二项式定理考点大全(详解)
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：()nn n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数kn C )3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=叫做二项式系数。
对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()nb a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()nb a +二、二项展开式的通项：kk n k nk b a C T -+=1 二项展开式的通项kk n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项kk n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=的理解：（1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n（3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1．nnn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 （ ）A ．n4 B 。
第03讲二项式定理(精讲)(原卷版)_1
第03讲 二项式定理目录第一部分：知识点必背 .............................................. 1 第二部分：高考真题回归 ............................................. 2 第三部分：高频考点一遍过 ........................................... 3 高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数） ...................... 3 高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题 ................ 3 高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题 .................... 4 高频考点四：二项式系数和与系数和 ................................ 5 高频考点五：二项展开式的逆应用 .................................. 6 高频考点六：二项式系数最大问题 .................................. 6 高频考点七：系数最大问题 ........................................ 7 第四部分：数学文化题 . (9)第一部分：知识点必背知识点一：二项式定理 （1）二项式定理一般地，对于每个k （0,1,2,k n =），()n a b +的展开式中n k k a b -共有k n C 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：nn n r r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(++++++=+--- （n N *∈）.0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：()02131*2n n n n n C C C C n N -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=∈第二部分：高考真题回归第三部分：高频考点一遍过高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数）高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知实数x不为零，则26+-的展开式中x x(1)(1)2x项的系数为.高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题高频考点四：二项式系数和与系数和1010a x ++，则22101359)()a a a a a -++++++的值为 2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设()220230122023a a x a x a x x +++⋅⋅⋅+∈R .32023a a ++的值.22023a a +++.云南昆明·高二校考阶段练习）高频考点五：二项展开式的逆应用典型例题例题1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-=（ ）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-=，则n 的值为 ．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知12n n a -=，解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2024n n n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习）化简：设n +∈N ，则()()011C 2C 21C 21C knn n k n kn n n n n ---++-++-= ．2．（2023春·上海浦东新·高二校考期中）0122C 2C 2C 2C n n n n n n ++++= .3．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）0122332022202220232023202320232023202320232023C 2C 2C 2C 2C 2C -+-++-的值是 .高频考点六：二项式系数最大问题高频考点七：系数最大问题典型例题例题1．（2023·全国·高二随堂练习）已知()1nx +的展开式中第5，6，7项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．(2)求展开式中项的系数最大的项.第四部分：数学文化题1．（2023春·吉林延边·高二延边二中校考期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，()mod5a b ≡=，则b 的值可以是（ ）A ．2004B ．2005C ．2025D ．20262．（多选）（2023·全国·高二专题练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）A ．在第10行中第5个数最大B ．22222348C C C C 84++++=C ．第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D ．在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为12n -3．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于 .（用一个组合数作答）4．（2023春·高二单元测试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则813年以后是年.。
考点35二项式定理（讲解）（解析版）
考点35二项式定理【思维导图】一项式定虔（・♦姻咯♦…'"，_・C5kn）云术1敷的组杞Y6・7v丸，smr政用-iJE^irWWft^C,皿M砖为负；⑴WWKir: 7^・CV*①■58210为0二项式景致升一州.心眼u.ci・5.y・r ■NM1卜3・末等蹈第牌个一#果■［棚等・・。
i:'g”号'N.Ji犬的，■人＜1.怎u*m，・忡而的一沔式，■■人力分ent金*可由：衣啄。
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+。
（山），土+席（心）8土+...+徭（1+打土人人通10的展开式中，X2的系数即为(1+4°的F(X(l+x)10展开式的通项为7；引=0'1，令10-r=2,故r=8,所以J的系数为篇=45.故选：C.4.若曲线)，=3ln(x+l)在x=l处的切线斜率为。
二项式定理
第3讲二项式定理[必备知识]考点1二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．2．二项展开式的通项T k＋1＝C k n a n－k b k为展开式的第k＋1项．3．二项式系数二项展开式中各项的系数C k n(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．考点2二项式系数的性质[必会结论]二项展开式形式上的特点： (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，…一直到C n －1n ，C nn .二、小题快练1．[2014·湖南高考]⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 2．[课本改编]若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 3．[课本改编]若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．1204．[2015·广东高考]在(x －1)4的展开式中，x 的系数为______． 5．[2015·天津高考]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为______ 考向二项展开式中特定项或系数问题例1(1)[2015·陕西高考]二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( )A ．7B ．6C ．5D ．4(2)[2015·重庆高考]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是______(用数字作答)．52考向 二项式系数的和或各项系数的和例2 (1)[2015·湖北高考]已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29(2)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝____.364二项式定理中赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.考向项的系数的最值问题例3 已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中前三项x 的系数为等差数列．(1)求二项式系数最大项； (2)求展开式中系数最大的项．1．求二项式系数最大项(1)如果n 是偶数，那么中间一项(第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项)的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，那么中间两项(第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大．2．求展开式系数最大项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得.【变式训练3】 [2016·宜昌高三测试]已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．命题角度1 几个多项式积的展开式问题例4 [2015·课标全国卷Ⅱ](a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.3命题角度2 与整除有关的问题例5 [2016·潍坊模拟]设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12命题角度3 求近似值的问题例6 求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) [解] 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C28·0.022＋C 38·0.023≈1.172. 命题角度4 二项式定理与函数的交汇问题 例7 [2013·陕西高考]设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15【变式训练4】[2016·昆明调研]⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．3核心规律1.二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数时，要根据通项公式讨论对k 的限制.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以，在解题时，根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的重要方法.题型技法系列24——拆分法破解三项展开式中特定项(系数)问题 [2015·课标全国卷Ⅰ](x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60(1)[2016·皖南八校联考](x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是_____．－5120(2)[2016·河北名校联考](x 2－x ＋2)5的展开式中x 3的系数为_______．－2001.[2016·沈阳模拟]⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5.则x 等于( )A.17 B ．－17C ．7D ．－72．[2015·大连模拟](2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．[2016·唐山模拟]⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 8二项展开式中的常数项为( )A ．56B ．－56C ．112D ．－1124．[2014·四川高考]在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．105．若对于任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2014·湖北高考]若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.34 C ．1 D.242．[2016·唐山模拟]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( )A ．－8B ．－12C ．－20D ．203．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3 4．[2016·洛阳二测](x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为( )A ．－100B ．－15C ．35D ．220 5．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．286．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b .若a ＋2b ＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．27．[2015·四川高考]在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________(用数字填写答案)．40-8．[2016·安徽江南十校联考]二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________.19．[2014·山东高考]若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．211．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 23的项．12．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数．[B 级 知能提升](时间：20分钟)1．[2016·洛阳统考]设n 为正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．2 2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 3．[2016·江西八校联考]若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是________．125。
二项式定理(讲解部分)
考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题
例2 (1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二 项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 ( )
A.-960 B.960
C.1 120 D.1 680
(2)若
x2
-
1 x
n
的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
的展开式的常
数项是60,则a的值为 ( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
(2)(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为30,则a等
于( )
A. 1 B. 1 C.1 D.2
3
2
解题导引 (1)常数项是指x0项的系数,展开式的通项是什么?化简通项时
用到什么运算,指数幂的运算性质有哪些?根式如何化成指数幂形式?结合
令10-2r=6,解得r=2, 所以x6项的系数为C120,
所以(x2-a)·
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为C130
-a
C120=30,
解得a=2.故选D.
答案 (1)D (2)D
方法总结 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项 后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数 等),解出r,代回通项即可.
指数幂运算化通项为最简形式再求解.
(2)的展开式中x6项的来源有几个?结合多项式乘法法则,可分析出来有2个
来源,分别是哪两个?写出
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。
n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。
n4n34C。
13D.n431例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
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二项式定理高考知识点总结1．求103)1(xx -展开式中的常数项2．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49,求常数a 的值３.求84)21(xx +展开式中系数最大的项;4.若n xx )21(-+的展开式的常数项为－20．求n .５求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数?6.已知n xx )21(4⋅+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列.(1)求展开式中所有的x 的有理项； （2)求展开式中系数最大的项.7. 已知二项式n xx )2(2-,(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：１，(1）求展开式中各项的系数和（2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项8.求6998.0的近似值,使误差小于001.0；9．求证：15151-能被7整除。
１0．求证:３2n ＋2-８n-9能被64整除.11 求9192除以100的余数.1２ 求证：C n 0＋21C n 1+31C n 2+…+11+n C n n ＝11+n (２n+1－1）.1３ 计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-； 14.求值：１5、已知数列{a n }（n 为正整数)是首项为a 1,公比为q 的等比数列。
（1)求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-(2）由(1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （３)设q ≠1,S n 是等比数列｛ａn }的前ｎ项和,求:.)1(134231201nn n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+-16．规定!)1()1(m m x x x C mx +--=,其中x ∈R ，m 是正整数,且10=x C ，这是组合数mn C （n 、m 是正整数,且m ≤n )的一种推广. (1) 求315-C 的值；(2） 设x >０，当x 为何值时，213)(x xC C 取得最小值？(3) 组合数的两个性质;①m n n m n C C -=． ②mn m n m n C C C 11+-=+．ﻩ是否都能推广到mx C (ｘ∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由．１解：r r rr rr r xC xx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-=令0655=-r ，即6=r 。
所以常数项是210)1(6106=-C2 解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r r r r r r r r r x a C x x a C T令3923=-r ，即8=r 依题意,得492)1(894889=⋅⋅---a C ,解得1-=a 3 解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kk k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴K K K K 1922211 解得43≤≤k ， ∴系数最大的项为第３项2537x T =和第４项2747x T =。
４ 解：当x >0时，n x x )21(-+＝n xx 2)1(-, 其通项为：1+r T =r rn n xx C )1()(22--=rn r n r xC 222)1(--,令2n -2r ＝0,得：n =r ,∴展开式中的常数项为:nn r C 2)1(-；当x ＜0时,n x x )21(-+=n xx 2)1(-+-, 同理:展开式中的常数项为:nn r C 2)1(-； 无论哪一种情况，常数项均为nn r C 2)1(-． 令nn r C 2)1(-=-20，得n =3．5 解法①:2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r rr T C x x -+=+,当且仅当1r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =。
解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.6解：(1）展开式前三项的系数分别为)1(81)21(,221,12221-=⋅=⋅=n n C n C C n n n . 由题设可知：)1(81122-+=⋅n n n解得:ｎ=８或ｎ=1（舍去).当ｎ＝８时，r r rr x x C T --+⋅⋅=)2()(4881=r r r xC 43482--⋅⋅.据题意,4－r 43必为整数,从而可知r 必为4的倍数, 而０≤r ≤8,∴r ＝0,4，8.故x 的有理项为:41x T =，x T 8355=,292561x T =． （2）设第r ＋1项的系数1+r t 最大，显然1+r t >0, 故有rr t t 1+≥1且12++r r t t ≤1.∵r r t t 1+＝r rC C r r r r 29221188-=⋅⋅+---,由rr29-≥1，得r ≤３． ∵12++r r t t ＝r r C C rr r r -+=⋅⋅---+8)1(2228118, 由rr -+8)1(2≤1,得r ≥2.∴r =2或r ＝3，所求项分别为2537x T =和4747x T =．7 解：(1)∵第５项的系数与第３项的系数的比是10:1,∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn ,解得n ＝8 令ｘ=1得到展开式中各项的系数和为(1-2）8=１(2) 展开式中第ｒ项, 第ｒ+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C --⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ，若第ｒ+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C--⋅218≤r rC 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅,解得５≤r ≤6;所以系数最大的项为T 7=179２111x ⋅;二项式系数最大的项为T 5=11２061x ⋅ 8分析：因为6998.0=6)002.01(-,故可以用二项式定理展开计算。
解：6998.0=6)002.01(-＝621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ， 且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈＝988.0012.01=- ９证明:15151-=1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051-+++++C C C C C=49Ｐ+1251-(*∈N P )又 1)2(1217351-=-=(7+1)171-=17.....7.7.7.17171617152171611717017-+++++C C C C C=7Q （Q *∈N ))(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除。
1０证明:ﻫ能被64整除.11 分析 转化为二项展开式来求．解法一 9１92=（1００-9)9２=１0092—C 192·1０091·９+C 292·1００９0·92— …—C 9192·1０0·９９１+９92,前面各项均能被1０0整除，只有末项９92不能被10０整除，于是求99２除以1０0的余数．∵992=(10－1)92=1092—C 192·1091＋C 292·１０90—…+C 9092·10２—C 9192·10+(－1)92=1092—C 192·1０９1+C 292·１０90—…＋C 9092·102—９2０＋１ ＝(1０92—C 192·1０91+C 292·1090—…＋C 9092·１0２—100０)+81 ∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为８1． 解法二 ∵９1９2=（90+1）９2=C 092·9092+C 192·90９1+ …+C 9092·902+C 9192·9０+1 由于前面各项均能被10０整除,只有末尾两项不能被100整除， 由于C 9192·90+１=８28１＝820０+8１ ∴被10０除余81.1２分析 ∵2n+１=C n 01++C n 11++C n 21+＋…＋C n n 1+＋C n n 11++ ∴右边＝11+n （C n 11+＋C n 21++…+C n n 1+＋C n n 11++) 比较左、右两边和，只要证明k 1·C k n 1-＝11+n C k n 1+即可.证明 k 1·C k n 1-＝k1·)!1()!1(!+--k n k n =)!1(!!+-k n k n ＝11+n ·)!1(!)!1(+-+k n k n ＝11+n C k n 1+∴C n 0+21C n 1＋31C n 2+…＋11+n C n n=11+n （C n 11++C n 21++…＋C n n 1+＋C n n 11++）=11+n （２ｎ＋1－1）１３解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 14分析:注意将此式还原成二项展开式的结构 ﻫ 原式=15解:（1）,)1(2212111223122021q a q a q a a C a C a C a -=+-=+-.)1(3331312111334233132031q a q a q a q a a C a C a C a C a -=-+-=-+-归纳概括的结论为:若数列{ａn}是首项为a1,公比为q 的等比数列,则n nn n n n n n n q a C a C a C a C a C a )1()1(1134231201-=-++-+-+ ,n 为整数． 证明：nn n n n n n n C a C a C a C a C a 134231201)1(+-++-+- n n n n n n n n C q a C q a C q a qC a C a 133********)1(-++-+-= .)1(])1([13322101n n n n n n n n nq a C q C q C q qC C a -=-++-+-= （3）因为,111qq a a S nn --=所以nn n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-nn n n n n n C qq a a C q q a a C q q a a C q q a a ---++--+-----=+1)1(11111123111211011 --++-+--=])1([132101nn n n n n n C C C C C qa .)1(1])1([113322101n nn n n n n n n q q q a C q C q C q qC C q q a --=-++-+--１6．解:(１）680!3)17)(16)(15(315-=---=-C ． （4分）(２）)32(616)2)(1()(2213-+=--=xx x x x x C C x x . （6分) ∵ x > ０ , 222≥+xx .当且仅当2=x 时，等号成立. ∴ 当2=x 时，213)(x xC C 取得最小值. (８分）（３）性质①不能推广,例如当2=x 时,12C 有定义,但122-C 无意义; (１0分）性质②能推广,它的推广形式是m x m x m x C C C 11+-=+,ｘ∈R , m 是正整数. （12分)事实上,当ｍ=1时,有11011+=+=+x x x C x C C . 当m ≥２时．)!1()2()1(!)1()1(1----++--=+-m m x x x m m x x x C C m xm x⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+--=11)!1()2()1(mm x m m x x x !)1)(2()1(m x m x x x ++--= mx C 1+=.（14分)。