二项式定理考点大全(详解)

二项式定理高考知识点总结

1．求103

)1

(x

x -展开式中的常数项

2．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4

9,求常数a 的值

３.求84)21(x

x +展开式中系数最大的项;

4.若n x

x )21

(-+的展开式的常数项为－20．求n .

５求当25

(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数?

6.已知n x

x )21(4⋅+

的展开式前三项中的x 的系数成等差数列.

(1)求展开式中所有的x 的有理项； （2)求展开式中系数最大的项.

7. 已知二项式n x

x )2(2

-,(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：１，

(1）求展开式中各项的系数和

（2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项

8.求6

998.0的近似值,使误差小于001.0；

9．求证：15151

-能被7整除。

１0．求证:３2n ＋

2-８n-9能被64整除.

11 求9192除以100的余数.

1２ 求证：C n 0＋21C n 1+31C n 2+…+11+n C n n ＝1

1+n (２n+1－1）.

1３ 计算c C C C n

n n

n n n n 3)1( (279313)

2

1

-++-+-； 14.求值：

１5、已知数列{a n }（n 为正整数)是首项为a 1,公比为q 的等比数列。 （1)求和：;,3

342331320312231220

2

1C a C a C a C a C a C a C a -+-+-

(2）由(1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （３)设q ≠1,S n 是等比数列｛ａn }的前ｎ项和,求:

.

)1(134231201n

n n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+-

16．规定!

)1()1(m m x x x C m

x +--=

,其中x ∈R ，m 是正整数,且10=x C ，这是组合数m

n C （n 、

m 是正整数,且m ≤n )的一种推广. (1) 求3

15-C 的值；

(2） 设x >０，当x 为何值时，213)(x x

C C 取得最小值？

(3) 组合数的两个性质;

①m n n m n C C -=． ②m

n m n m n C C C 11+-=+．

ﻩ是否都能推广到m

x C (ｘ∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由．

１解：r r r

r r

r r x

C x

x C T 6

5510

3

1010

1)1()1()

(--+⋅-=-=

令06

5

5=-

r ，即6=r 。 所以常数项是210)1(6

106=-C

2 解：92

3

92999

1

2)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r r r r r r r r r x a C x x a C T

令

392

3

=-r ，即8=r 依题意,得

4

9

2)1(894889=

⋅⋅---a C ,解得1-=a 3 解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有

⎩⎨⎧≥≥+-11k k

k k T T T T 又1

182.+--=r r r C T ，那么有

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k

k k k k k k k C C C C 2.2

.2.2

.811822

8118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!

9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k ⎪⎩⎪⎨⎧≥

--≥-∴K K K K 1922211 解得43≤≤k ， ∴系数最大的项为第３项2

5

37x T =和第４项2

747x T =。 ４ 解：当x >0时，n x x )21

(-+

＝n x

x 2)1(-

, 其通项为：1+r T =r r

n n x

x C )1()

(22-

-=r

n r n r x

C 222)1(--,令2n -2r ＝0,得：n =r ,∴展开式中的常数项为:n

n r C 2)1(-；

当x ＜0时,n x x )21

(-+

=n x

x 2)1(-+

-, 同理:展开式中的常数项为:n

n r C 2)1(-； 无论哪一种情况，常数项均为n

n r C 2)1(-． 令n

n r C 2)1(-=-20，得n =3．

5 解法①:2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r r

r T C x x -+=+,当且仅当1

r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124

125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为144

5423C C x

它的系数为144

5423240C C =。

解法②：

255505145051455

555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+

故展开式中含x 的项为45544

55522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.

6解：(1）展开式前三项的系数分别为

)1(81

)21(,221,1222

1-=⋅=⋅

=n n C n C C n n n . 由题设可知：)1(8

1

122-+=⋅n n n

解得:ｎ=８或ｎ=1（舍去).

当ｎ＝８时，r r r

r x x C T --+⋅⋅=)2()(4881=r r r x

C 43

482--⋅⋅.

据题意,4－

r 4

3

必为整数,从而可知r 必为4的倍数, 而０≤r ≤8,∴r ＝0,4，8.

故x 的有理项为:4

1x T =，x T 8355=

,2

9256

1x T =． （2）设第r ＋1项的系数1+r t 最大，显然1+r t >0, 故有

r

r t t 1

+≥1且12++r r t t ≤1.

∵r r t t 1+＝r r

C C r r r r 292

21188-=⋅⋅+---,

由

r

r

29-≥1，得r ≤３． ∵12++r r t t ＝r r C C r

r r r -+=⋅⋅---+8)1(22

28118, 由

r

r -+8)

1(2≤1,得r ≥2.

∴r =2或r ＝3，所求项分别为2

537x T =和4

747x T =．