优解是x1=4, x2=2, z=340
分支定界法求解步骤(最大化)
将要求解的整数线性规划问题称为问题A，将与它相 应的线性规划问题称为问题B：
1. 解问题B，可能得到以下情况之一：
1. B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止。 2. B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解
，则停止。 3. B有最优解，但不符合问题A的整数条件，则它为目标的上界。
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Ex. 分支定界法
9 7 x x 1 1 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 9 7 5 5 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 x x 2 2 1 3 1 5 7 2 0 1 .1 5 .7 7 5
分支定界解法
在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首先 容易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，然后比 较它们的目标函数值，从而确定最优解。
对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的组合数也较 小时，这个方法是可行的，也是有效的。
对于大型问题，可行的整数组合数会很大。
适合的解法应是仅检查可行的整数组合的一部分，来 找出最优的整数解。分支定界解法就是其中之一。
最优解是x1=5, x2=1.57, z=341
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分支定界解法
B4问题的最优解比我们的下界差， 故不须再进行讨论。
而B2问题的最优解比下界好，有 可能会存在较佳的整数解，因此
需要继续讨论。
最优解是x1=1.42, x2=3, z=327
最优解是x1=4, x2=2, z=340
分支定界法求解步骤(最大化)
将要求解的整数线性规划问题称为问题A，将与它相 应的线性规划问题称为问题B：
1. 解问题B，可能得到以下情况之一：
1. B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止。 2. B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解
，则停止。 3. B有最优解，但不符合问题A的整数条件，则它为目标的上界。
运筹学基础-整数规划(3)
【例如】某约束为 2x1+5x2-x3≤2或3 2x1+5x2-x3≤2y1+3y2 引入辅助变量y1,y2, 约束化为 y1+y2=1 y1，y2只取0或1
3
整数规划
3、两组条件满足其中一组
若x1≤4,则 x2≥1；否则（即x1>4时）， x2≤3
引入变量定义为：
1 yi 0
第i组条件不起作用 第i组条件起作用
整数规划
【解】
设： xij为学生i在周j值班时间，aij代表学生i在周j 最多值班时间， ci代表学生i的报酬。 安排学生i在周j值排 1 6 5 yij min z ci xij 否则 i 1 j 1 0 2 yij xij aij yij i 1, ,6; j 1, ,5 不超过安排
i 1， 2
又M为任意大的数，则问题可表达为
x1 4 y1M x 1 y M 1 2 x1 4 y2 M x2 3 y 2 M y1 y2 1 y1 , y2只取0或1
4
整数规划
4、用以表示含固定费用的函数
用xj代表产品j的生产量，其生产费用函数通常可表示为：
n j 1
0 x j Myi yi yi 0或1
可以看出当xj=0时，yi=0；而如果yi=1，则必有xj>0
5
整数规划
【应用1】
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量 及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。有关信 息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量 资源价格（元／单位） 机器（时） 6 8 120 ５ 人工（时） 10 5 100 20 原材料(公斤) 11 8 130 1 产品售价（元） 600 400
《运筹学》第6章 整数规划
整数规划（Integer Programming，简称IP），是 要求全部或部分决策变量为整数的规划。整数规 划分为线性整数规划和非线性整数规划。本章只 介绍线性整数规划，简称为整数规划。
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
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物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m
ai xi
a
st.
i 1 m
bi
xi
b
i1 xi
0或1，i1,2来自, m投资问题
例:某投资公司有4个项目可以投资，1）投资5万元， 可获得利润16万元；2）投资7万元，可获得利润22 万元；3）投资4万元，可获得利润12万元；4）投资 3万元，获得利润8万元；现该公司拥有14万元的总 资源。问应投资哪几个项目获利最大？
约束条件：
城镇所有的废物均需运出：
x11 x12 x13 700 （1） x21 x22 x23 1200 （2）
约束条件（续）：
各处理场的处理能力限制：
x11 x21 1000 y1` （3） x12 x22 500 y2 （4） x13 x23 1300 y3 （5）
大小排序。取最大者对应的变量为 xl1 1 ，此时
所剩资源为 b al1 ，然后取第二大的比值对应的
变量为 xl2 1 ，直到所剩余的资源小于所有的a。
cs
且 as
为剩余比值最大者。令
xs
cs as
，其余为0。
这样 xs 为分枝变量，令 xs 0 和 xs 1 ，分别加
i 1,2,,6
z
1 3
(1.93 x1
1.91 x2
1.87
x3
1.86
x4
1.8 x5
1.85
x6
)
约束条件：x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3
x5 + x6 1 x2 + x5 1 x1 + x2 1 x2 + x6 1 x4 + x6 1 xi= 0 或 1
（1）或选择s1和s7，或者选择s8钻探(至少一个满足)； （2）选择了s3和s4就不能选s5，或反过来也一样； （3）在s5,s6,s7,s8中最多只能选两个； 试建立这个问题的整数规划模型。
xi 10,,若 若选 不择 选s择 i si (i 1,2,,10)
10
约束条件：
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
项目2 $115 $150 $95 275
项目3 $130 $110 $145 300
项目4 $125 $105 $165 350
• 供应能力约束
x11 + x12 + x13 + x14 525 } 厂家1 x21 + x22 + x23 + x24 450 } 厂家2 x31 + x32 + x33 + x34 550 } 厂家3
未带的物品
3
1 xij ; i 8,9...,17 j 1
未带的物品的费用
17
3
pi (1 xij )
i8
j 1
17
3
min pi (1 xij )
i 8
j 1
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1; i 1,2...,7
• 厂家3的特殊约束
x31 + x32 + x33 + x34 =200y31 + 400y32 + 550y33 y31 + y32 + y33 1
• 变量约束
xij 0 且取整数 yij= 0 或 1 M为充分大的正参数
选址问题
某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻 井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代 号为s1,…,s10, 相应的钻探费用为c1,…,c10，并且 井位选择方面要满足下列限制条件：
问：该建筑公司应向各厂家各订购多少水泥，运费最小？
决策变量：
xij = 项目 j 从厂家 i 购买的水泥吨数
yij
1 0
（用来表达厂家的特殊限制）
目标函数（总运费最小）：
Min: 120x11 + 115x12 + 130x13 + 125x14 + 100x21 + 150x22 + 110x23 + 105x24 + 140x31 + 95x32 + 145x33 + 165x34
j 1
3
xij 1; i 8,2...,17
j 1
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
背包问题
一个旅行者要在其背包中装一些最有用的旅行物品。 背包的容积为a，携带物品总重量最多为b。现有物品 m件，第i件物品的体积为ai，重量为bi ( i=1,…m)。为 了比较物品的有用程度，假设第i件物品的价值为ci ( i=1,…m)。若每件物品只能整件携带，每件物品都能 放入背包中，并且不考虑物品放入背包后相互的间隙， 问旅行者应当携带哪几种物品，才能使携带物品的总 价值最大，要求建立本问题的数学模型。
xij = 1(当第 i人做第j项工作)或0（第 i人不做第j项工作)．
Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31 +17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44
s.t.
x11+ x12+ x13+ x14= 1 x21+ x22+ x23+ x24= 1 x31+ x32+ x33+ x34= 1 x41+ x42+ x43+ x44= 1 x11+ x21+ x31+ x41= 1 x12+ x22+ x32+ x42= 1 x13+ x23+ x33+ x43= 1 x14+ x24+ x34+ x44= 1
x2 j
0时
j 1,2,3
700吨/周
x13
1300吨/周
掩埋 3
x23
城镇甲
x12
x11
500吨/周
焚烧 1 1000吨/周 填海 2
x21
x22
城镇乙
1200吨/周
目标函数(总费用最小)：
总费用=运费+可变处理费+固定费
z 19.5x11 17.0x21 18.5x12 23.5x22 21x13 18.5x23 3850y1 1150y2 1920y3
单变量约束
xij 0, y j 0 或1; i 1, 2; j 1, 2, 3 （6）
运动员选拔问题
• 某篮球队拟由编号为1,2,3,4,5,6的6名预备队员中，挑
选3名正式队员，要求他们的平均身高尽量高。此外，入 选队员须符合下列条件：
– 至少1名后卫；
预备队员情况表
– 2号和5号不能同时入选； – 最多选1名中锋；
整数规划的应用
废品处理问题
某地区有甲、乙两个城镇，它们每周分别产生700吨和1200 吨固体废物，现拟用三种方式（焚烧、填海、掩埋）分别在 1、2、3三个场地对这些废物进行处理。有关数据如下：
表1：废物处理费用和处理能力
固定费用 (元/周)
可变费用 (元/吨)
处理能力 （吨）
焚烧1 3850
12
1000
• 厂家1的特殊约束
x1j My1j x1j 150y1j j = 1,2,3,4
• 厂家2的特殊约束
x2j 200+250y2j j = 1,2,3,4 y21 + y22 + y23 + y24 1
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单