【精心整理】平行线的性质知识点总结、例题解析
七年级初一下学期数学 专题02 平行线的性质(知识点串讲)(解析版)
专题02 平行线的性质知识网络重难突破知识点一 平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表述：（如图）a b Q P12∠∠∴=（两直线平行，同位角相等）（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 简单说成：两直线平行，内错角相等． 几何语言表述：（如图）a b Q P32∠∠∴=（两直线平行，内错角相等）（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表述：（如图）a b Q P34180∠∠︒∴+=（两直线平行，同旁内角互补）注意：①任意两条直线被第三条直线所截，构成的同位角、内错角不一定相等，构成的同旁内角也不一定互补； ②特别注意前提条件“两直线平行”，只有两直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．典例1（2018春•建邺区期末）如图，直线//a b ，三角板的直角顶点放在直线b 上，若165∠=︒，则2∠= ．【解答】解：已知直线//a b，3165∴∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），∠=︒（已知），490234180∠+∠+∠=︒（已知直线），∴∠=︒-︒-︒=︒．2180659025故答案为：25︒．典例2（2019春•鼓楼区期中）如图，一个人从A点出发沿北偏东30︒方向走到B点，若这个人再从B点沿南偏东15︒方向走到C点则ABC∠等于()A．15︒B．30︒C．45︒D．165︒【解答】解：由题意可知301545∠=︒+︒=︒ABC故选：C．典例3（2019春•秦淮区期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF 是折痕，若32EFB ∠=︒，则D FD ∠'的度数为 ．【解答】解：EF Q 是折痕，32EFB ∠=︒，//AC BD ''， 32C EF GEG ∴∠'=∠=︒， 64C EG ∴∠'=︒，//CE FD Q ，64D FD EGB ∴∠'=∠=︒．故答案为：64︒． 典例4（2019春•秦淮区期中）如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF ∠，35EGF ∠=︒，求EFG ∠的度数．【解答】解：//AB CD Q ，35EGF ∠=︒， 35AEG EGF ∴∠=∠=︒，180EFG AEF ∠+∠=︒． EG Q 平分AEF ∠，223570AEF AEG ∴∠=∠=⨯︒=︒， 180********EFG AEF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．知识点二 平行线的判定与性质综合两直线平行的条件与性质经常结合在一起考查，它们虽然与同位角、内错角和同旁内角都有关系，但是已知和结论不同：两直线平行的条件是由角的数量关系确定直线的位置关系； 两直线平行的性质是由直线的位置关系确定角的数量关系。
平行线的性质归纳总结
平行线的性质归纳总结平行线是几何学中一个重要的概念，它们具有一系列独特的性质和规律。
在本文中，我们将对平行线的性质进行归纳总结。
一、平行线的定义和符号表示平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
我们可以用符号"||" 表示平行线。
二、平行线的性质1. 垂直的平行线若一条直线与另外两条不同的直线相交，且与其中一条直线垂直，那么另外两条直线是平行的。
例如：若直线l与直线m相交，直线l与直线n垂直，那么直线m与直线n是平行的。
2. 平行线的性质1：同向性若两条平行线与同一直线相交，折角之间的关系保持不变。
例如：若直线l与直线m平行，直线m与直线n相交，则角A与角B是对应角，角A与角C是内错角。
3. 平行线的性质2：内角性质当两条平行线被一条截线所切分时，内错角互补，即它们的和等于180度。
180度。
4. 平行线的性质3：外角性质当两条平行线被一条截线所切分时，外错角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角A = 角C。
5. 平行线的性质4：同位角当两条平行线被一条截线所切分时，同位角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角A = 角D。
6. 平行线的性质5：内错角当两条平行线被一条截线所切分时，内错角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角B = 角C。
7. 平行线的性质6：同旁内角当两条平行线被一条截线所切分时，同旁内角互补，即它们的和等于180度。
例如：若直线l与直线m平行，直线n为截线，则角B + 角D = 180度。
8. 平行线的性质7：同旁外角当两条平行线被一条截线所切分时，同旁外角相等。
9. 平行线的性质8：错综对应角若两条平行线被多条截线所切分，那么对应角相等。
例如：若直线l与直线m平行，直线n和直线p均为截线，则角A = 角E，角B = 角F，角C = 角G。
10. 平行线的性质9：平行线之间的距离两条平行线之间的距离是恒定的，且等于它们之间任意一点到两条平行线的距离。
平行线的性质(基础)知识讲解
平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系•【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等•（简记为：两直线平行，同位角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.要点诠释：（1）"同位角相等、内错角相等”、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”.（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点二、平行线的性质定理的探究过程1. 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为a // b,所以/ 1 = Z 2 （两直线平行，同位角相等），又/ 3=/ 1 （对顶角相等）所以/ 2=/3.2. 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.所以/ 3=/ 2 （两直线平行，内错角相等）又/ 3+/仁180°（补角的定义），所以/ 2+/仁180° .要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性•要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系•平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1. 如图所示，如果AB// DF, DE// BC,且/ 1 = 65。
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳一、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的同位角相等。
2.内错角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的内错角相等。
3.同旁内角互补：两条平行线被一条横截线所截，形成的同旁内角互补，即角度和为180°。
二、性质的应用1.计算平行线的距离：利用平行线的性质，可以计算两条平行线之间的距离。
2.判断角度大小：利用平行线的性质，可以判断两条直线之间的角度大小。
3.解决实际问题：平行线的性质在实际生活中有广泛的应用，如建筑、机械制造等领域。
三、注意事项1.平行线的性质是在同一平面内，两条不相交的直线所具备的属性。
因此，确定两条线是否平行，首先需要确定它们是否在同一平面内。
2.平行线的性质需要通过横截线来体现，因此在证明或应用性质时，需要明确横截线的位置。
3.在实际应用中，需要根据具体情境判断两条线是否平行，并选择适当的方法来解决问题。
四、相关定理与概念1.平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
2.垂直线的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
五、易错点提醒1.学生在应用性质时，容易出现混淆，将判定定理和性质混淆使用。
需要明确的是，判定定理用于判断两条直线是否平行，而性质用于说明平行线之间的关系或推导其他结论。
2.对于同旁内角互补的理解，学生容易出现误区，认为同旁内角之和为90°而非180°。
需要强调的是，同旁内角互补是指它们的角度和为180°，不是90°。
3.在实际解决问题时，学生容易忽略题目中的限制条件或隐藏条件，导致解题错误。
需要提醒学生认真审题，注意细节，以免出现不必要的错误。
平行线的性质及平移(基础)知识讲解.doc
平行线的性质及平移（基础）知识讲解责编:某老师【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、图形的平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典型例题】类型一、平行线的性质1．（2015•泰安）如图，AB ∥CD ，∠1=58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于（ ）A ．122°B ．151°C ．116°D ．97°【思路点拨】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD ，再根据角平分线的定义求出∠GFD ，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【答案】B ．【解析】解：∵AB ∥CD ，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG 平分∠EFD ，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB ∥CD ，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知1234//,//l l l l ，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .【答案】48°，132°，48°类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】（2015•河北模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（）A．4 B．5 C．10 D．无法判断【答案】B．解：∵在五边形ABCDE中，AB∥DE，∴点E、点D到直线AB上的垂线段相等，即在△ABE与△ABD中，边AB上的高线相等，∴△ABE与△ABD是同底等高的两个三角形，S△ABE=S△ABD=5．类型三、图形的平移3．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA′后这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段．【答案与解析】解：如图所示，（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接AA′，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度，便可得到其对应点B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．4．(湖南益阳)如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．【答案】30°【解析】根据平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由△ABC经过平移得到△BED．则有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．举一反三：【变式】 (上海静安区一模)如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC()A．沿EC的方向移动DB长B．沿BD的方向移动BD长C．沿EC的方向移动CD长D．沿BD的方向移动DC长【答案】A类型四、平行的性质与判定综合应用5．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
【精心整理】平行线的性质知识点总结、例题解析
平行线的性质知识点总结、例题解析知识点1【平行线的性质】（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．∵AB∥CD∴∠2=∠3（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．∵AB∥CD∴∠2+∠4=180°（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等。
∵AB∥CD∴∠1=∠2【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。
【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°【例题2】如图，平行线AB。
CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）A、70B、80C、90D、110【答案】A【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______【答案】30°【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______【答案】35°【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°【答案】50 ，50 ；【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________【答案】10°【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）∵AE∥CF，∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，∴∠BAE=∠DCF．【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。
七年级下册数学平行线的判定及性质
（一）主要常识点：1.两直线平行的剖断办法办法一 两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行简称：同位角相等,两直线平行办法二 两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等,那么这两条直线平行简称：内错角相等,两直线平行办法三 两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,那么这两条直线平行简称：同旁内角互补,两直线平行 几何符号说话：∵∠3＝∠2∴ AB ∥CD （同位角相等,两直线平行）∵∠1＝∠2∴ AB ∥CD （内错角相等,两直线平行）∵∠4＋∠2＝180°∴ AB ∥CD （同旁内角互补,两直线平行）请同窗们留意书写的次序以及前因效果,平行线的剖断是由角相等,然后得出平行.平行线的剖断是写角相等,然后写平行.断定下列说法是否准确,假如不准确,请赐与纠正：⑴不订交的两条直线确定平行线.⑵在统一平面内不相重合的两条直线,假如它们不服行,那么这两条A B C DEF 1 2 3 4直线必定订交.⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行如图,依据下列前提,可以剖断哪两条直线平行,并解释剖断的依据是什么？,同位角相等;,内错角相等; 性质3：两直线平行,同旁内角互补. 几何符号说话：∵AB ∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行,内错角相等）∵AB ∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行,同位角相等）∵AB ∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行,同旁内角互补）3.两条平行线的距离如图,直线AB ∥CD,EF ⊥AB 于E,EF ⊥CD 于F,则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离.4.命题： ⑴命题的概念： 断定一件工作的语句,叫做命题.⑵命题的构成A B C DEF 1 2 3 4 A EG BC FH D每个命题都是题设.结论两部分构成.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“假如……,那么……”的情势.具有这种情势的命题中,用“假如”开端的部分是题设,用“那么”开端的部分是结论.有些命题,没有写成“假如……,那么……”的情势,题设和结论不显著.对于如许的命题,要经由剖析才干找出题设和结论,也可以将它们改写成“假如……,那么……”的情势.留意：命题的题设（前提）部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等情势表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等情势表述.5.平行线的性质与剖断①平行线的性质与剖断是互逆的关系同位角相等;内错角相等;两直线平行同旁内角互补.个中,由角的相等或互补（数目关系）的前提,得到两条直线平行（地位关系）这是平行线的剖断;由平行线（地位关系）得到有关角相等或互补（数目关系）的结论是平行线的性质.1＝∠B,求证：∠2＝∠C∥DF,DE∥BC,∠1＝65°,,原图形的外形和大小完整雷同.②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点③衔接各组对应点的线段平行且相等2.平移的特点：①经由平移之后的图形与本来的图形的对应线段平行（或在统一向线上）且相等,对应角相等,图形的外形与大小都没有产生变更. ②经由平移后,对应点所连的线段平行（或在统一向线上）且相等. 典范例题：如图,△ABC 经由平移之后成为△DEF,那么：⑴点A 的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿;⑵点B 的对应点是点＿＿＿＿＿＿.⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F;⑷线段AB 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿;⑸线段BC 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿;⑹∠A 的对应角是＿＿＿＿＿＿.⑺＿＿＿＿的对应角是∠F.（二）试题精选：1.如图(4),给出下列论断:①AD∥BC:②AB∥CD;③∠A=∠C.以上个中两个作为题设,另一个作为结论,用“假如……,那么……”情势,写出一个你以为准确的命题是___________.(4) (5) (6)2.如图(5),直线AB.CD.EF 订交于统一点O,并且∠BOC=23∠AOC,∠DOF=13∠AOD,那么∠FOC=______度. 3.如图(6),直线a.b 被C 所截,a⊥L 于M,b⊥L 于N,∠1=66°,则∠2=________.4. 如图,图中的内错角的对数是（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对A DB EC F5．假如两个角的双方分离平行,而个中一个角比另一个角的4倍少30 ,那么这两个角是（）A. 42138 、B. 都是10C. 42138 、或4210 、D. 以上都不合错误针对性演习：1．已知：如图,∠=∠∠=∠123，，B AC DE //,且B.C.D 在一条直线上.求证：AE BD //2．已知：如图,∠=∠CDA CBA ,DE等分∠CDA ,BF 等分∠CBA ,且∠=∠ADE AED .求证：DE FB // 3．已知：如图,∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ，. 求证：∠=∠E F A E 3 1 2 4 B C D D F C A E B A B 1 E F 2 C P D。
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平行线的性质知识点总结、例题解析
知识点1【平行线的性质】
（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等．
∵AB∥CD
∴∠2=∠3
（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补．
∵AB∥CD
∴∠2+∠4=180°
（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简称：两直线平行，内错角相等。
∵AB∥CD
∴∠1=∠2
【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。
【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°
【例题2】如图，平行线AB。
CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）
A、70
B、80
C、90
D、110
【答案】A
【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______
【答案】30°
【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______
【答案】35°
【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°
【答案】50 ，50 ；
【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________
【答案】10°
【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，
∴∠BAE=∠DCF．
【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。
【答案】解：∵AB∥CD，∠B=40°
∴∠BCE=180°-∠B=180°-40°=140°，
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN=70°，
∵CM⊥CN，
∴∠BCM=20°．
知识点2【判定与性质的区别及综合应用】
平行线的“判定”和“性质”有什么不同
⚠️平行线的判定：已知角的关系，推出平行的关系。
（推平行，用判定）
⚠️平行线的性质：已知平行关系，推导出角的关系。
（知平行，用性质）
【例题9】如图，已知：∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数。
【答案】解：∵∠1=∠2，∠2=∠EHD，
∴∠1=∠EHD，
∴AB∥CD；
∴∠B+∠D=180°，
∵∠D=50°，
∴∠B=180°﹣50°=130°．
【例题10】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E。
求证:AD∥BC
【答案】解：∵ AB//CD
∴∠BAE =∠CFE
又AE 平分∠BAD
∴∠BAE =∠EAD
∴∠CFE =∠EAD
又∵∠CFE= ∠E
∴∠EAD= ∠E
∴AD//BC
知识点3【平行线中的拐点问题】
1、平行线中常见的“拐点”模型
①点在两平行线之间（燕尾型、铅笔型）
②点在两平行线之外（锄头型、牛角型）
以上模型中的三个角（∠B、∠D、∠E）都有特殊的数量关系。
2、解题方法：做辅助线
辅助线：过拐点做已知直线的平行线，即逢“拐点”作平行。
一般而言，有几个“拐点”就需要做几条平行线。
①作辅助线（过拐点处作平行线）
②找特殊角（找相等的角或互补的角）。
③解决问题（找到数量关系）
⚠️在拐点处作平行线，可使问题转化，从而构造出一些相等的角或互补的角，使已知与未知
一目了然，达到解题的目的。
类型一：含一个拐点的平行线问题
【例题11】如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°，则∠3=________
【答案】100°
【例题12】如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点AB分别在直线l1、l2上，若∠1=65°，则∠2的度数是__________
【答案】25°
【例题13】如图所示，l1∥l2，AB⊥l1，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（）
A、60°
B、50°
C、40°
D、30°
【答案】C（过B点做l1的平行线）
【例题14】如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（）
A、20°
B、30°
C、 40° D。
、70°
【答案】B解析:如图，过C向右作CM∥AB
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CM
∵∠ABC=70°，∠CDE=140°
∴∠BCM=70°，∠DCM=180°-140°=40°
∴∠BCD=∠BCM-∠DCM=70°-40°=30°
【例题15】探究题
（1）小明遇到了下面的问题:如图AB∥CD，点P在AB，CD内部，探究∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并证明。
（2）如图2，若AC∥BD。
点P在AB、CD外部∠APC，∠A，∠C，的数量关系是否发生变化?请证明。
【答案】（1）∠APC=∠A+∠C
（2）变化，∠APC=∠C-∠A
类型二：含多个拐点的平行线问题
【例题16】如下图，直线m∥n，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=__________
【答案】30°
【例题17】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=_________
【答案】如图，∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°．
知识点4【命题、定理、证明】
1、命题：判断一件事情的语句叫做命题。
（1）一句话，只要对一件事情做出了判断，无论对错，都叫做命题。
如:相等的角是对顶角。
⚠️如果一个句子没有对某一件事情作出任何判那么它就不是命题。
如:画线段AB=CD。
⚠️命题是陈述句。
问句和感叹句都不是命题
（2）命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
通常命题可写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论。
（3）如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是正确的命题，叫做真命题；
如果题设成立，结论不一定成立，这样的命题是错误的命题，叫做假命题。
2、定理：真命题的一种，通常由公理（基本事实）推导得出。
我们学过的定理：补角的性质:同角或等角的补角相等；余角的性质:同角或等角的余角
相等；对顶角的性质：对顶角相等；垂线的性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；平行线的判定定理；平行线的性质定理。
3、证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫做证明。
（假命题只需要举一个反例即可说明）
【例题18】判断下列语句是否是命题. 如果是，请写出它的题设和结论.
（1）两直线平行，同旁内角互补。
（2）等角的补角相等。
（3）同位角相等。
（4）相等的角是对顶角。
（5）画一个60°的角.
【答案】
（1）如果两直线平行，那么同旁内角互补；题设：两直线平行，结论：同旁内角互补。
（2）两种改法①如果两个角相等，那么这两个角的补角相等。
题设：两个角相等，结论：这两个角的补角相等；②如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等。
题设：两个角是等角的补角，结论：这两个角相等。
（3）如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
题设：两个角是同位角，结论：这两个角相等。
（4）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
题设：两个角相等，结论：这两个角是对顶角。
【例题19】下列句子哪些是命题？如果是，指出是真命题还是假命题。
（1）猪有四只脚。
（2）内错角相等。
（3）画一条直线。
（4）四边形是正方形。
（5）你吃饭了吗？（6）相等的角是对顶角。
（7）对顶角相等。
【答案】命题：1、2、4、6、7，真命题：1、7，假命题：2、4、6.。