经典正弦定理、余弦定理知识点总结及证明
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明(最新整理)
3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解
π
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
所对的边分别为 a，b，c.若 a＝2，B＝ ，c＝2 6
(3)余弦 (4)余弦
3，则 b＝________．
1
1
1
abc
4． (1) absinC bcsinA acsinB
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accosB＝22
2
2
2
2
22
1 . 3
则解此三角形的结果有( )
A．无解
B．一解
C．两解
D．一解或两解
c·sinB 5
解：由正弦定理知 sinC＝
＝ ，又由
b6
c>b>csinB 知，C 有两解．也可依已知条件，画
【自查自纠】
出△ABC，由图知有两解．故选 C.
abc 1．(1) ＝ ＝ ＝2R
sinA sinB sinC
时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定理，
必有一解．
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三 角 形 面 积 公 式 S△＝
＝
＝
____________＝
____________＝
____________．其中 R，r 分别为三角形外接圆、
内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则 A＝__________，
A ＝ __________， 从 而 sinA＝ 2
____________，
cosA＝
____________，
tanA＝
____________；
A
A
sin ＝__________，cos ＝__________，
正余弦定理重要知识点(经典)
正余弦定理重要知识点本张武林秘籍，乃武林之精髓所在，得此天书者，细细研习，来日方长，必成大器。
下星期一需要全部背住，不然你不知道我要出哪一招。
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B （R 是三角形外接圆半径）． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B3、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-4、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 5、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B 两边夹角的正弦值两边之积⨯⨯=∆21ABC S 高底⨯=∆21ABC S 6、①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角； ②如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；③如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。
（课本第6页右下角）例如a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若①222a b c +=，则90C =；②若222a b c +<，则．︒︒<<18090C ，C 为钝角③若222a b c +>，则︒︒<<900C ；C 为锐角7、在三角形中一些重要的知识点；1.2.π=++C B A ,)0(,,π，∈C B A3.4.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。
本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。
一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。
1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。
二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。
这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。
2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。
三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。
3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。
3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。
3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。
而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1 正弦定理和余弦定理知识点归纳： 一.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径） （1）变形公式 ：1.化边为角：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；2.化角为边：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3.::sin :sin :sin a b c A B C = 4.三角形的内切圆半径cb a S r ABC++=∆2二.余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；变形：（1）bc a c b A 2cos 222-+=；B ac c a b cos 2222-+=； ac b c a B 2cos 222-+=；C ab b a c cos 2222-+=. abc b a C 2cos 222-+=变形：（2）A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=B C A C A B cos sin sin 2sin sin sin 222-+= C B A B A C cos sin sin 2sin sin sin 222-+=三.三角形中的边角关系和性质：（1）π=++C B A2222π=++C B A 在Rt △中，222c b a =+，C=A+B=900.（2）-tanC B)+(A tan -cosC, B)+cos(A sinC,=B)+sin(A ==（3）2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos CB A =+ 2c o t 2t a nC B A =+ （4）tanA+tanB+tanC= tanA ·tanB ·tanC（5）b a >⇔B A >⇔B A sin sin >.⇔cosA<cosB （6）21sin 21==C ab S ×底×高Rabc 4=.)(2c b a r ++=（三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R ）（7）ma+nb=kc ⇔msinA+nsinB=ksinC （8）ma=nb ⇔ msinA=nsinB(9)若A 、B 、C 成等差数列，则B 060=.(10)若三角形中三内角成等差数列，三边成等比数列⇔三角形为正三角形（11）余弦定理是勾股定理的推广：判断C ∠为锐角222c b a >+⇔，C ∠为直角222c b a =+⇔， C ∠为钝角222c b a <+⇔．课堂训练 一、选择题1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于……………………....( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为…………..( ) A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于………………………..( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为…..( ) A ．(2，＋∞) ] B ．(-∞，0) C ．(-21，0)D ．(21，＋∞)5． 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30° * 6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++等于….( )A ．33B ．3392C ．338D ．239二、填空题7．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 8．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．9．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________． 三、解答题11．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．12．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．13．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA b a b a -=+-．14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．同步提升 一、选择题：1、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a 等于( )A ．2B ．6C ．2 或6D ．272、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，则∠C 等于 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°3、已知在△ABC 中:，sinA: sinB: sinC ＝3: 5 :7，那么这个三角形的最大角是 ( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4、在△ABC 中，若c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则C 等于 ( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60° 二、填空题：5、已知△ABC 中,A ＝60°,最大边和最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个正实数根,那么BC 边长______．6、△ABC 中，a 、b 分别是角A 和角B 所对的边，a ＝3,b ＝1,B 为30°，则角A 的值为______.7、在△ABC 中，cos A ＝135,sin B ＝53,则cos C 的值为______. 8、在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 22C ，则△ABC 为______.9、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，外接圆半径等于_______． 三、解答题：10、在ABC ∆中，,15,8,2==+=+ac c a B C A 求b 的值。
正弦定理余弦定理知识点
正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ； 2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3．正弦定理：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）； 正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角babaabaB1BACACA BCB2a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解.5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 7 . 三角形面积公式课堂互动知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bca cb b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形. 巩固练习1．在∆ABC 中，若2222sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状．2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2tanA,试判断这个三角形的形状. 3．已知ABC ∆中，有cos 2cos sin cos 2cos sin A C BA B C+=+，判断三角形形状.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒. 巩固练习1．已知在ABC ∆中，,6,45=︒=∠BC AB A 在ABC ∆中，213,2tan tan +=-=c b bb c B A3．在ABC ∆中，已知A 、B 、C 成等差数列，且sin 求三边a 、b 、c ．4．在ABC ∆中，已知B C A 2=+，tan tan ⋅C A 又知顶点C 的对边C 上的高等于34知识点3 例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2 角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 式求出A+B+C ．【答案】 A B C 、、为锐角 ∴<0°A tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++ =所以A+B+C=πsin sin sin sin cos 22222ααββα-++-221336-+=(cos cos sin sin )αβαβ --=-25936cos()αβ∴-=cos()αβ5972巩固练习1．在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C=3π,求sinB 的值. 2．在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 22-=-，求∠A 的大小及b Bcsin 的值． 3．在ABC ∆中，若4,5==b a且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积． 例题4 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A cb a sin )sin(222-=-.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次. 【答案】证法一:由正弦定理得C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -=-=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=CB AC 2sin )sin(sin -=C B A sin )sin(-.证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,则222c b a -=22cos 2cA bc c -=1-c b 2∙cosA,又由正弦定理得c b =C Bsin sin ,∴222c b a -=1-C B sin sin 2∙cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三:C B A sin )sin(-=CAB B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得cbC B c a C A ==sin sin ,sin sin ,∴CB A sin )sin(-=cAb B a cos cos -,又由余弦定理得CB A sin )sin(-=cbc a c b b ac b c a a 22222222-+⋅--+⋅=22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -.巩固练习1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．【考题再现】1．（04年全国Ⅲ）在ABC ∆中，3AB =，BC =4AC =，则边AC 上的高（A （B （C ）32（D ）2．（05年湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.3.（ 春季北京）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积. 4. （05年江苏卷）ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（A ）33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （B ）36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （C ）6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （D ）6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭5．（06年湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 6. （ 安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形【模拟训练】1．（ 北京市朝阳区二模题）在∆ABC 中，cos2cos2B A >是A B >的（） （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．（04年南京市二模题）在∆ABC 中，A ，B ，C 为三角形的三个内角，且A B C <<，4sin 5B =4cos(2)5A C +=-，求cos2A 的值3．（04年华南师大附中）在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若a =3b c +=，求b 和c 的值4．（05年南通市基地学校联考） 在∆ABC 中，边AB为最长边，且sin sin A B ⋅=，则cos cos A B ⋅的最大值是5.（06年湖北八校第二次联考）已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.6.(06年黄岗市荆州市高三年级模拟)已知ABC ∆的三个内角为A 、B 、C 所对的三边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为222()S a b c =--，则tan2A=__________． 教考链接在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换．运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时注意三角形面积公式ah S 21=，C ab S sin 21=，还要注意三角形内角和π=++C B A 的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角形问题的求解能力．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，R 为∆ABC 外接圆的半径，将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，sin sin 0B C ≠，sin sin cos cos B C B C ∴=. 即cos()0B C +=,90B C ∴+=，90A =. 故∆ABC 为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B b B C -+-=，由余弦定理可得22222222222222a b c a c b b c b c ab ac ⎛⎫⎛⎫+-+-+-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a c b a b c bc ac ab+-+-=⋅⋅，即22b c +22222222()()4a b c a c b a⎡⎤+-++-⎣⎦= 也即222b c a +=，故∆ABC 为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得AAB B B A cos sin sin cos sin sin 22=,∵sinAsinB ≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B 或2A=1800-2B,即A=B 或A+B=900.∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A a b b a cos cosB 22=,即Aba cos cosB =,又由余弦定理得bcac b b a 22ac b -c a 222222-+=+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,∴a=b,或a 2+b 2=c 2, ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 3．解：由已知得例题2 巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABC AC 或13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C 解法2：令AC=b ，则由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b 1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或︒=∠120C ︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B . 2【答案】由已知有bc B A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理：B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+ BCB A B A sin sin 2sin cos )sin(=+0cos sin 2sin =-A C C由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A 由213+=cb，可设k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得 k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理Cc A a sin sin =得 226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <则C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C3．【答案】由已知，得2C A B +=，又由︒=++180C B A ︒=⇒60B 故4160cos sin sin 2=︒=C A ①又由B c a S ABC sin 2134⋅⋅==∆164334=⇒=⇒ac ac ② 故64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==⇒Cc A a由3460sin 8sin 8sin sin =︒⋅=⋅==B AB a b 则21260cos cos 222=-+=︒=ac b c a B即964848)(3)(222=+=+⇒=-+c a ac b c a 64=+⇒c a ③ 把③与②联立，得)26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a4．【答案】由已知B C A 2=+，及︒=+︒=⇒︒=++120,60180C A B C B A由CA C A C A tan tan 1tan tan )tan(-+=+及32tan tan ,3)tan(+=⋅-=+C A C A得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得⎩⎨⎧+==32tan 1tan C A 或⎩⎨⎧=+=1tan 32tan C A ⎩⎨⎧︒=︒=⇒7545C A 或⎩⎨⎧︒=︒=4575C A 若︒=︒=75,45C A ，则860sin 34=︒=a ，6445sin 34=︒=b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=︒︒==A C a c若︒=︒=45,75C A ，则︒=60sin 34a ︒==75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -==B C b c 例题3 巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin 2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2cos 23B=2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin2B =43.∴cos 2B =2sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2∙43∙413=839. 2．【答案】（I ） a b c ，，成等比数列 ∴=b ac 2又a c ac bc 22-=- ∴+-=b c a bc 222 在∆ABC 中，由余弦定理得cos A b c a bc bc bc =+-==2222212∴∠=︒A 60 （II ）在∆ABC 中，由正弦定理得sin sin B b Aa= ∴=︒=︒=b B c b ca sin sin sin 2606032． 3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+= cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+= 由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒= 3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c 3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc 故1694893689cos 2=-=-=c c A7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD = 则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理)sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD ADC B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A 74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC例题4 巩固练习1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=， 所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2sin cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，tan 2tan A B ⇒=.所以tan 2tan A B =（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=， 所以3tan()4A B +=-，即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--， 将tan 2tan A B =代入上式并整理得 22tan 4tan 10B B --=.解得tan B =tan B =tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD.则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=AB=3，得CD= 2AB边上的高等于2考题再现1．【答案】由余弦定理，得1cos 2A =，60A ︒=，所以AC边上的高sin 2BD AB A =⋅=选B.2．【答案】解法1： 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A = 由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得 即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法2： 由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0、π<c ，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求.再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B .3．【答案】解法1：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22，∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）.4．【答案】在ABC ∆内，由正弦定理得3sin sin sin sin 3AC AB BC B C A π====∴(),3AC B AB C A B B ππ⎛⎫===-+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ∴周长为AB AC BC ++sin sin 33B B π⎤⎛⎫=+++ ⎪⎥⎝⎭⎦3sin 32B B ⎫=+⎪⎪⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 5．【答案】由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A.6．【答案】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形．故选D ．模拟训练1．【答案】2222cos 2cos 212sin 12sin sin sin B A B A B A >⇔->-⇔<⇔sin sin A B A B >⇔> 2．【答案】∵A B C <<，A B C π++=，∴0,022B AC ππ<<<+<，由4sin 5B =得3cos 5B =，∴4sin()5A C +=，()3cos 5A C +=- 又由4cos(2)5A C +=-得3sin(2)5A C += ∴()33447sin sin 2()555525A A C A C ⎛⎫⎛⎫=+--=⨯---⨯=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭2527cos 212sin 625A A =-=. 3．【答案】由题意得[]2721cos()2cos 12B C A -+-+= ()2721cos 2cos 12A θ+-+= ∴1cos 2A = 03A π<<2221cos 22b c a A bc +-==()223b c a bc +-=将3a b c =+=代入得2,bc =由3b c +=及2bc =，得1,2b c ==或2,1b c ==.4．【答案】因为cos cos sin sin cos()1A B A B A B ⋅+⋅=-≤，易得cos cos A B ⋅的最大值为24+. 5．【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C6．【答案】1sin 2S bc A =，222()S a b c =--，2222cos a b c bc A =+-， ∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，∴22sin 11cos 2tan 4sin 22sin cos 22A A A A A A -===。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.1.正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.(2)正弦定理的其他形式：① a = 2RsinA , b =, csinO；③ a : b ： c= _______________________________2.余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等——王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即a2=, b2=,c?=.若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .3.解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：②sin A=2R' sinB=A为锐角A为钝角或直角图形关系式a= bsinA bsinA<a< b a为a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.4.三角形中的常用公式或变式⑴三角形面积公式& =:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,A5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinCcosA = , tanA =<(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+sin2B— 2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解⑶余弦⑷余弦1 1 1 abc 14. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.兀B+ C (2)代(B+ Q 2— Fsin(B+ C) — cos(B+ C)2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab—tan(B+ C) co岩si号«C tan 2在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）A.无解B. 一解C.两解D. 一解或两解解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由b 6c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画出△ ABC,由图知有两解.故选 C.（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0<A<TT,所以sinA= 1, 所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A解：sinB+ cosB= ^2,,•寸2sin B+4 =寸2,即sin B+4 = 1._____ __ _兀兀_兀乂.. B€ （0,冗）... B+； = ；, B=~.4 2 4a b asinBsinA= b根据正弦正理、皿=sinB，可侍12'. a<b, . . Av B... A=g.故填&类型一正弦定理的应用△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A— C= 90 , a+ c=寸2b,求C.解：由a+ c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO 2sinB乂由丁A— C= 90 , B= 180 — (A+C),故cosC + sinC = sinA + sinC=戒sin(A + Q =戒sin(90 + 2Q =匝sin2(45 + Q.,•哀sin(45 + C) = 2 戒sin(45 + C)cos(45 + C),* 一1即cos(45 + C) = 2.乂 .。
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝a b ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________． 解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba ＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sinC sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BD sin A， ∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3， ∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2， 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.。
正弦定理和余弦定理笔记
正弦定理和余弦定理笔记一、正弦定理。
（一）定理内容。
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即(a)/(sin A)=(b)/(sinB)=(c)/(sin C) = 2R（R为三角形外接圆半径）。
（二）证明方法。
1. 外接圆法。
- 设ABC的外接圆半径为R。
- 连接圆心O与三角形的三个顶点A、B、C。
- 对于∠ A，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知∠ A=(1)/(2)∠BOC。
- 由正弦定义，在BOC中，a = 2Rsin A，同理可得b = 2Rsin B，c = 2Rsin C，所以(a)/(sin A)=(b)/(sin B)=(c)/(sin C)=2R。
2. 向量法（略提）- 利用向量的数量积公式→AB·→AC=|→AB||→AC|cos A，通过一系列向量运算也可证明正弦定理，但相对外接圆法较复杂。
（三）应用。
1. 已知两角和一边，求其他边和角。
- 例如，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 10。
- 根据三角形内角和C=180^∘-A - B = 105^∘。
- 由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得b=(asin B)/(sin A)。
- 先求出sin 45^∘=(√(2))/(2)，sin 30^∘=(1)/(2)，则b=(10×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 10√(2)。
- 再根据(a)/(sin A)=(c)/(sin C)求出c的值，sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(6)+√(2))/(4)，c=(asin C)/(sin A)=(10×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)} = 5(√(6)+√(2))。
2. 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有一解、两解或无解情况）- 例如，已知a = 10，b = 20，A = 30^∘。
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正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a ＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝ .若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ .若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A ＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a，A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin Ab sin A<a<ba≥b a>b解的个数①②③④解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sin A 2＝__________，cos A 2＝__________， tan A2＝________.tan A ＋tan B ＋tan C ＝__________.(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B ＝____________⇔2sin B 2＝cos A －C 2⇔2cos A ＋C 2＝cos A －C 2⇔tanA 2tan C 2＝13.【自查自纠】1．(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R(2)①2R sin B 2R sin C ②b 2Rc 2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2 (2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c22ab> <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cosB sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R12(a ＋b ＋c )r (2)π－(B ＋C )π2－B ＋C 2sin(B ＋C ) －cos(B ＋C ) －tan(B ＋C ) cosB ＋C 2sinB ＋C 21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B .(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cosπ6＝4，b ＝2.故填2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1.又∵B ∈(0，π)，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.根据正弦定理a sin A＝b sin B，可得sin A ＝a sin B b ＝12. ∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝π6.故填π6.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )． ∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )，即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)证明：对b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，即sin B⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C－sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴B －C ＝π2.(2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C＝π2，∴B ＝5π8，C ＝π8. ∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sinπ8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sinπ4＝12. 类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3C．1D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cosπ4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. 类型四 判断三角形的形状 在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc ＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定。