正弦定理知识点总结与复习
15高中数学“正弦定理”知识点全解析
高中数学“正弦定理”知识点全解析一、引言正弦定理是平面几何与三角函数相结合的一个重要定理，它揭示了三角形边长与角度之间的内在关系。
本文将详细解析“正弦定理”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、正弦定理的定义1.定义：对于任意三角形ABC，设其三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为三角形外接圆的半径）。
这一比例关系被称为正弦定理。
三、正弦定理的证明正弦定理的证明方法有多种，如利用三角形的面积公式、利用向量的数量积等。
其中，通过三角形的面积公式进行证明是一种较为直观的方法。
具体步骤为：首先表示出三角形ABC的面积S，然后利用三角形的面积公式S = 1/2ab·sinC，通过等面积法可以证明正弦定理。
四、正弦定理的应用1.求解三角形的边长：当已知三角形的两个角和对应的两边时，可以利用正弦定理求解第三边。
这是正弦定理最常见的应用之一。
2.求解三角形的角度：当已知三角形的两边和其中一边的对角时，可以利用正弦定理求解三角形的其他角度。
3.判断三角形的形状：通过正弦定理可以判断三角形是否为等边三角形或等腰三角形。
例如，当a/sinA = b/sinB = c/sinC中的比例为1时，三角形为等边三角形。
4.解决与三角形相关的问题：正弦定理在解决与三角形相关的问题中具有广泛的应用，如测量问题、航海问题、建筑设计等。
结合余弦定理，可以更方便地解决一些复杂的几何问题。
五、应用举例1.测量问题：在测量中，经常需要利用正弦定理来求解不可直接测量的距离或角度。
例如，在测量山高时，可以通过测量山脚下的角度和已知的距离，利用正弦定理计算出山的高度。
2.航海问题：在航海中，正弦定理被用于计算船只的航向和航程。
通过测量两地的经纬度差和它们之间的距离，可以利用正弦定理计算出船只的航向和航程。
3.建筑设计：在建筑设计中，正弦定理可以帮助建筑师计算建筑物的角度和边长，以确保建筑物的稳定性和美观性。
正弦定理知识点总结图
正弦定理知识点总结图1. 正弦定理的基本概念正弦定理是指在一个三角形中，三条边和三角形内角之间的关系。
它的数学表达形式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别为三角形的三条边的长度，A、B、C 分别表示三角形的三个内角，sinA、sinB、sinC 分别表示三角形的三个内角的正弦值。
2. 正弦定理的应用条件正弦定理适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，都可以使用正弦定理来求解。
正弦定理不仅适用于平面几何中的三角形，还可以应用于空间几何中的四面体以及其他几何图形的相关问题。
3. 正弦定理的推导为了更好地理解正弦定理，我们可以通过几何方法对其进行推导。
下面我将用一个实例来演示正弦定理的推导过程。
假设有一个三角形ABC，其三条边分别为 a、b、c，对应的内角分别为 A、B、C。
现在我们要推导出正弦定理，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC。
首先，我们将三角形ABC的边a与边b所对的角分别为C和A，利用正弦函数的定义可以得到以下等式：sinA = b/csinC = a/b将上面两个等式联立起来，可以得到以下关系：sinA/sinC = b/c同理，我们可以利用三角形ABC的边b与边c所对的角B和A，再利用正弦函数的定义可以得到以下等式：sinA = c/bsinB = a/c将上面两个等式联立起来，可以得到以下关系：sinA/sinB = c/a由于 sinA/sinC = b/c，sinA/sinB = c/a，两式取等号可以得到：b/c = c/a进一步化简得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC通过上述推导可以看出，正弦定理的推导是基于三角形的边长和内角之间的关系，通过正弦函数的定义可以得到正弦定理的表达式。
4. 正弦定理的应用举例在实际问题中，我们可以通过正弦定理来求解三角形相关的问题。
下面我将通过几个实例来具体展示正弦定理的应用。
正弦定理知识点总结与复习.pdf
两解，则 x 的取值范围是 ( )
Ａ . 2＜x＜ 2 2
Ｂ． 2＜ｘ 2 2
Ｃ． x＞2
Ｄ． x＜ 2
3．△ABC 中，若 sinA ：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则 m 的取值范围是 （ ）
Ａ．（０，＋∞）
Ｂ．（ 1 ，＋∞） 2
Ｃ．（１，＋∞）
Ｄ．（２，＋∞）
二、填空题
４．在△ ABC 中，若 sinA＝２ cosBsinC,则△ ABC 的形状是 ______
∴ B＝60°，C＝90°，c＝ 4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
(2)由
a sin
A＝sinb
B得
2
sin
B＝
bsin a
A＝
2sin 45 2
＝°
2× 2
2
＝ 12，
∵a>b，∴ A>B，∴ B 必为锐角．
∴B＝ 30°，
∴C＝180°－(A＋B)＝ 180°－(45 °＋30°)＝105°，
asin B 5 ∴b＝ sin A ＝
2·sin 15 ° sin 30 °
＝5( 3－1)
一、 选择题
1.1.1 正弦定理 同步练习
1．在△ ABC 中，已知 a 8, B 600 ,C 750 ，则 b 等于（ ）
Ａ． 4 2
Ｂ． 4 3
Ｃ． 4 6
Ｄ． 32 3
2．在△ ABC 中，已知 a xcm,b 2cm, B 450 ，如果利用正弦定理解三角形有
在△ ABC ，已知 A ＝60°， B＝45°， c＝2，解三角形 [ 解题过程 ] 在△ ABC 中， C＝180°－ (A＋B) ＝ 180°－ (60 °＋45°)＝75°.
正弦定理知识点及题型总结
6.4.3.2正弦定理一、概念1.正弦定理：设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，外接圆的半径为R ，则R CcB b A a 2sin sin sin === 证明：2.正弦定理的变形（1）A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= （2）=A sin R a 2；=B sin R b 2；=C sin Rc 2 （3）c b a C B A ::sin :sin :sin =（4）CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=== （5）C A c B A b a sin sin sin sin ==；C B c A B a b sin sin sin sin ==；ACa B Cbc sin sin sin sin == 3.三角形的面积公式：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则ABC ∆的面积c b a ABC ch bh ah S 212121===∆（其中c b a h h h ,,分别为边c b a ,,上的高）B ca A bcC ab sin 21sin 21sin 21=== C BA cBC A b A C B a sin 2sin sin sin 2sin sin sin 2sin sin 222=== C B A R sin sin sin 22=（其中R 是ABC ∆的外接圆半径）R abc 4= )(21c b a r ++=（其中r 是ABC ∆的内切圆半径） 22)()(21AC AB AC AB ⋅-= ))()((c p b p a p p ---=（海伦公式）（其中p 为半周长2cb a p ++=） 特别地，若设点),(),,(2211y x B y x A ，则122121y x y x S OAB -=∆ 4.三角形解的个数ABC ∆中，已知b a ,和A 时，三角形的解得情况如下：A 为锐角 A 为钝角图形关系式 A b a sin <A b a sin =b a A b <<sinb a ≥b a ≥解的个数 无解一解两解一解一解例1.证明角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角内A 或其外角的平分线，则CDBDAC AB =题型一 已知两角和一边，解三角形例2.在ABC ∆中，已知015=A ，045=B ，33+=c ，解这个三角形小结：已知三角形的两角及一边，解三角形的步骤： ①先由内角和定理求出第三个角； ②再用正弦定理另外两边.跟踪训练：在ABC ∆中，已知030=A ，0105=C ，10=a ，解这个三角形题型二 已知两边和其中一边的对角，解三角形 例2.在ABC ∆中，已知030=B ，2=b ，2=c ，解这个三角形小结：（1）已知三角形的两边及一边所对的角，解三角形的步骤： 解法1：①先由正弦定理求另外一边所对的角（注意大边对大角）； ②再用内角和定理求第三个角； ③由正弦定理求第三边.解法2：①由已知角的余弦定理得到第三边的方程，解出第三边（注意大角对大边） ②再用余弦定理或正弦定理求出第二个角； ③用内角和定理求第三个角. 跟踪训练：在ABC ∆中，已知3=a ，2=b ，045=B ，解这个三角形题型三 判断三角形解得个数例3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若3=a ，4=b ，030=A ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练1.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若2=b ，4=c ，060=B ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若18=a ，20=b ，0150=A ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练 3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，根据下列条件，判断三角形解得情况，其中正确的有①8=a ，16=b ，030=A ，有一个解； ②18=b ，20=c ，060=B ，有两个解 ③5=a ，2=c ，090=A ，无解； ④30=a ，25=b ，0150=A ，有一个解；题型四 判断三角形的形状例4.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若22tan tan ba B A =，试判断三角形的形状小结：根据已知条件判断三角形形状，通常有两种思路：（1）化边为角：根据正弦定理把已知条件中的边角混合关系化为角的关系，再根据三角恒等变换化简，进而确定三角形的形状（2）化角为边：根据正弦定理和余弦定理把已知条件中的边角混合关系化为边的关系，再根据代数运算化简，进而确定三角形的形状跟踪训练1.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A a B c C b sin cos cos =+，试判断三角形的形状小结：三角形的射影定理：ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-跟踪训练2.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A b a B a c cos )2(cos -=-，试判断三角形的形状总结：三角形中常见的结论：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则 （1）三角形的内角和定理：π=++C B A （2）三角形的大边对大角，大角对大边（3）锐角三角形的任何一个内角的正弦都大于其余角的余弦（4）平行四边形的性质：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和 （5）中线长定理：设ABC ∆的边c b a ,,上的中线分别为CF BE AD ,,，则222)(221a c b AD -+=，222)(221b c a BE -+=，222)(221c b a CF -+= （6）角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角A 或其外角的平分线，则CD BDAC AB =（7）（1）=+)sin(B A ，=+)cos(B A ，=+)tan(B A ，=+2sinB A ，=+2cos B A ，=+2tan BA （8）B A B A =⇔-)sin(⇔ABC ∆为等腰三角形 （9）B A B A =⇔=2sin 2sin 或2π=+B A ⇔ABC ∆为等腰或直角三角形（10）B A b a B A >⇔>⇔>sin sin B A cos cos <⇔（11）三角形中的射影定理：B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-（12）ABC Rt ∆的内切圆半径22c b a c b a S r ABC -+=++=∆，旁切圆半径2'c b a r ++=（13）1tan tan >B A ⇔ABC ∆为锐角三角形；1tan tan =B A ⇒ABC ∆为直角三角形； 1tan tan <B A ⇔ABC ∆为锐角三角形；（14）若2sin sin sin 222<++C B A ，则ABC ∆为钝角三角形 若2sin sin sin 222=++C B A ，则ABC ∆为直角三角形 若2sin sin sin 222>++C B A ，则ABC ∆为锐角三角形（15）若c b a ,,成等差数列，则①C B A sin ,sin ,sin 也成等差数列；②30π≤<B（16）若c b a ,,成等比数列，则30π≤<B（17）ABC ∆中的恒等式：①1cos cos cos 2sin 2sin 2sin 4-++==C B A CB A R r ②2cos 2cos 2cos 4sin sin sin cB AC B A =++③2cos 2sin 2sin 4sin sin sin cB AC B A =-+④C B A C B A sin sin sin 42sin 2sin 2sin =++ ⑤1cos cos cos 42cos 2cos 2cos --=++C B A C B A ⑥C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++AC C B B A ⑧2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑨1cot cot cot cot cot cot =++A C C B B A。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1．掌握正弦定理、 余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题．2．能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题．主要考察相关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转变的数学思想．解三角形经常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一同求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1． 正弦定理(1) 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即 ．其 中 R 是三角形外接圆的半径．(2) 正弦定理的其余形式：， c① a ＝ R A ， b ＝2 sin＝；a②sin A ＝2R ， sin B ＝，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________.2． 余弦定理——王彦文 青铜峡一中(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝，b 2＝，c 2＝.，即为勾若令 C ＝°，则 c 2＝90股定理．(2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA＝ ， cosB ＝ ，cosC ＝ .若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a 2＋ b 2 ______c 2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a 2＋b 2______c 2. 故由 a 2 ＋b 2 与 c 2 值的大小比较，能够判断 C 为锐角、钝角或直角．(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦能够写成 sin 2A＝ sin 2B ＋ sin 2C － 2sin Bsin CcosA ，近似地，sin 2B ＝ ____________ ； sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件 A ＋ B ＋C ＝π.3． 解斜三角形的种类(1) 已知三角形的随意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2) 已知三角形的随意两边与此中一边的对 角 ， 用 ____________ 定 理 ， 可 能 有___________________．如在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的状况如表：A 为钝角A 为锐角或直角图 形关 a ＝ b A aa ≥b a b 系 b A sin <b> 式 sin <解 的 ① ② ③ ④ 个 数(3) 已知三边，用 ____________定理．有1解时，只有一解．(4) 已知两边及夹角，用 ____________定理，必有一解．4． 三角形中的常用公式或变式(1) 三角形面积公式 S △＝ ＝＝ ____________ ＝ ____________ ＝____________．此中 R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．，(2) A ＋ B ＋ C ＝π，则 A ＝__________A＝ __________ ， 从 而sin A ＝2____________，cosA ＝ ____________ ， tan A ＝____________；A Asin 2＝ __________， cos 2＝__________，Atan 2 ＝ ________.tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝__________.(3) 若三角形三边 a ，b ，c 成等差数列，则b ＝____________? 2sin B ＝____________?2B A －C A ＋ C A － C A2sin 2＝ cos2 ? 2cos 2 ＝ cos 2 ? tan 2C 1tan 2＝3.【自查自纠】． a bc R1(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ 2R BRC ② bc(2) ①2 si2 siRR2 2③ s in A ∶sin B ∶sin C2． (1) b 2＋c 2－2bccosA c 2＋a 2－ 2cacosB a 2 ＋b 2－2abcosC a 2＋ b 2b 2 ＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2 ＋b 2－c 2>(2)2ca2ab2bc<(3) 互化sin 2C ＋sin 2A －2sin Csin AcosBsin 2A ＋ sin 2B －2sin Asin BcosC3．(1) 正弦 (2) 正弦 一解、两解或无解①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3) 余弦 (4) 余弦．11 1 abc(1) ab sin C bc s inA ac s in B2 22R412( a ＋b ＋c) rπ B ＋C(2) π－ ( B ＋ C)2 － 2sin( B ＋C－cos( B ＋C) )－ tan( B ＋ C cos B ＋CsinB ＋ C) 2 21 B ＋Ctan 2A B C (3)a ＋ csin A ＋ sin C tan tan tan2在△ABC中， A B 是A B 的()>sin >sinA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选 C.在△ABC中，已知 b＝， c＝，B＝°，则61030解此三角形的结果有 ()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知 sin C＝c·sin B5b＝6，又由c>b>csin B知， C有两解．也可依已知条件，画出△ ABC，由图知有两解．应选 C.( 2013·陕西 ) 设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若b cos C＋ c cos B＝a sin A,则△ ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立C＋解：由已知和正弦定理可得BC B ＝A· A ，即sin cos＝sin sin sin sin( B ＋C cos A)sinA A，亦即sinA＝A因为Aπ，sin sin sin.0< <π所以 sin A＝1，所以 A＝ 2.所以三角形为直角三角形．应选.B( 2012·陕西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 所对的π边分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝6，c＝23，则 b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－ 2accosB＝π222 ＋( 23)－2×2×2 3×cos 6＝ 4， b＝ 2.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________．解：∵ sin B＋ cosB＝2，ππ∴2sin B＋4＝ 2，即 sin B＋4＝1.πππ又∵ B∈(0 ，π ) ，∴ B＋4＝2， B＝4 .a b依据正弦定理sin A＝sin B，可得sin A＝asin B1＝.b2ππ∵a＜b，∴ A＜B. ∴ A＝6 . 故填6 .种类一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A－ C＝90°， a＋ c＝ 2b，求 C.解：由 a＋c＝ b 及正弦定理可得sinA2＋s in C＝ 2sin B.又因为 A－ C＝90°， B＝180°－ ( A＋ C) ，故 cosC＋ sin C＝ sin A＋sin C＝ 2sin( A＋ C) ＝2sin(90 °＋ 2C) ＝ 2sin2(45 °＋ C) ．∴2 sin(45° ＋C＝2 2 sin(45° ＋)C)cos(45 °＋ C) ，41即 cos(45 °＋ C) ＝2.又∵ 0°＜ C＜90°，∴ 45°＋ C＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转变为角角关系，这是解本题的重点．( 2012·江西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c已知 A＝π，bsinπ＋C －.44c sinπ＋B ＝a4.π(1)求证： B－C＝2；(2)若 a＝ 2，求△ ABC的面积．解：(1)证明：对bπ＋C－sin4csin π＋ B＝ a应用正弦定理得4B π＋ C －sinCπ＋B ＝sinA，sin sin4sin422即sin B2 sin C＋2 cosC－sinC222，整理得 B C2 sin B＋2 cosB ＝2sin cos －s in CcosB＝ 1，即 sin ( B－C)＝1.3ππ因为 B，C∈ 0，4，∴ B－C＝2 .3π，又由 (1)知 B－C(2) ∵ B＋ C＝π－ A＝4π＝2，5ππ∴B＝8，C＝8.∵a＝2，A＝πb＝，∴由正弦定理知4a Bπa Cπsin5sinsin A＝ 2sin8，c＝sin A＝2sin 8 .115ππ∴S△ABC＝2bcsin A＝2×2sin8×2sin 8×225ππππ2＝ 2sin8 sin 8＝ 2cos8 sin8＝2π 1sin 4＝2.种类二 余弦定理的应用1 3 3∴S △ABC ＝2acsin B ＝ 4 .【评析】①依据所给等式的构造特色利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的 重点．②娴熟运用余弦定理及其推论，同时还 要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用．在△ ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，cosBb且cosC ＝－ 2a ＋c .(1) 求 B 的大小；(2) 若 b ＝ 13，a ＋c ＝4，求△ ABC 的面积．a 2＋ c 2－b 2， 解：(1) 由余弦定理知， cosB ＝ac2cosC ＝ a 2＋b 2－ c 2cosB b 2ab ，将上式代入cos C ＝－ a ＋c2 得a 2 ＋c 2－b 2 abb2＝－ a ＋c ， ac·a 2＋b 2－c22整理得 a 2＋c 2－ b 2＝－ ac.a 2＋c 2－b 2 －ac 1 ∴cosB ＝ ac ＝ ac ＝－ .22 22∵B 为三角形的内角，∴ B ＝ 3π.(2) 将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝23π 代入 b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ，得 13＝42－ 2ac －2accos 2 3π，解得 ac ＝3.若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边 a ，b ，c 知足( a ＋b) 2－ c 2＝4，且 C ＝60°，则 ab 的值为 ( )4A. 3B ．8－4 3C ． 12D.3解：由余弦定理得 c 2＝ a 2 ＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，代入 ( a ＋ b) 2－ c 2 ＝4 中得 ( a ＋ b) 24－ ( a 2＋b 2－ab) ＝ 4，即 3ab ＝ 4，∴ ab ＝3. 应选A.6种类三正、余弦定理的综合应用以用余弦定理化边后用不等式求最值．( 2013·全国新课标Ⅱ ) △ ABC的内角A、B、 C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csin B.(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC面积的最大值．解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A＝sin BcosC＋ sin Csin B. ①又 A＝π－ ( B＋ C) ，故sin A ＝ sin( B ＋ C) ＝ sin BcosC ＋cosBsin C. ②由①，②和 C∈(0 ，π ) 得 sin B＝ cosB.π又 B∈(0 ，π ) ，所以 B＝4 .12(2) △ ABC的面积 S＝2acsin B＝4 ac.由已知及余弦定理得 4 ＝ a2＋ c2－π2accos 4 .又 a2＋ c2≥2ac，故 ac≤4，2－ 2当且仅当 a＝c 时，等号成立．所以△ ABC面积的最大值为2＋1.【评析】(1) 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧； (2) 已知边及其对角求三角形面积最值是高考取考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可( 2013·山东 ) 设△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 a＋ c＝ 6， b＝ 2， cosB7＝9.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin( A－ B) 的值．解： (1) 由余弦定理 b2＝a2＋ c2－2accosB，得 b2＝( a＋c) 2－2ac(1 ＋cosB) ，又 a＋ c ＝6，b＝2，7cosB＝9，所以 ac＝9，解得 a＝3，c＝3.242(2) 在△ ABC中， sin B＝ 1－cos B＝9 ，asin B 22由正弦定理得 sin A＝b＝ 3 .因为 a＝c，所以 A 为锐角，21所以 cosA＝1－sin A＝3.所以 sin( A－B) ＝sin AcosB－ cosAsin B＝10 227.种类四 判断三角形的形状后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的 关系；或将角都化成边，而后进行代数恒等变 形，可一题多解，多角度思虑问题，进而达到 对知识的娴熟掌握．在三角形 ABC 中，若 tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形 ABC 的形状．a 2 sin 2A解法一：由正弦定理，得 b 2＝sin 2B ， tan A sin 2 A所以 tan B ＝sin 2 B ，A Bsin 2AA ＝ Bsin cos2 ，即sin2所以cosAsin B ＝sinB sin2 . 所以 A ＝ B ，或2 A ＋B ＝π，所以 A ＝B2 22π或 A ＋ B ＝ 2 ，进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．a2sin 2A解法二：由正弦定理，得 b 2＝ sin 2B ，所以tan A sin 2A cosB sin Atan B ＝sin 2B，所以 cosA ＝ sin B，再由正、余弦a 2＋ c 2 －b 2aca a 2－ b2c 2－定理，得 2 22 2 )( b ＋ c －a ＝ b ，化简得 (2bca 2－b 2 )＝ ，即 a 2＝ b 2 或c 2＝ a 2 ＋b 2. 进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再联合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然( 2012·上海 ) 在 △ABC 中 ， 若 sin 2A ＋sin 2B 2C ，则△ ABC 的形状是 ( )<sin A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立解：在△ ABC 中，∵ sin 2A ＋sin 2 B<sin 2C ，∴由正弦定理知 a 2 ＋b 2<c 2. ∴cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠ C 为钝角，△ ABC 为钝角三角形． 应选 C.种类五 解三角形应用举例某港口 O 要将一件重要物件用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30°且与该港口相距20 n mile的A 处，并以 30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假定该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过 t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假定小艇的最高航行速度只好达到 30 n mile/h ，试设计航行方案 ( 即确立航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明原因．解法一：(1) 设相遇时小艇航行的距离为 S n mile ，则S＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－ 30°）＝t2－t ＋400＝900600900 t －123＋300，1103故当 t ＝3时，S min＝103，此时 v＝1＝3 303.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则v2 t 2＝400＋t 2－900 2·20·30t ·cos(90 °－ 30°) ，2600400故 v ＝ 900－t＋t2.v≤，∴6004002－＋≤，即∵0<30900t t900t3－t≤0，22解得 t ≥3. 又 t ＝3时，v＝30. 故 v＝ 30 时，2t 获得最小值，且最小值等于3.此时，在△ OAB中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案以下：航行方向为北偏东30°，航行速度为 30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1) 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在 Rt△OAC中， OC＝20cos30°＝ 10 3，AC＝20sin30 °＝ 10.又 AC＝30t ，OC＝vt ，101103此时，轮船航行时间 t ＝30＝3，v＝1＝330 3.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假定 v＝ 30 时，小艇能以最短时间与轮船在 D处相遇，此时 AD＝DO＝30t .又∠ OAD＝60°，所以 AD＝ DO＝OA＝20，2解得 t ＝3.据此可设计航行方案以下：航行方向为北偏东 30°，航行速度的大小为30 n mile/h. 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明以下：如图，由 (1) 得 OC＝103， AC＝10，故 OC>AC，且关于线段 AC上随意点 P，有OP≥ OC>AC.而小艇的最高航行速度只好达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不行能在 A，C 之间 ( 包括 C) 的随意地点相遇．设∠ COD＝θ (0 °<θ<90°) ，则在 Rt△COD 中，103CD＝103tan θ， OD＝cosθ .因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的10＋10 3tan θ和 t ＝103，时间分别为 t ＝30vcosθ10＋10 3tan θ10 3所以30＝vcosθ.153由此可得，v＝sin （θ＋30°）.3又 v≤30，故 sin( θ＋30°) ≥2，进而，30°≤ θ<90°.因为θ＝30°时， tan θ获得最小值，且3最小值为3 .10＋103tan θ于是，当θ＝30°时，t ＝302获得最小值，且最小值为3.【评析】①这是一道相关解三角形的实质应用题，解题的重点是把实质问题抽象成纯数学识题，依据题目供给的信息，找出三角形中的数目关系，而后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实质问题中，有宽泛的应用．在物理学中，相关向量的计算也要用到解三角形的方法．最近几年的高考取我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热门问题之一．③不论是什么种类的三角应用问题，解决的重点都是充足理解题意，将问题中的语言表达弄理解，画出帮助剖析问题的草图，再将其归纳为属于哪种可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简易．10( 2012·武汉 5月模拟 ) 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，恰好用2 小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin α的值．解： (1)依题意，∠BAC＝°，A B＝，12012 AC＝× ＝2，在△ ABC中，由余弦定理知 BC 1022022∠ BAC＝2＋2－＝AB＋ AC－ AB·AC·12202cos2×12×20×cos120°＝ 784，BC＝ 28.所以渔船甲的速度为 v＝28＝14( 海里 / 小2时) ．(2)在△ ABC中， AB＝12，∠ BAC＝120°，BC＝ 28，AB ∠BCA＝α，由正弦定理得sinα＝BC12＝28，进而 sin α＝，即sin120 °sin ∠ BAC sin α12sin120 °3328＝14.1．已知两边及此中一边的对角解三角形时，要注意解的状况，提防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转变为角角关系 ( 注意应用 A＋ B＋ C＝π 这个结论 ) 或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形( 如因式分解、配方等 ) 求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，不然有可能遗漏一种形状．3．要熟记一些常有结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与引诱公式联合产生的结论：sin A＝ sin( BA B＋C ＋C) ，cosA＝－ cos( B＋ C) ，sin 2＝cos 2，sin2 A＝－ sin2( B＋C) ，cos2A＝ cos2( B＋C) 等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已11知量与求解量尽量集中到一个三角形中，成立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)查验：查验上述所求得的解能否切合实际意义，进而得出实质问题的解．5．正、余弦定理是应用极为宽泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，进而使三角与几何产生联系，为求与三角形相关的量( 如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 ) 供给了理论依照，也是判断三角形形状、证明三角形中相关等式的重要依照．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意领会此中蕴涵的函数与方程思想、等价转变思想及分类议论思想．12。
正弦定理知识点归纳总结
正弦定理知识点归纳总结正弦定理的表述如下：在任意三角形ABC中，三条边a，b和c分别对应相应的顶点A，B和C。
设∠A，∠B和∠C分别为角A，角B和角C。
则正弦定理可以表述为：$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$正弦定理的推导可以通过三角形的面积公式来进行。
三角形ABC的面积S可以表示为底边b与高h的乘积的一半，即S=1/2*b*h。
其中，h是底边b对应的高。
又因为底边b对应的高h可以用正弦来表示，即$h = b*sinC$。
将此代入三角形的面积公式中，得到S=1/2*b*c*sinA。
同样的，可以得到$S=1/2*c*a*sinB$和$S=1/2*a*b*sinC$。
将这三个等式合并，并化简，可以得到正弦定理的表述。
正弦定理虽然是在任意三角形中成立的，但是在直角三角形中有一种特殊情况，即90度角的正弦值为1。
因此，在直角三角形中，正弦定理可以简化为更为简洁的形式：$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = c$。
这与直角三角形中的正弦函数的定义是一致的。
正弦定理的应用非常广泛，可以用来解决各种与三角形相关的问题。
下面将介绍一些正弦定理的常见应用：1. 解三角形的边长和角度。
通过已知三角形的一边和一个角，可以利用正弦定理求出其他两条边的长度。
同样的，已知三角形的两边和一个角，也可以利用正弦定理求出第三条边的长度。
此外，还可以通过已知三角形的两个角和一条边，利用正弦定理求出另外两条边的长度。
2. 解决高空物体的高度。
例如，一个人站在高楼上往下看到一座塔，通过观察人的角度和高楼的高度，可以利用正弦定理求出塔的高度。
这种方法可以应用在工程测量、地质勘探等领域。
3. 计算角度。
知道三角形的边长，可以通过正弦定理求出三角形的角度。
这在航海、导航等领域中具有重要的应用价值。
4. 求解几何问题。
正弦定理可以用来求解一些与三角形相关的几何问题。
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝a b ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________． 解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba ＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sinC sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BD sin A， ∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3， ∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2， 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.。
正弦定理主要知识点总结
正弦定理主要知识点总结一、正弦定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以得到正弦定理的表述如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。
二、正弦定理的证明正弦定理的证明可以使用三角形的面积公式来进行推导。
我们知道，三角形的面积可以用边长和对应的角度的正弦函数来表示：S = 1/2 * a * b * sinCS = 1/2 * b * c * sinAS = 1/2 * c * a * sinB由于三角形的面积是固定的，所以我们可以得到以下等式：a *b * sinC = b *c * sinA = c * a * sinB进而推导得到正弦定理的表述：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、正弦定理的应用1. 求解三角形的边长正弦定理可以帮助我们求解三角形中的边长。
当我们已知三角形的一个角度和对边，以及另外两个角度之一时，我们就可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它边长。
2. 求解三角形的角度正弦定理也可以帮助我们求解三角形中的角度。
当我们已知三角形的边长和对应的两个角度时，我们可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它两个角度。
3. 解决实际问题正弦定理在解决实际问题中也有着广泛的应用。
比如在测量不便的情况下，可以利用正弦定理来计算物体的高度、距离等。
四、正弦定理的注意事项在使用正弦定理时，需要注意以下几点：1. 三角形的三个边长必须是正数，角度必须在0到180度之间。
2. 必须注意边长和角度之间的对应关系，确保使用正确的对应关系来求解未知量。
3. 在实际问题中，需要根据具体情况来选择使用正弦定理还是余弦定理。
五、正弦定理与余弦定理的比较正弦定理和余弦定理都是三角形中常用的定理，它们之间的区别在于求解的对象不同。
正弦定理适用于已知三角形的一个角和对边，以及另外两个角度之一的情况下求解三角形的其它边长或角度；而余弦定理适用于已知三角形的三个边长或两个边长和夹角的情况下求解三角形的其它边长或角度。
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在△ABC ，已知A ＝60°，B ＝45°，c ＝2，解三角形[解题过程] 在△ABC 中，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(60°＋45°)＝75°. sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝2(3＋1)4＝6＋24根据正弦定理：a ＝c sin A sin C ＝2sin 60°sin 75°＝2×322(3＋1)4＝6(3－1)＝32－6，b ＝c sin B sin C ＝2sin 45°sin 75°＝2×222(3＋1)4＝2(3－1)．[题后感悟] 已知两角和一边(如A ，B ，c )，求其他角与边的步骤是：(1)C ＝180°－(A ＋B )； (2)用正弦定理，a ＝c sin A sin C ； (3)用正弦定理，b ＝c sin Bsin C . ,思路点拨： 已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况，∵a>b ，∴A>B ，B 为锐角，故有一解，先由正弦定理求角B ， 然后由内角和定理求C ，然后再由正弦定理求边 c.1．(1)已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10.求b .(2)在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，求c . 解析： (1)∵A ＋B ＋C ＝180，∴C ＝105°. 又∵sin 105°＝sin(45°＋60°) ＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°·sin 60° ＝2＋64，∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 30°sin 105°＝10×122＋64＝5(6－2)．(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝30°. 又∵b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin C sin B ＝22×sin 30°sin 45°＝22×1222＝2.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，解三角形．2．本例中条件“A ＝60°”改为“B ＝45°”，其它条件不变，解三角形[解题过程] 由a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝b ·sin A a ＝42×sin 60°43＝22.∵a >b ，∴A >B ，而A ＝60°，∴B 为锐角，∴B ＝45°. C ＝180°－(A ＋B )＝75° 由a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝43·sin 75°sin 60°＝2(6＋2) [题后感悟] 已知两边和其中一边对角(如a ，b ，A )不能唯一确定三角形形状，解这类问题将出现无解、一解、两解三种情况，要注意判别，其方法是：由三角形中大边对大角可知，若a ≥b ，则A ≥B ，从而B 为锐角，有一解，若a <b ，则A <B ，此时由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ，①当sin B >1，无解；②当sin B ＝1，一解；③当sin B <1，两解． , 解析： 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝43sin 45°42＝32∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝75° 由正弦定理c sin C ＝bsin B得在△ABC 中，已知a2tan B ＝b2tan A ，试判断△ABC 的形状． 思路点拨 ：观察已知条件，是一个边角等式，可以应用正弦定 理把边化为角，再利用三角公式求解c ＝b sin C sin B ＝42·sin 75°sin 45°＝2(6＋2)． 当A ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝15° 由正弦定理c sin C ＝b sin B得c ＝b sin C sin B ＝42·sin 15°sin 45°＝2(6－2) ∴A ＝60°，C ＝75°，c ＝2(6＋2) 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝2(6－2)[规范作答] 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A .2分 由正弦定理的推广得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC的外接圆半径)，∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin Acos A，6分即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .8分 又A 、B 为三角形的内角，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.10分∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.12分[题后感悟] (1)确定三角形的形状主要有两条途径： ①化边为角；②化角为边． (2)确定三角形形状的思想方法：先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能.3．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝acos C ，试判断△ABC 的形状． 解析： ∵b ＝acos C ，由正弦定理得：sin B ＝sin A ·sin C. ∵B ＝π－(A ＋C)， ∴sin(A ＋C)＝sin A ·cos C.即sin Acos C ＋cos Asin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos Asin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形： (1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(2)a ＝3，b ＝1，A ＝60°； (3)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.[解题过程] 在△ABC 中， (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c ＝b sin B ＝3sin 60°＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°， c ＝b sin C sin B ＝3sin 30°sin 120°＝1. (2)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝sin 60°3＝12.∵b <a ，∴B <A ＝60°，∴B ＝30°. ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(60°＋30°)＝90°. ∴c ＝b sin B ＝112＝2.(3)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1. 因为在△ABC 中，A <180°－B ＝60°.所以，A 不存在，即无解．[题后感悟] (1)正弦函数y ＝sin x 的值域是[－1,1]，据此可判断是否有解．(2)在△ABC 中，大边对大角，小边对小角，据此可判断解的个数.4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a ＝23，b ＝6，A ＝30°. (2)a ＝2，b ＝2，A ＝45°. (3)a ＝5，b ＝3，B ＝120°. (4)a ＝3，b ＝4，A ＝60°. 解析： (1)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°， 又∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴本题有两解． 由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， ∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. (2)由a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 45°2＝2×222＝12， ∵a >b ，∴A >B ，∴B 必为锐角． ∴B ＝30°， ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1，∴B ＝30°，C ＝105°，c ＝3＋1.(3)∵a ＝5，b ＝3，a >b .∴A >B 又∵B ＝120°∴不存在角A ，故此题无解． (4)∵a <b ，b sin A ＝4·sin 60°＝2 3 又∵a <b sin A ∴无解．1．正弦定理的常见变形设R 为三角形外接圆半径，公式可扩展为a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，即当一内角为90°时，所对边为外接圆的直径，灵活运用正弦定理，还需知道它的几个变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A ； (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .◎在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，求B 、C 及b .【错解】 根据正弦定理得： sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22 ∴C ＝45° ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(30°＋45°)＝105° ∴b ＝a ·sin B sin A ＝52·sin 105°sin 30°＝5(3＋1) 【错因】 上述解法由sin C ＝22，求角C 时漏掉了一个解， ∵在△ABC 中，c ＝10>a ＝52， ∴C >A ，∴C ＝45°或135°. 【正解】 根据正弦定理得： sin C ＝c sin A a ＝10sin 30°52＝22 ∵a <c ，∴A <C ，∴C ＝45°或135°. (1)当C ＝45°时，B ＝180°－(30°＋45°)＝105° ∴b ＝a sin B sin A ＝52·sin 105°sin 30°＝5(3＋1) (2)当C ＝135°时，B ＝180°－(135°＋30°)＝15° ∴b ＝a sin B sin A ＝52·sin 15°sin 30° ＝5(3－1)1.1.1 正弦定理 同步练习一、选择题1．在△ABC 中，已知0075,60,8===C B a ，则b 等于（ ） Ａ．24 Ｂ．34 Ｃ．64 Ｄ．332 2．在△ABC 中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( )Ａ.222＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜ 3．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ）Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（21，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）二、填空题４．在△ABC 中，若sinA ＝２cosBsinC,则△ABC 的形状是______ ___５．在△ABC 中，已知31cos ,23==C a ，Ｓ△ABC ＝34，则=b _________三、解答题６．已知方程0cos )cos (2=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且b a ,为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状7．在△ABC 中，3,2π=-=+C A b c a ，求sinB 的值。