图乘法原理
结构力学课件 第6章 图乘法
三、注意事项： 注意事项：
1.若 Aω与 1.若 取负值
yc
在杆件的同侧，取正值；反之， 在杆件的同侧，取正值；反之，
2.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法 a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移； ）曲杆或 只能用积分法求位移； （ ） b）当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非 ） 分段为常数或单位弯矩图、 分段为常数或单位弯矩图 直线时， 直线时，应分段图乘再叠加 3.yc应取自直线图中。若两图均为直线图形，也可 应取自直线图中。若两图均为直线图形， 图的面积乘其形心所对应的M 用 M 图的面积乘其形心所对应的 P 图的竖标来计 算。
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l×h ∆ CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→ ← ) 12 EI
ω yc
为常数，求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数，求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 ∆ Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
F
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
M=1
M P图
∆ CV
300 × 6 2 = × ×6× 2 2 3 1 2 − × 6 × 45 × 3 = 6660 3
6
M A图
Fp=1
M C图
为常数， 例 5. 已知 EI 为常数，求 ∆Cy 。 q
A
l 2
C
B
l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
1
B A
二、图乘法原理
MM P 图乘法求位移的一般 ds 表达式为 ∫ EI 1 ∆=∑ Aω yC 1 = ∫ MM P ds EI EI
材料力学图乘法
材料力学图乘法材料力学图乘法是材料力学中的一种重要计算方法，它可以帮助工程师和科研人员快速准确地计算材料的性能参数，为材料的设计和应用提供重要参考。
在材料力学图乘法中，我们需要了解一些基本概念和计算步骤，下面将对材料力学图乘法进行详细介绍。
首先，我们需要了解什么是材料力学图。
材料力学图是用来描述材料在外力作用下的性能变化规律的图表，通常包括应力-应变曲线、拉伸性能曲线、压缩性能曲线等。
通过材料力学图，我们可以直观地了解材料在不同应力下的应变变化情况，从而评估材料的力学性能。
接下来，我们来介绍材料力学图乘法的计算步骤。
首先，我们需要准备两个材料的力学图，分别记为A和B。
然后，我们将这两个力学图进行叠加，即将A图的应力-应变曲线与B图的应力-应变曲线进行对应相乘。
这样，我们就可以得到一个新的力学图，用来描述两种材料叠加后的性能。
在进行材料力学图乘法计算时，我们需要注意一些细节。
首先，要保证A图和B图的坐标轴尺度一致，这样才能进行准确的叠加计算。
其次，要注意叠加计算的顺序，通常是先进行应力的叠加，然后再进行应变的叠加。
最后，要对叠加后的新力学图进行分析，得出叠加后材料的性能参数，如弹性模量、屈服强度、断裂强度等。
通过材料力学图乘法，我们可以更加深入地了解材料的性能特点。
例如，当我们需要设计一个复合材料结构时，可以通过材料力学图乘法来评估不同材料叠加后的性能，从而选择合适的材料组合方案。
另外，材料力学图乘法还可以帮助我们预测材料在复杂加载条件下的性能表现，为工程实践提供重要参考。
总之，材料力学图乘法是材料力学中一种重要的计算方法，它可以帮助我们快速准确地评估材料的性能参数，为材料的设计和应用提供重要参考。
通过深入学习和应用材料力学图乘法，我们可以更好地理解材料的性能特点，为工程实践和科研工作提供有力支持。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地掌握材料力学图乘法的基本原理和计算方法，为相关领域的工作提供帮助。
结构力学图乘法
二、 位移互等定理
在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的 与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载 FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。
即
δ12= δ21
FP1
12
FP 2
12
11
21
状态I
12
22
状态II
由功的互等定理可得： FP112 FP221
1 81 2
4
21
20
y2
( 4 3
12) 3
3
y3
1 2
(1 1 /
2)
3 4
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
1 EI
(64 1 2
4
20 3
32 3 ) 34
1 (32 80 8) 13.33 ( )
Ma2 16EI
21
21
/
F
a2 16EI
12
12
/M
a2 16EI
12 21
例2 验证位移互等定理。
FP1=5kN.m 1
EI 4m
2
1
Δ21
1m
FP2=3kN
Δ12
2
EI
4m
1m
3 5
11
1
解：
11
1 10
21
EI
2
5
4
1 3
3EI
12
1 EI
和量纲 (W FP1FP2 ) 上仍然保持相等。
材料力学-图乘法
实用文档
CL12TU35
解：
ql2
vB
1 EI
l
ql2
3 2
3l 4
2
ql4 8E I 实用文档
ql2
B
1 EI
l
ql2
3 2
1
2
ql3 顺时针
6EI
实用文档
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C 处的铅垂位移。
实用文档
CL12TU36
解：
vC
1 EI
l2 8
m
ml2 8E I 实用文档
max
1 2lql2 EI3 8
1 2
ql3
24E I
实用文档
ql2 / 8
例：试用图乘法求所示简支梁的最大 挠度和最大转角。
实用文档
CL12TU33
解：
vmaxE2I212l P 4l6l
Pl3 48E I 实用文档
Pl /4 l/4
max E1I21lP 4l 21
Pl2 16E I
实用文档
Pl /4
例：试用图乘法求所示简支梁C截面的 挠度和A、B截面的转角。
实用文档
CL12TU34
解：
vC
1 EI
l2 8
m
2
ml 2
16E I
l/4
实用文档
A
1 EI
ml 2
13
ml 顺时针
6EI 实用文档
B
1 EI
ml 2
23
ml 逆时针
3EI 实用文档
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端 B的挠度和转角。
CE 1IX 2 al2 3X2 a21q 1l232 1 0
图乘法
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
《图乘法力学》课件
与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。
图乘法原理
图乘法原理图乘法原理是指在数学中，两个图形的面积可以通过它们的长和宽的乘积来计算。
这个原理在几何学和代数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解图形的性质和相互之间的关系。
首先，让我们来看一个简单的例子，假设有一个长为3米，宽为4米的矩形，我们可以通过计算长和宽的乘积来得到它的面积，即3米×4米=12平方米。
这个例子就展示了图乘法原理的基本概念，即通过乘法来计算图形的面积。
在几何学中，图乘法原理可以帮助我们计算各种不规则图形的面积。
比如，一个不规则的四边形，我们可以将它分割成几个简单的图形，然后分别计算它们的面积，最后将它们加起来就得到了整个图形的面积。
这个方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们计算各种复杂图形的面积，从而更好地理解它们的特性。
在代数学中，图乘法原理也有着重要的应用。
比如，在矩阵乘法中，两个矩阵的乘积可以通过它们对应元素的乘积来计算。
这个过程实质上就是在应用图乘法原理，通过乘法来计算两个图形的相关性。
矩阵乘法在计算机图形学、工程学和物理学等领域都有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解复杂系统之间的关系。
除此之外，图乘法原理还可以帮助我们理解概率和统计学中的一些概念。
比如，在概率计算中，两个事件同时发生的概率可以通过它们各自发生的概率相乘来计算，这也是在应用图乘法原理。
通过这种方法，我们可以更好地理解概率事件之间的关系，从而更准确地进行概率计算。
总的来说，图乘法原理是数学中一个非常重要的概念，它在几何学、代数学、概率和统计学等领域都有着广泛的应用。
通过理解图乘法原理，我们可以更好地解决各种与图形、矩阵、概率事件相关的问题，从而提高我们的数学素养和解决问题的能力。
希望本文对读者能够有所帮助，谢谢阅读！。
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
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4.5 图乘法原理
1. 教学要求
正确理解图乘法和应用条件以及图乘法的含义，能够利用图乘法计算梁、刚架的位移，理解各种弯矩图的叠加并能够根据叠加进行图乘。
2. 教学内容
4.5.1 图乘法及应用条件
4.5.2 常见图形的面积和形心
4.5.3 图乘法的几个具体问题
4.5.4 图乘法应用举例
4.5.1 图乘法及应用条件
（1）问题的提出
梁和刚架位移的公式：
积分计算复杂，在已知荷载和虚设单位力作用下的弯矩图下，能否找到更好的方法。
（2）公式推导
图4.9为某直杆段AB 的两个弯矩图，其中Mi 图为直线，抗弯刚度EI 为常数：
图4.9
在多个杆件情况下，
式中：
A 是Mx 图的面积；
y0是在Mx 图形心C 对应处的Mi 图标距
（3）应用条件：
杆件应是等截面直杆；
两个图形中至少有一个是直线，标距y0 应取自直线图形中。
（4）正负号规定：
面积A 与标距y0 在同一侧时，两者乘积取正号；反之取负号。
4.5.2 常见图形的面积和形心
常见图形的形心和面积（图4.10）。
图4.10
以上图形的抛物线均为标准抛物线：抛物线的顶点处的切线都是与基线平行
4.5.3 应用图乘法时的几个具体问题
(1) 如果两个图形都是直线图形，标距可任取自其中一个图形（图4.11）。
图4.11
(2) 如果有一个图形为折线，则应分段考虑（图4.12）
图4.12
(3) 如果图形比较复杂，应根据弯矩图的叠加原理将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加图4.13
图4.13
（图4.13b中A1与y1的乘积为负值；图4.13c中抛物线为非标准曲线）。
4.5.4 图乘法应用举例
例5：试计算图4.14悬臂梁B 点和C点的竖向位移、B点的转角位移，EI 为常数。
图4.14
解: （1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图
（B 点和C点的竖向位移、B点的转角位移分别为图4.15a、b和c)。
图4.15
2）实际荷载弯矩图中计算面积，单位荷载弯矩图中计算竖标, 代入公式，图乘。
B 点竖向位移：
C 点竖向位移：
B 点转角位移：
例5：试求出图4.16刚架结点B 的水平位移和转角，EI 为常数
图4.16
解: （1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图（图4.17a、b、c）
图4.17
（2）代入公式，图乘。
B 点竖向位移：
B 点转角位移：。