导数与微分 小结、习题课
2-6 导数与微分习题课
当0 x 2时, f ( x) 3x2 4x;
2019年12月24日星期二
蚌埠学院 高等数学
9
当x 2时,
f ( 2)
lim
x2
f ( x) f (2) x2
lim x2 ( x 2) 4. x2 x 2
f ( 2)
lim
f (0) lim f (0 x) f (0)
x0
x
lim f (0 x) f (0)
x0
x
f (0).
2 f (0) 0, 即 f (0) 0.
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例13. 设
x2, f (x)
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arc
cot
x)
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例9. 设 y xab abx axb , 求 y.
解 y [x(ab ) ] [a(bx ) ] [a(xb ) ]
ab xab 1 (abx ln a) (bx ln b) (axb ln a) (b xb1).
(1)n n! ( x 1)n1
,
数学：《导数的复习与小结》课件
依题意应有 当
x (1,4)时, f ( x) 0,当x (6,)时, f ( x) 0.
所以 4 a 1 6. 解得 5 a 7. 故a的取值范围是[5，7].
例6 已知 f ( x) ax3 3x 2 x 1 在R上是减函数，求a的取值
B
D
C1
O
f (t ) S ABO S OBD
B
A C2 x
t
1 1 1 | BD | | 1 0 | | BD | (3t 3 3t ), 2 2 2
即 （Ⅱ）
3 f (t ) (t 3 t ). (0 t 1). 2 3 9 2 3 t . f ( t ) 0 令 解得 f (t ) t . 3 2 2
3 2 f ( x ) ax bx 3x 在 x 1 处取得极值。 例8 已知函数
(1)讨论 f (1) 和 f (1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值； (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此切线方程。 解：(1) f ( x) 3ax2 2bx 3 依题意， f (1) f (1) 0
即 g (a) g (b) 2 g ( a b ) (b a) ln 2. 2
例题讲解：
例2：用公式法求下列导数：
2 x 2 ( 3 x 1 ) （1）y=
（3）y=ln(x+sinx)
2 log ( x 1) （4）y= 3
（2）y= e cos x
1
2x
解(1)y′=
1 ( x 2) 2 (3 x 1) 2 x 2 2 (3 x 1) 3 2 (3 x 1) 2 6(3x 1) x 2 2 x2
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
ch3导数、微分、边际与弹性 习题课——知识总结
导数与微分知识总结第三章导数微分边际与弹性习题课一、知识总结导数与微分知识总结求导法则基本公式导数xy x ∆∆→∆0lim 微分xy dy ∆'=关系)(x o dy y dx y dy y dx dy ∆+=∆⇔'=⇔'=高阶导数二、导数定义与公式详细分析导数与微分知识总结1、导数的定义即或记为处的导数在点并称这个极限为函数处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时内仍在该邻域点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数,)(,,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000x x x x x x dx x df dx dy y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ==='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=定义.)()(lim lim 00000xx f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim )()(lim )(00000000xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='-→∆-→-;)()(lim )()(lim )(00000000xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='+→∆+→+函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等.2、基本导数公式22211)(arctan 11)(arcsin ln 1)(log ln )(sec )(sec sec )(tan cos )(sin 0)(x x x x ax x a a a xtgx x x x x x C a x x +='-='='='='='='='（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot (11)(arccos 1)(ln )(csc )(csc csc )(cot sin )(cos )(x x x x xx e e xctgx x x x x x x x x x +-='--='='='-='-='-='μ='-μμarc三、各类运算法则详细分析导数与微分知识总结3、求导法则设)(),(x v v x u u ==可导，则（1）v u v u '±'='±)(, （2）u c cu '=')((c 是常数),（3）v u v u uv '+'=')(, （4）)0()(2≠'-'='v vv u v u v u .(1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则()(),1().()x y y f x f x y φφ=='='如果函数的反函数为则有(3) 复合函数的求导法则).()()()]([)(),(x u f x y dxdu du dy dx dy x f y x u u f y ϕ'⋅'='⋅=ϕ=ϕ==或的导数为则复合函数而设(4) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:()().v x u x 多个函数相乘除和幂指函数的情形(5) 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程x y t y t x ⎩⎨⎧==ψϕ;)()(t t dt dx dt dy dx dy ϕψ''==.)()()()()(1)(322t t t t t dtdx dt dx dy d dx y d ϕϕψϕψ''''-'''=⋅=(6) 参变量函数的求导法则四、高阶导数详细分析4、高阶导数,)()(lim ))((0xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆二阶导数记作.)(,),(2222dxx f d dx y d y x f 或''''.,),(33dx y d y x f ''''''二阶导数的导数称为三阶导数,记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,n x f n x f -.)(,),()()(n n n n n n dxx f d dx y d y x f 或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)则阶导数具有和设函数,n v u )()()()()1(n n n v u v u ±=±)()()()2(n n Cu Cu =()()(1)(2)()()()()()0(1)(3)()2!(1)(1)!n n n n n k k n n k n k k n k n n u v u v nu v u v n n n k u v uv k C uv ----=-'''⋅=+++--++++=∑莱布尼兹公式直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法证明)间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.常用高阶导数公式()(2)(sin )sin()2n x x n π=+⋅()(3)(cos )cos()2n x x n π=+⋅()(1)()(ln )(0)x n n x a a aa =>x n x e e =)()(nn x n x -αα+-α-αα=)1()1()()4()( n n n x n x )!1()1()(ln )5(1)(--=-1)(!)1()1)(6(+-=n n n xn x五、微分详细分析导数与微分知识总结5、微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000x A dy x df dyx x x f y x A x x f y x A x o x A x f x x f y x x x x f y x x x x ∆⋅=∆=∆⋅=∆∆+∆⋅=-∆+=∆∆+===即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分y dy ∆(微分的实质)6、导数与微分的关系).(,)()(000x f A x x f x x f '=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理7、微分的求法dxx f dy )('=求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式xdx x x d xdx x x d xdxx d xdx x d xdx x d xdxx d dx x x d C d cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan sin )(cos cos )(sin )(0)(221-==-==-==μ==-μμdx xx d dx x x d dx xx d dx x x d dx xx d dx a x x d dxe e d adx a a d a x x x x 222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(+-=+=--=-=====arc函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(v udv vdu v u d udv vdu uv d Cdu Cu d dvdu v u d -=+==±=±8、微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,x f y x =dxx f dy )('=谢谢THANK YOU。
导数与微分练习题及习题详细解答
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
第二章-导数与微分习题汇总
第二章 导数与微分【内容提要】1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-．若0→∆x 时，极限xyx ∆∆→∆0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数，记为)(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或0|d d x x xy =或0|d d x x x f=+→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆+→∆0lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。
-→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆-→∆0lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。
2．导数的意义导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。
导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。
以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。
3．可导与连续的关系定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。
此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。
4．导数的运算定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u '±'='±)(定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u uv '+'=')(定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导，且)(u f y =在其相应点u 处可导，则复合函数)]([x g f y =在x 处可导，且x u x u y y '⋅'=' 或d d d d d d y y ux u x=⋅5．基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下：0)(='C 1)(-='μμμx xa a a x x ln )(='x x e )e (='ax x a ln 1)(log ='x x 1)(ln ='x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=211)(arcsin x x -=' 211)(arccos x x --='211)(arctan xx +=' 211)cot arc (x+-='这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。
高等数学课件：习题课(06)导数与微分续
3．已知函数 y y( x) 由方程 e y 6 xy x2 10 确定，
则 y(0) 2 。
4.
设
f
( x)
x2 x2 1
，
则 f (n)( x)
1(1)n 2
n![
(
1 x 1)n1
(
x
1 1)n1
]
。
(1)n1 n!
5．设 f ( x) x2ln(1 x) ，则 f (n)(0) n2 。
解： f (n)( x)[ln(1 x)](n) x2 n[ln(1 x)](n1)2 x
n(n1)[ln(1 x)](n2)2 ， 2
[ln(1 x)](k) (1)k1(k1)n)
(
x)
(1)n1(n1)! (1 x)n
x
2
2nx(1(1)nx2)(nn12)!
f (n)(0)(1)nn3(nn(n1)(1)1((1)nnx33)()nn!2(3)!1，)n1 n!. n2
导数的阶数 n 为（ C ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
相关变化率
设x x(t ) , y y(t )都 是 可 导 函 数 ， 变 量
x和y之 间 存 在 某 种 对 应 关 系F ( x, y) 0,
•
•
因 而 它 们 对t的 变 化 率x(t ), y(t )也 存 在
三、求下列函数的导数 dy
dx
1．已知 yln 1ex xsinx ，求 y( ) . 2
2． ye x y xsinx
3.已知三叶玫瑰线 a sin3 (a 0) ,
求 时 ，曲线上相应点处的切线方程。
4
a
o
x
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2
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二、综合举例
三、填空题
2.曲线 y ln x ex 在 x 1处的切线方程是 y=(1+e).x-1
4. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 3) , 则 f (2) -2
.
6. 设方程 x2 y2 x y 1 确定的隐函数 y y (x) ，
则 y (y-2x) / (2y-x) .
x r( sin)
8.
摆线参数方程为
y
r(1
cos)
，
则
dy dx
sin φ/ (1-cosφ)
.
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二、综合举例
四、解答题 1、求下列函数的导数
(4)
y
3
(x 1)(3x (x2 4)2
2)
解：
ln
y
1 3
ln
(x
1)(3x (x2 4)
2)
1 [ln(x 3
1)
ln(3x
D.
π 2
4. 设 y cos x2，则dy （ C ）.
A. 2xcos x2dx B. 2xcos x2dx C. 2xsin x2dx D. 2xsin x2dx
6.
d(ln x) dx
（
A ）.
2
2
A. x B. x x
1
C. 2x x
2 D. x
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三、课堂测试
三、填空题
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一、 基本概念与基本性质
第2章 小结、习题课
一、概念性质 二、综合举例 三、课堂测试 四、课后巩固
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一、 基本概念与基本性质
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数定义
y lim x0 x
基本公式 几何意义 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
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一、 基本概念与基本性质
(sec x) sec xtgx
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
( x ) x1
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc xctgx
(e x ) e x
e x , f (x)
a bx,
x 0; x 0.
解： f (x) 在 x 0可导 ,所以 f (x) 在 x 0 处一定连续，
则
f
(0)
lim
x0
f
(x)
lim
x0
f (x)
a 1
f (0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
ex 1
lim
1
x x0
f (0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
（4）(u)
v
uv v2
uv
(v
0).
（２）复合函数的求导法则
设 y f (u)，而u ( x)，则复合函数y f [( x)]
的导数为
dy dy du dx du dx
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一、 基本概念与基本性质
（３）隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导。
（４）对数法求导
A. 2ln2 B. 2ln x 1 C. 2ln x 2 D. 2ln x 3
7. 由方程 sin y xey 0 所确定的曲线在点 (0,0) 处的切线斜
率为（ B ）.
A. 1 B. 1
1
C. 2
D.
1 2
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二、综合举例
9. 已知y sin x ， 则y(10) （ B ）.
为 0.02
.
7.
设
y
ecos
x
，则
d2 y dx2
(sin2x-cosx)ecosx
.
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四、课后巩固
作业：
1、课后整理好上课已经讲解的复习题 2. 2、书面作业：p58 复习题 2 的第四大题 1、（1）（3）；2；3；
5；
lim
xx0
f
(x)
存在.
（√
）
6. y f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 y f (x)
在 x0 处可微. （ √ ）
8. 偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数. （ √ ）
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三、课堂测试
二、单项选择题
2.
设
f
(x)
x
sin
x
，则
f
π 2
（
B
）.
π
A. 1 B. 1 C. 2
1
设
f
(x)
在
x0
处可导，则
lim
x0
f
(x0
x) x
f (x0 )
-f /(x0) .
3. 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物
体的温度T 与时间t 的函数关系为T T(t) ，则该物体在时刻 t 的冷却
速度为 D T / d t .
5. 函 数 y x 1 在 点 x 0 处 、 当 x 0.04 时 的 微 分
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数。 （5）高阶导数
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 其求导方法是对变量进行一阶求导的结果再次求导。
（6）参数方程导数
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一、 基本概念与基本性质
1、微分的定义
微分与导数的联系公式
2、微分的运算法则 d(u v) du dv d(uv) vdu udv
1．导数的概念及其几何意义 （１）定义
（２）导数的几何意义
函数 y f (x) 在点x0 处的导数 f ( x0 )等于函数
所表示的曲线C 在相应点( x0 , y0 ) 处的切线斜率。
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一、 基本概念与基本性质
2、基本导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
7. 曲线 y f (x) 在点 (x0, f (x0 )) 处有切线，
则 f (x0 ) 一定存在. （ × ）
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二、综合举例
二、单项选择题
3.
已知 f (3) 2 ， lim f (3 h) f (3) （
h0
2h
D
）.
A. 3
2
B. 3 2
C. 1
D. 1
5. 若 y x2 ln x ，则 y （ D ）.
A. sin x B. sin x C. cos x D. cos x
解: y cos x sin( x )
y
cos(
x
) 2
2 sin( x
2
2 )
sin(
x
2
) 2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
y(n) sin( x n )
2
同理可得
(cos x)(n) cos( x n )
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(
cot
x)
1
1 x
2
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一、 基本概念与基本性质
3、导数的运算
（１）四则运算法则
设u u( x),v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv,
(1 bx) 1
lim
b
x0
x
f (x) 在 x 0处可导，
则 f(0) f(0), 即b 1
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三、课堂测试
学生课堂练习
复习题2
一、判断题（正确打“√”，错误打“”）
2. 若 f (x) 在 x0 处不连续，则 f (x0 ) 必不存在. （ √ ）
4.
若
f
(x0 ) 存在，则
2)
2
ln( x 2
4)]
1 y
y
1 3
1 x 1
3 3x
2
4x x2
4
y
1 3
y
1 x 1
3 3x
2
4x x2
4
=
1 3
3
(x 1)(3x 2) (x2 4)2
1 x 1
3 3x 2
4x x2 4
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二、综合举例
四、解答题
4、已知下列函数在 x 0处可导，求 a ， b 的值.
3、微分形式的不变性
d(Cu) Cdu
d
(u) v
vdu v2
udv
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二、综合举例
复习题 2
一、判断题（正确打“√”，错误打“”）
1. y x 在 x 0 处连续且可导. （ × ）
3.
(
ln
4
)
1 4
.
（× ）
5. 若 f (x) 在 x0 处不可导，则在 x0 处必不连续. （ × ）