二项式定理知识点及题型归纳总结
二项式定理复习总结
二项式定理复习总结一、二项式定理的定义和公式推导1.定义：二项式定理是指对于任意实数a、b及非负整数n，有以下公式成立：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ其中，C(n,r)表示组合数，即从n个元素中选取r个元素的组合数。
2.公式推导：利用组合数的性质，可以对二项式定理进行推导。
首先，根据组合数的性质C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)，可以得到以下关系式：C(n,0)=1C(n,n)=1C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)(r=1,2,...,n-1)将上述关系式代入二项式定理的公式中，可以得到：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ二、二项式定理的应用1.求二项式展开式：利用二项式定理，可以将一个数的n次方展开成多个项的和。
这在计算复杂的多项式、计算高次方等问题时非常有用。
例如，将(x+y)⁶展开，可以直接利用二项式定理的公式进行计算：(x+y)⁶=C(6,0)*x⁶*y⁰+C(6,1)*x⁵*y¹+C(6,2)*x⁴*y²+C(6,3)*x³*y³+C(6 ,4)*x²*y⁴+C(6,5)*x¹*y⁵+C(6,6)*x⁰*y⁶将组合数代入并进行计算，最终可以得到(x+y)⁶的展开式。
2.计算排列组合问题：二项式定理中的组合数C(n,r)可以表示从n 个元素中选取r个元素的组合数，因此可以应用于计算排列组合问题。
例如，班有10个学生，要从中选择5个学生组成一个小组，求不同小组的个数。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理1•二项式定理：(a b)n=C0a n Ca n」b • ||「c n a n=b r•- C；；b n(n・ N ),2. 基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数c n (r =0,1,2, , n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项c n a n-b r叫做二项式展开式的通项。
用丁i =C；a n」b r表示。
3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。
(a ■ b)n与(b ■ a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnw’c：,…,C；,…,c n.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4. 常用的结论：令a =1,b 二x, (1 - x)n=c0C：x C；x2十| • Qx r Fl C；x n(n N )令a =1,b = -x, (1 -x)n=C° -C：x C；x2-川C：x r ||( (-1)n C：x n(n N )5. 性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 - c n , •••C n^Cn J②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 ■ c1 ■ Cn- C；Jll ■ c；-2n,变形式c n C2-Cn^H c； =2^1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a =1,b = —1，贝y C0—c n +c2 —Cj+川+(_1)n c n =(1_1)n= 0 ,从而得到：C： +C： +C：…+- = cn +C；+IH+c：r41+ …二丄X2n= 2n_l2④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n OnO 小Jn」2n _22[[. nOn 1 2』』L n(a x) C n a x C n a x C*a x . C*a x a。
二项式定理十五大考点
二项式定理十五大考点二项式定理可是高中数学里超有趣的一个部分呢，它的考点也是多种多样的。
一、二项式展开式的通项公式。
这可是二项式定理的核心内容哦。
通项公式就是T_r + 1=C_n^r a^n - rb^r。
这里的n是二项式的指数，r呢，表示第几项（要注意这里是从0开始计数的哦）。
比如说(a + b)^5，当我们要求第3项的时候，n = 5，r = 2（因为第3项对应的r是2），然后代入通项公式就能求出这一项啦。
这个公式就像是一把万能钥匙，能帮我们打开二项式展开式中每一项的大门呢。
二、二项式系数与项的系数。
这两个概念可不能混淆哦。
二项式系数就是C_n^r，它只跟n和r有关，就像是一个固定的身份标识。
而项的系数呢，是包括前面的符号以及数字的，是在二项式展开式中该项实际的系数。
比如说在(2x - 3y)^4的展开式中，某一项的二项式系数是C_4^2，但是这一项的系数可就不是单纯的C_4^2啦，要把2和- 3这些数字也考虑进去计算才行呢。
这就像二项式系数是一个人的名字，项的系数是这个人穿上了各种衣服鞋子之后的整体形象。
三、二项式展开式的性质。
1. 对称性。
二项式展开式的系数是对称的哦。
比如说(a + b)^n，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
就像照镜子一样，两边是对称的呢。
这让我们在计算一些系数的时候，如果知道了前面的系数，后面对称位置的系数就不用再重新计算啦，多方便呀。
2. 增减性与最大值。
当n是偶数的时候，中间一项（也就是第(n)/(2)+ 1项）的二项式系数最大；当n是奇数的时候，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n + 3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。
这就像是在一群小伙伴里找最突出的那个或者那几个，很有趣吧。
四、求特定项。
1. 求常数项。
我们就根据通项公式，令a和b的指数满足一定条件来求出常数项。
比如在(x+(1)/(x))^6中，我们要让x的指数和(1)/(x)的指数相互抵消，也就是令6 - 2r = 0（这里a=x，b = (1)/(x)，根据通项公式得到x的指数为6 - r，(1)/(x)的指数为r，相乘为x^6 - 2r），解得r = 3，然后再代入通项公式求出常数项。
(完整版)高中数学二项式定理题型总结
二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1）01()()nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，（2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L2．二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1210(n r ，，，Λ=3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mn m nn C C -=） 直线2nr =是图象的对称轴 （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++L L题型讲解例1 如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ，由题意得2×2n=1+8)1(-n n ，得n =8设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r 21·x4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8，有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 921点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2 求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r 6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r 6·|x |r26-，得6－2r =0，r =3∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20例3 ⑴求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；⑵求（x +x4－4）4的展开式中的常数项； ⑶求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数解：⑴原式=x x --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14⑵（x +x4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(xx -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120⑶方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x xx x 351)1()1(+-+展开式中x 3的系数为C 451方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 4点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键例4 求9221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中9x 的系数解：()r rr r rr r rrr r x C x x C x xC T318921899291212121----+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=令22121C :,3,93183399＝－的系数为故则⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-x r r 点评：①r rn rn b a-C 是()nb a +展开式中的第1+r 项，n rΛ,2,1,0=②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是39C ，第4项9x 的系数为33921⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，二者并不相同例5 求()100323+x 展开所得x 的多项式中，系数为有理数的项数解：()()32100100100310010012323r rr r rrr r x C x C T ⋅⋅=⋅=---+依题意：Z rr ∈-3,2100，r ∴为3和2的倍数，即为6的倍数，又1000≤≤r Θ，N r ∈，96,,6,0Λ=∴r ，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由6)1(096⨯-+=n 得17=n ，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求()5223++x x展开式中x 的系数解法一：()()()55523212xx x x ++=+⋅+()()0514450514445555555555222C x C x C x C C x C x C x C =++++⋅+++⋅+L L 故展开式中含x的项为x x C C C x C 240224455555545=⋅⋅+⋅⋅，故展开式中x 的系数为240，解法二：()()[]52523223xx x x ++=++()()()N r r x x C T rrrr ∈≤≤⋅+=-+,50325251，要使x 指数为1，只有1=r 才有可能，即()()424684215228446241532+⋅+⋅+⋅+=⋅+=x x x x x x x C T ，故x 的系数为2402154=⋅，解法三：()5232x x ++()()()()()222223232323232x x x x x x x x x x =++++++++++，由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x ，其它四个括号出现常数项，则积为x 的一次项，此时系数为2402344415=⋅⋅C C点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用例7 设a n =1+q +q 2+…+q1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C nn a n（1）用q 和n 表示A n ；（2）（理）当－3<q <1时，求lim∞→n nn解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q 1-n q q n --11于是A n =qq --11 C 1n +q q --112 C 2n +…+q q n --11C n n =q -11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C nn q n ）］=q -11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］}=q -11［2n －（1+q ）n ］（2）n n A 2=q -11［1－（21q +）n ］因为－3<q <1，且q ≠－1，所以0<|21q + |<1所以lim∞→n n n A 2=q-11例8 已知729222221=++++n n n n n n C C C C Λ，求n n n n C C C +++Λ21分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n解：在()nn n n n n n n n n bC b a C b a C a C b a ++++=+--Λ222110中，令2,1==b a 得()72921=+n67293=∴=∴n n 12126666n n n n C C C C C C ∴+++=+++L L ()012606666662163C C C C C =++++-=-=L点评：①记住课本结论：n n n n n nC C C C 2210=++++Λ，15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ②注意所求式中缺少一项，不能直接等于62例9 已知()4433221432x a x a x a x a a x ++++=+，求()()2312420a a a a a +-++解： 令1=x 时，有()43210432a a a a a ++++=+，令1-=x 时，有()43210432a a aa a +-+-=+-∵()()2202413a a a a a ++-+()()0123401234a a a a a a a a a a =++++-+-+∴ ()()()()()1132324442312420=-=+-⋅+=+-++a a a a a点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10 求()72y x +展开式中系数最大的项解：设第1+r 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+++项系数项系数项系数项系数2r 1r 1T T T T r r ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--117711772222r r r r r r r r C C C C()()()()()()117!7!22!7!1!71!7!7!22!7!1!71!r r r r r r r r r r r r -+⎧≥⎪---+⎪⇒⎨⎪≥⎪-+--⎩2181271r r r r ⎧≥⎪⎪-⇒⎨⎪≥⎪-+⎩163133r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又5,,70=∴∈≤≤r N r r Θ故系数最大项为525525766722y x y x C T =⋅=点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n 为偶数时中间项12+nT 的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项121+-n T ，121++n T 的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式T 1+r =C rnr n a -b r 时，要注意：①通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项②展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同③通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n2证明组合恒等式常用赋值法 学生练习1已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A 29 B 49 C 39 D 1解析：x 的奇数次方的系数都是负值，∴｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜=a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 9∴已知条件中只需赋值x =－1即可答案：B2 2x +x ）4的展开式中x 3的系数是A 6B 12C 24D 48解析：（2x +x ）4=x 2（1+2x ）4，在（1+2x ）4中，x 的系数为C 24·22=24答案：C3（2x 3－x1）7的展开式中常数项是 A 14B －14C 42D －42解析：设（2x 3－x1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r-7（－x1）r =C r 72r-7·（－1）r ·x )7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14答案：A 4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A 20B 219C 220D 220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1答案：D5已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 A 28B 38C 1或38D 1或28解析：T 1+r =C r8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r8·x 8－2r，令8－2r =0，∴r =4，∴（－a ）4C 48=1120∴a =±2当a =2时，令x =1，则（1－2）8=1，当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38答案：C6已知（x23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________（以数字作答）解析：∵（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数和为128，∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128，∴n =7设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x23）r-7·（x31-）r =C r7·x61163r -，令61163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35答案：35 7若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =________解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11 答案：118（x －x1）8展开式中x 5的系数为_____________解析：设展开式的第r +1项为T 1+r =C r 8x 8－r ·（－x1）r =（－1）r C r 8x238r-令8－23r =5得r =2时，x 5的系数为（－1）2·C 28=28答案：289若（x 3+xx 1）n 的展开式中的常数项为84，则n =_____________解析：T 1+r =C rn（x 3）n －r·（x23-）r =Cr n·xrn 293-，令3n －29r =0，∴2n =3r ∴n 必为3的倍数，r 为偶数试验可知n =9，r =6时，C rn =C 69=84答案：910已知（xxlg +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值解：由题意C 2-n n＋C 1-n n ＋C n n =22，即C 2n ＋C 1n ＋C 0n =22，∴n =6∴第4项的二项式系数最大∴C 36（xxlg ）3=20000，即x 3lg x =1000∴x =10或x 101 11若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11 求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11； （2）a 0+a 2+a 4+…+a 10 解：（1）（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11令x =1，得 a 0+a 1+a 2+…+a 11=－26， ① 又a 0=1，所以a 1+a 2+…+a 11=－26－1=－65 （2）再令x =－1，得a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 11=0 ②①+②得a 0+a 2+…+a 10=21（－26+0）=－32 点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求ba的范围 解：（1）设T 1+r =C r12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r12a 12－r b r x m（12－r ）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，∴有C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3 ① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5 ② 由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49b ≥a ，即b a 9 由②得b a ≥58，∴58≤b a 4913在二项式（x +421x）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0， 解得n =8或n =1（舍去）T 1+r =C r8（x ）8－r（24x ）－r=C r 8·r 21·x 434r-∵4－43r∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ， ∴r =0，r =4，r =8∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561 x －2 点评：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r∈N14求证：2<（1+n1）n <3（n ≥2，n ∈N *）证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C nn （n 1）n=1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n+…+C nn ×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×n nn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯Λ <2+!21+!31+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n=2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3显然（1+n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C nn ×n n 1>2所以2<（1+n1）n<3。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、概念：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中取出k个元素的组合方式数。
二、证明：可以用排列组合的方法证明二项式定理。
考虑对(a+b)^n展开式中每一项的系数，将(a+b)^n表示为n个相加的项，每一项由a和b组成。
可以把这n个项分成若干组，每组的项数k从0到n，且对于固定的k有k个a和n-k个b。
根据组合数的定义，对于每组项数k，其系数为C(n,k)，因此可以得到二项式定理。
三、应用：1.计算组合数：二项式定理可以用来计算组合数。
当a=b=1时，二项式展开后的每一项系数即为对应的组合数。
例如，(1+1)^n=2^n，系数为1,n,n(n-1)/2,n(n-1)(n-2)/6,...，依次为组合数C(n,0),C(n,1),C(n,2),...2. 多项式展开：利用二项式定理，可以方便地展开多项式。
例如，(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^33.计算幂数：二项式定理可以用于计算幂，即对于任意整数m，可以使用二项式定理计算(a+b)^m的展开式，将其中的每一项进行计算，得到每一项的幂数。
4.计算二项式系数：二项式定理可以用来计算二项式系数，即对于给定的a,b和n，可以通过二项式定理展开式中的各项系数得到相应的二项式系数。
五、推广：1.负指数：二项式定理不仅适用于非负整数n，也适用于负指数n，即(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n。
这样可以扩展二项式定理的应用范围。
2. 多变量二项式定理：二项式定理不仅限于两个变量a和b，可以推广到多变量的情况。
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。
+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。
C(n,2)。
…。
C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。
②b的指数由0到n（升幂）。
XXX和b的指数和为n。
3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。
m) + C(n。
m-1)C(n,0) + C(n,1) +。
+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。
= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。
+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。
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二项式定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二项式定理()nn n r r n r n n n n n nb a C b a C b a C b a C b a 01100+⋯++⋯++=+--()*Nn ∈.展开式具有以下特点： （1）项数：共1+n 项.（2）二项式系数：依次为组合数nn n n n C C C C ，⋯,,,21.（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，()nn n n n n x C x C x C x +⋯+++=+22111.二、二项式展开式的通项（第1+r 项）二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ⋯=.其中rn C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1+r T 的系数.注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r rn rn b aC -是第1+r 项，而不是第r 项；②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T rn r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nn n n n C C C C ，⋯,,,21而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()nx +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而rx 的系数应该是r n r n C -2（即含r x 项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21+n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和011+12n nnn n n C C C ++⋯+==（） .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋯=+++⋯=即 .②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。
题型归纳及思路提示题型1 二项式定理展开式的应用思路提示 对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点，更重要的是要理解等式两边的关系，右边是左边n 个因式a b +积的结果，而左边是右边各项和的结果，这就为此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思路。
例12.30 用计数原理证明：()011222nn n n n r n n r n n rn n na b c a c a b c b c b c a b a ---+=++++++ (),0,1,2,,n N r n *∈=⋯.解析: ()()()()nn a b a b a b a b +=+++个，其展开式的通项为n r r r A a b -，是由n 个()a b +中的()n r -个()a b +中每一个取a ，r 个()a b +中每一个取b 相乘取得的，这样的取法（只需从r 个()a b +中取b ，自然剩余()n r -个()a b +中取a ）共有r n C 种，即rr n A C = ()0,1,2,r n =⋯.故 ()011222nn n n n r n n r n n rn n na b c a c ab c b c b c a b a ---+=++++++变式1 在()()()()()12345x x x x x -----的展开式中，x 的系数为（ ） A. 15- B. 85 C. 120- D. 274变式2 在()5242x x ++的展开式中，x 的系数为________（用数字作答）.变式3 512x x ⎛+ ⎝ 的展开式中整理后的常数项为_________（用数字作答）.题型2 二项展开式通项的应用 思路提示二项展开式的通项从微观角度反映了二项展开式的全貌，是展开式的缩影，它可以用于求二项展开式的任意指定项及其系数等。
例12.31 （1）()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 3(2)((3511+展开式中x 的系数为（ ）A. 4-B. 2-C. 2D. 4解析：（1）利用计数原理求解，当左边因式取2，所得常数项为()555212C -=-，当左边因式取2x ， 所得常数项为4515C ⋅=，故展开式中常数项为253-+= ，故选D .(3211128x +=++（）(511510105x x x -=-+ .故((3511+展开式中含x 的项()1101122x x x ⨯-+⨯= .故选C .变式1 ()()10211xx -+展开式中5x 的系数为_________。
变式2 (10611⎛⎝展开式中的常数项为_____________。
变式3 已知()2311nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，n N *∈，且28n ≤≤，n =_____.例12.32 （1）求证：()222,3nn n N n ≥+∈≥ .（2）求证：()12132,nn n N n *⎛⎫<+<≥∈ ⎪⎝⎭.解析 （1）因为()01211n n nn n n C C C =+=++⋯+，又3n ≥，n N *∈，所以()11n+展开式至少有4项，即 01-101-1++222n n n nn n n n n n n n n C C C C C C C n C ≥=++⋯++++=.证毕.（2）首先2n ≥，显然有()()()122231121111111!1111+2!3!!nn n n n n nn n n n n n C C C n n n n n n n n ---⎛⎫+=+++⋯++=+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1111111112332!3!!12231n n nn <++++⋯+<+++⋯+=-<⨯⨯- ；同时1111111112nn n nn n c c C n n n n ⎛⎫+=++⋯+>+= ⎪⎝⎭ （至少有3项），故有()12132,nn n N n *⎛⎫<+<≥∈ ⎪⎝⎭. 变式1 ,a b R ∈，0,a b n N *+≥∈.求证：22nn n a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.变式2 求证：()()()()21221n n nn n n n N *+≥+-∈ .变式3 对于n N *∈，求证：111111nn n n +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.例12.33 (1)9a x ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为94，a =________.(2)8的展开式中常数项为（ ）A.3516B.358 C.354D.105解析 （1）919r rrr a T c x -+⎛⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝，令x=1得系数为99rr rc a -⎛ ⎝，x 的幂=()9399221rr r rr x x xx ----⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⇒399219rr r rr T C a x--+⎛= ⎝，由展开式中的错误!未找到引用源。
的系数为94，得99393294r r r r c a -⎧-=⎪⎪⎨⎛⎪= ⎪⎝⎩，⇒48a r =⎧⎨=⎩ 。
88284222188881112222=r rr r rrrr r r r r r rT CC x x C x C x -----+⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭（），令40r -=，得r=4，即常数项为458413528T C =⋅=.故选B 。
变式118x ⎛- ⎝的展开式中含15x 的项的系数为____________(用数字作答)。
变式 2设二项式6x ⎛ ⎝(0a >)的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值为___________。
变式 3 ()10x y -展开式中37x y 与73x y 的系数和为____________(用数字作答)。
例12.34()20x +展开式中系数为有理数的项共有________项。
解析：)20120rrrr T C x-+==错误!未找到引用源。
(0,1,2,20r =)依题意，r 为4的整数倍，0,4,8,12,16,20r =.故展开式中系数为有理项的项共有6项。
变式1n⎫的第三项和第二项系数之比为11：2，求展开式中有理项有多少个？ 变式2 (51a =+,a b 为有理数)，则a b +=（ ）A. 45B. 55C. 70D. 80变式3 1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 展开式中存在常数项，正整数n 的最小值为__________.题型3 二项展开式的系数和问题 思路提示有关系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果，重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法，这里就需要读者根据题目结合已知条件进行赋值。
例12.35 已知()712x -=270127a a x a x a x +++.求（1）127a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++； （4）017a a a ++⋯+.解析 令1x =，则01271a a a a ++⋯++=-①令1x =-，则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.② (1)因为0071a c ==，所以127a a a ++⋯+=2-.(2)(①-②)÷2得1357a a a a +++=1094-.(3) (①+②)错误!未找到引用源。
得02461093a a a a +++=(4) 解法一：因为展开式中0246,,,a a a a 大于零，而1357,,,a a a a 小于零，所以017a a a ++⋯+=（0246a a a a +++）-（1357a a a a +++）=2187.解法二：017a a a ++⋯+即为展开式()712x +中各项的系数和，故只需要对()712x +中令1x =即可得017a a a ++⋯+的值等于73=2187.评注： 求关于展开式中的系数和问题，往往根据展开式的特点给其中字母一些特殊的数值，如1，-1等，此即赋值法。