人教版选修4-5 数学归纳法原理
人教版数学高二选修4-5讲义第4讲1数学归纳法
一数学归纳法1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理数学归纳法的概念阅读教材P46～P50，完成下列问题．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是()A．k∈N B．k＞1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋【解析】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]用数学归纳法证明等式1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 【精彩点拨】 要证等式的左边共2n 项，右边共n 项，f (k )与f (k ＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时要注意项的合并．【自主解答】 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．成立．由①②知，等式对任意n∈N＋1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．[再练一题]1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，都成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋用数学归纳法证明整除问题．＋【精彩点拨】先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．【自主解答】(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N 由(1)(2)可知，对任何n∈N＋)．＋1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．[再练一题]2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.【导学号：32750064】【证明】(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立.证明几何命题＋不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．【精彩点拨】(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．【自主解答】当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3；当n＝4时，f(4)＝6.因此猜想f(n)＝n(n－1)2(n≥2，n∈N＋)．下面利用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1.∴n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，l k.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝k(k－1)2.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，l k的交点共有k个，∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)2＋k＝k2＋k2＝k(k＋1)2＝(k＋1)[(k＋1)－1]2，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．[再练一题]3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．【解】设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，f(k)＝k2.则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，l k，l k＋1，共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，l k，l k＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，l k－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．[探究共研型]数学归纳法的概念探究1数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?【提示】n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．探究2如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【精彩点拨】注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为a n＋1.【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为a n＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.【答案】 C1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．[再练一题]4．当f(k)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，则f(k＋1)＝f(k)＋________.【解析】f(k＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12(k＋1)，∴f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1－12(k＋1).【答案】12k＋1－12k＋2[构建·体系]数学归纳法—⎪⎪⎪⎪⎪—概念和步骤—证明等式—证明整除问题—证明几何问题1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为()A．1 B．1＋3C．1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4【解析】当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.【答案】 C2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有()A．当n＝4时，该命题成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝6时，该命题不成立【解析】若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．【答案】 C3．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需乘以的代数式为( )【导学号：32750065】A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1【解析】 当n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．比较n ＝k 和n ＝k ＋1时等式的左边，可知左端需乘以(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B.【答案】 B4．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2，n ∈N ＋”时，若n ＝1，则左端应为________．【解析】 当n ＝1时，左端应为1×4＝4.【答案】 45．用数学归纳法证明：1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a(a ≠1，n ∈N ＋)． 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1－a 1－a ＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，等式成立，即1＋a ＋a 2＋…＋ak －1＝1－a k 1－a . 那么n ＝k ＋1时，左边＝1＋a ＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝1－a k1－a ＋a k ＝1－a k ＋a k －a k ＋11－a ＝1－a k ＋11－a＝右边，所以等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋等式均成立．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
选修4-5数学归纳法PPT
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请你来批作业
用数学归纳法证明：1 1221 3 n (n 1 1 )nn 1(n N )
证明：
（1）当 n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
2
（2）假设当 n k时等式成立，即
第二步的证明没有
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
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1
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到 学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这 所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内 角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。
k 1
2 k1(2 k 1 )2( k1 k) 1
k1
k1
2
2
0.
k1 k k1 k1
2 k 1 2 k1. k1
故 :1 11 11 2k 1 . 2 3 k k 1
即当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.
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例7、求证:
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都是质数
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3
二、概念
1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可
能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
2、归纳法分类：
完全归纳法
归纳法 不完全归纳法
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
说 （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论
明：
不一定正确。 （2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法
第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法学习目标1 •理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题；2.学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题.数学归纳法课前自主学案1.数学归纳法适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题.2.数学归纳法的步骤是: (1)(归纳奠基)验证当〃=必(必为命题成立的起始自然数)时命题成立：(2)(归纳递推)假设当n=k(k^N+,且&$必)时命题成立，推导1时命题也成圭.(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切MM%的自然数都成立.思考感悟在数学归纳法中的必是什么样的数？提示：弘是适合命题的正整数中的最小值，有时是兀0=1或必=2,有时兀0值也比较大，不一定是从1开始取值.课堂互动讲练考点突破用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明：用N+时，穆++ '''+(2n-l)(2n + l)=2n + V【证明】⑴当〃 =1时，左边=吉，右边= 左边=右边，.••等式成立.(2)假设n = k(k^l)时，等式成立，即有石+亦------- H1_ k（2k-i）（2k-\-r）=2k-\-r则当n=k-\r\时，丄+丄p -------------- ------- + -------- --------1・3 丁3・5丁^（2k- 1）（2氐+1）（2氐+ 1）（2氐+3）k | 1 氐(2 氐+3)+1 ---- + -------------- ---------------2k+r(2k+l)(2k+3) (2&+l)(2k+3) 2/+3&+1 &+1 (2k+l)(2k+3)=2k+3&+12伙+1)+1；.\n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切MWN+等式都成立.【名师点评】运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系.变式训练1 求证:(n + l)(n + 2)・•(n + n)= 2,te 1*3*5 (In—l)(n EN+).证明：⑴当兀=1时，等式左边=2, 等式右边=2X1=2,・•・等式成立.(2)假设兀=k(k G N+)等式成立,即仇+1)仇+2)…仇+Q=2忍1・3・5・・・・(2&—1)成立.那么n=k+l时，(k + 2)(* + 3)…仇+切(2& +1)(2* + 2) = 2(k +1)仇+ 2)仇+3)…仇+肪(2氐 + 1)=2*+1・1・3・5 (2k —1)-[2(^+1)-1]・即〃=&+1时等式也成立.由⑴⑵可知对任何7/ WN+等式均成立.3平面上有兀个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成~Tf(n)=n2—n+2部分.【思路点拨】用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k + l时比n=k时分点增加了多加了几块，本题中第&+1个圆被原来的&弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了个部分，问题就得到了解决.【证明】⑴当兀=1时，一个圆把平面分成两部分，且/⑴=1 —1 + 2 = 2,因此，〃=1时命题成立.(2)假设兀=k(k^l)时，命题成立，即&个圆把平面分成«切=护一&+2部分.如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前&个圆交于2&个点.这个点把这个圆分成％段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分.因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2&部分，即有f(k^l)=f(k)+2k=k2-k+2+2k = (k+^-(lc+1)+2.即当n=k+l时，f(n)=n2—n+2也成立.根据(1)、(2),可知兀个圆把平面分成了弘)=兀+2部分.【名师点评】有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚兀=比与〃=无+1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起AQ与张+1)之间的递推关系.变式训练2平面内有EN+)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线Z/2 —I—Ji—(― 2把平面分成/(〃)=——个部分.证明：(1)当〃=1时，一条直线把平面分成两部分, 而/(1)=乎+；+2=2,・・・命题成立.(2)假设当n=k(k刃时命题成立，即k条直线把平面分成/(Q= 2「个部分• 则当兀=&+1时，即增加一条直线2,因为任何两条直线不平行，所以2与&条直线都相交，有&个交点；又因为任何三条直线不共点，所以母个交点不同于&条直线的交点，且&个交点也互不相同，如此& 个交点把直线2分成& + 1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了& + 1个平面部分.z +a +^+z a +M Z +為+Z+4+Z41+4+ z+r+d I+4+Q)m +4)J ・・考点三報用数学归纳法证明整除性用数学归纳法证明（工+ 1）" + 1 + （工+2）2”-1（〃WN+）能被严+3兀+3整除.【思路点拨】证明多项式的整除问题，关键是在考点三報用数学归纳法证明整除性（工+1）"+1+（工+2）2"—1 中凑出x2+3x+3.【证明】⑴当兀=1时，(x + l)1+1+(x+2)2X1_1=x2+3x+3 能被工2+3工+3 整除，命题成立.(2)假设当兀=尤仇$1)时，a+iy+i+a+2)2—1能被屮+3兀+3整除，那么 (工 + 1)仇+1)+1+(工+2)2 仇+D—1=(工 + l)(x+1)“+1+(x+2)2, (x+2严—1= (x+l)(x + l)fc+1+(x + l)(x+2)2A:_1—(x+l)-(x +2)2ET + (工 + 2)2(" + 2)2RT= (x + l)[(x + lRi + (x+2)^-i] + (^ + 3x + 3)-(x +2严—1.因为（兀+1）*+1+（工+2严-1和0+3兀+3都能被0+ 3卄3整除，所以上面的式子也能被兀2+3兀+3整除. 这就是说，当〃=尤+1时，（兀+ 1）伙+1）+1 + （工+ 2严+1）—1也能被於+ 3工+ 3整除.根据⑴⑵可知，命题对任何MWN+都成立.【名师点评】 用数学归纳法证明数或式的整除 的方法很多，关键是凑成〃=尤时假设的形式. 变式训练3 求证：d" +1 + (° +1)2" T 能被/ +a + 1整除(neN +)・ 证明：⑴当兀=1 时，a1+1+(«+l)2X1_1=a 2+a+ 1,命题显然成立. 性问题时，常釆取加项、减项的配凑法，而配凑⑵假设当n=k(k^l)时，a k+i + (a + l)2k~1能被0 +° + 1整除，则当n=k+l时，a k+2+(a+l)2k^~l=a9a k^~l+(a+l)2(a+l)2k~l=a\a k+1 + (a + 1)2A:_1] + (a + l)2(a + l)2Ar_1~a(a +=a [a k+l+(a+1)2^-1]+(a2+a+l)(a + l)2k~l, 由归纳假设，以上两项均能被a^+a + 1整除，故当〃=氐+1时，命题也成立.由(1)、(2)可知，对〃GN+命题都成立.误区警示・・+戸+予=1—予(其中底N+).【错证】⑴当n = l时，左边=；，右边=—；=* 等式成立.(2)假设当n=k(kM\)时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和⑵可知，等式对任何n e N+都成立.【错因】从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明却是错误的.错误的原因在第⑵步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k-\-l时式子;+$+§+••• +2-1丁2"丁2"打的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒，一定要引起同学们的足够重视.【自我校正】(1)当〃=1时，左边=亍右边=1 (2)假设当时，等式成立，就是等式成立.这就是说，当M=k+1时，等式也成立• 根据⑴和⑵可知，等式对任何兀UN+都成立.1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证〃的初始值至关重要，它是递推的基础，但〃的初始值不一定是1,而是兀的取值范围内的最小值.2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时，应分析卩的与卩仇+1）的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发, 如仇+1）中分离出卩⑹再进行局部调整.3.在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明, 其一般解题步骤是：归纳一猜想一证明.。
5.3数学归纳法证明不等式2 课件(人教A版选修4-5)
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1) +(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)[(k+1)+1]2
4）此时，左边增加的项是
(k+1)[3(k+1)+1]
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设 n= k时 命题成立，即 1× 4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2 当n=k+1时 左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)
不完全归纳法
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝ （－1）n n
法国的数学家费马（Pierre de Fermat） 问题情境二：数学家费马运用不完全 (1601年～1665年) 。 十七世纪最卓越的数学家之一， 归纳法得出费马猜想的事例 他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣， 世人冠以“业余王子”之美称，
写明结论 才算完整
用上假设 递推才真
例2
用数学归纳法证明 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2
1）此时n0=__左＝_______ 右= __________ 1(1＋1)2 =4 1 1×4＝4
当n=k时，等式左边共有___项， k 第(k－1)项是__________________。 (K－1)×[3(k－1)＋1] 2）假设n=k时命题成立，即
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
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[例3]
除．
用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题 成立．
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝ －(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
高中数学人教版A版选修4-5教学课件：4-1《 数学归纳法》
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除
n＋1 1 1 1 1 (1－ )(1－ )(1－ )…(1－ 2)＝ . 4 9 16 n 2n
[思路点拨] 注意到这是与正整数 n 有关的命题，可
考虑用数学归纳法证明．
[证明] 3 ＝ . 4
2＋ 1 1 3 (1)当 n＝2 时， 左边＝1－ ＝ ， 右边＝ 4 4 2× 2
∴当 n＝2 时，等式成立．
＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k
＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋27· 7k，
由归纳假设(3k＋1)· 7k－1能被9整除，又因为 18k· 7k＋
27· 7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]· 7k＋1－1能被9整除，
即n＝k＋1时命题成立．
(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：
①证明当n取 第一个值n0 (如取n0＝1或2等)时命题正 确； ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1 时命题也正确． 由此可以断定，对于任意 不小于n0 的正整数n，命 题都正确．
[例 1]
证明：当 n≥2，n∈N＋时，
则①②可知对所有正整数n命题成立．
4．用数学归纳法证明：
当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． 证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除． (2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝ 2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
3．数学归纳法中的两步的作用是什么？
提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题 成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归 纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可 以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数 也都成立．
[研一题]
[例 1] 1 1 1 1 1 用数学归纳法证明：1－ ＋ － ＋…＋ － 2 3 4 2n－1 2n
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
(2)假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N＋)时命题成立， 就是该平面内 1 满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k)＝ k(k－1)， 则当 n 2 ＝k＋1 时，任取其中一条直线记为 l，如图，剩下的 k 条直线 为 l1，l2，…，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为 f(k)＝ kk－1 . 2
2．数学归纳法的基本过程
[小问题· 大思维] 1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？ 提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有 时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，而不一定是从1 开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数 学命题的证明．
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
高二数学人教B版选修4-5讲义：第三章3.1数学归纳法原理Word版含解析
托1象问题情境牝，新知无珮自通［对应学生用书P40］［读教材填要点］1. 数学归纳法原理对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题 p （n ）,可以用以下两个步骤来证明它的正确性：（1） 证明当n 取初始值n o （例如n o = 0, n °= 1等）时命题成立；（2） 假设当n = k （k 为自然数，且 k 》巴）时命题正确，证明当 n = k + 1时命题也正确. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 n o 开始的所有自然数都正确.2. 数学归纳法的基本过程< 1〉证明:n=弘（商W N ）时命 题成立. 奧基假设与递推对所有的V ）命题成立.［小问题大思维］1. 在数学归纳法中，n o 一定等于0吗？提示：不一定.n 0是适合命题的自然数中的最小值，有时是 n 0 = 0或n 0= 1，有时n 0值也比较大，而不一定是从 0开始取值.2•数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明. 3•数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步 “验证n = n o 时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证 明的基础.第二步是归纳递推， 保证了推理的延续性，证明了这一步， 就可以断定这个命题 对于n 取第一个值n o 后面的所有自然数也都成立.D I SANZHANG高中高频电点题组化.名师一点就通〔2）证明：若和=以床2且取耳码）时命题成V' *则H — 尚+1时命题也成立.P40][1]11 12 3)[]2n n k k1n k n k 1[](1)n11⑵n k(k1k N)1 11111 2 342k12k111k.1k22k.n k11 1 12 2 21 1 1 1 1 14 2n~1 2n ~n1 n~2 2n(n N111_J_ 丄_L 12 3 4 2k 1 2k 2k 1 2k 211111k1k22k2k 12k 21111k2k32k 1 2k2n k 1(1)(2)n//A规f1池⑴n k n k1⑵n k1n kn n on 0 n 1 n 2. n k 1n k n k 1(1)(2) n1 11k1 3 3 5 (2k 1 (2k 1)2k 1(1)(2)n N1 1 1n1 3 3 5(2n 1 (2 n 1 2n 1(1) n 11 11 1 1 3 32 1131n N (2)n k(k N k 1) n k 11 1 13 3 512k 1 2k 3 )k 2k 3 12k 1 2k32k 2 3k 1 k 1 k 1 2k 1 2k 3 ) 2k 3 2(k 1 ) 111 k(2k 1 ]2k 1)(2k 1 ]2k 3)2k 1[2]2n Xy 2n,(n N )X y[]yX y[](1) n12 X y 2(X y)(x y)X y(2)n k(k 1kN )2k2kx y X yn k12k 22k 2 2 2k 2 2k 2 2k 2 2kXyX XX yX yy yx 2(x 2ky 2k) 2k, 2y (Xy 2)2k2k : 22x yX yX yx 2(x 2ky 2k) 2k “ 2 y(Xy 2)X yn k 12k 22k 2XyX y2nXn k 1s规tlL益结.利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k+ 2-y2k+ 2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n= k时的归纳假设，剩余部分仍能被x+ y整除.么变云之』亿2. 求证:n3+ (n + 1)3+ (n+ 2)3能被9 整除.证明：(1)当n= 1时，13+ (1 + 1)3+ (1 + 2)3= 36,能被9整除，命题成立.⑵假设n= k时，命题成立，即k3+ (k+ 1)3+ (k+ 2)3能被9 整除.当n = k+ 1 时，(k+ 1)3+ (k + 2)3+ (k+ 3)3=(k+ 1)3+ (k+ 2)3+ k3+ 3k2 3+ 3k 32+ 33=k3+ (k+ 1)3+ (k+ 2)3+ 9(k2+ 3k + 3).由归纳假设，上式中k3+ (k+ 1)3+ (k+ 2)3能被9整除，又9(k2+ 3k+ 3)也能被9整除. 故n = k+ 1时命题也成立.由(1)(2)可知，对任意n€ N*命题成立.|用数学归纳法证明几何命题［例3］平面上有n(n>2,且n€ N +)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线被分成f(n)= n2［思路点拨］本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n 的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明.［精解详析］(1)当n= 2时，•••符合条件的两直线被分成4段，又f(2) = 22= 4. A当n= 2时，命题成立.⑵假设当n= k(k>2且k€ N +)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线被分成f(k) = k2段，则当n= k+ 1时，任取其中一条直线记为I，如图，剩下的k条直线为"，"，…，I k.由归纳假设知, 它们被分为f(k)= k2段.由于I与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线为k+ 1I 被I1, I2, I3，…，I k分段，同时I把I1，12,…，I k中每条直线上的某一段一分为二，其增加k段.A f(k+ 1) = f(k) + k+ 1+ k =k2+ 2k+ 1 = (k+ 1)2.(1)(2) n N n 2*4 规 f 給.一13nf(n)刃(n3)(n 4)(1)n 4f(4) 1 2 4 (43) 2⑵n kkf(k) ^k(k 3)(k 4)n 1 k 1k 1 kAA k1kA 1A k(k1 3)1 k 1.f(k 1)12k(k 3)k 1如2k 2)1 2(k 1)(k 2) 1 2(k 1)[(k 1) 3]n k 1 (1) (2)n 4 n NP42]僚r 川芳空典呈、斗屁说杏毎辿 [1nk 1 1 2 22 () A1 2 222k 22k 12k 1 1 B 1 2 22 2k 2k 12k 12k C 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1 D1 2 222k12k2k 1 120，211 222 2k1 2k2k1D2n 1 2n 1( n N ) n k2n 1 n k 11.左边需增乘的代数式是()C . 2(2k + 1)解析：当 n = k + 1 时，左边=(k + 1+ 1)(k + 1 + 2)…(k + 1 + k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k +3)…(k + k) 2k+J 亍+2= (k + 1)(k + 2)(k + 3)…(k + k) 2(2k + 1). k +1答案：C3.某个命题与正整数 n 有关，如果当n = k(k € N +)时命题成立，那么可推得当 n = k + 1时，命题也成立.现已知当n = 5时该命题不成立，那么可推得( )A .当n =6时该命题不成立B .当n =6时该命题成立C .当n = 4时该命题不成立D .当n =4时该命题成立解析：与“如果当n = k(k € N +)时命题成立，那么可推得当n = k + 1时命题也成立”等价的命题为“如果当n = k + 1时命题不成立，则当 n = k(k € N +)时，命题也不成立”.故知当n = 5时，该命题不成立，可推得当 n = 4时该命题不成立.答案：C1 1 1 1271+ 2 + 4+…+ 尹＞看(n € N + )成立，其初始值至少应取( )A . 7B . 8C . 9D . 10解析：丄1 1 1 1 —2n 1 左边一1+2 +4 +…+2n -1 — 1 —2—2n -1,21 — 1 22代入验证可知n 的最小值是8.答案：B 二、填空题1 1 15.设 f(n)= 1 + 2+ 3 +…+ 3^37(n € N +)，贝U f(n + 1) -f(n)等于 ___________1 1 1 1 1解析：因为 f(n) = 1 +1+ 1 ―廿，所以 f(n + 1) = 1 + 2+ 1+…+2k + 1 k + 1 2k + 2 k + 14.用数学归纳法证明不等式 1 3n + 21 .所以 f(n + 1)— f(n)= 3^ +1 3n + 1 13n + 21 3n — 13n + 1答案： 1 1 13n + 3n + 1 +3n + 26•设平面内有 n 条直线(n > 2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过 同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4) = ____________ ;当n>4时，f (n)= _________ (用 n 表示).解析：f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 5, f(5) = 9,每增加一条直线，交点增加的个数等于原来 直线的条数.所以 f(3) — f(2) = 2, f(4) - f(3) = 3, f(5) — f(4) = 4,…，f(n) —f(n — 1) = n — 1. 累加，得 f(n) — f(2) = 2 + 3+ 4 + …+ (n — 1) 2+ n — 1= 2 (n — 2) •1所以 f(n) = ^(n + 1)(n — 2). 答案：5n + 1)( n — 2)2 n 七+ n 士+…+ 1时，若已假设 n = k(k >2,且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n = __________ 时等式成立.解析：n = k(k >2,且k 为偶数)的下一个偶数为k + 2，根据数学归纳法的步骤可知•再 证 n = k + 2.答案：k + 211 2n | 1 2n ___________18•用数学归纳法证明2+ COS a + cos 3+・+ cos(2n — 1)a =飞aC0S ""Fa ( aM n n n € N )，在验证n = 1等式成立时，左边计算所得的项是 ___________ .解析：由等式的特点知：当n = 1时，左边从第一项起，一直加到 cos(2n — 1) a,故左边计算所得的项是 丁 + cos a1答案：2 + COS a 三、解答题9 •用数学归纳法证明:-. 1 1 . . 1 .... 证明：(1)当n = 1时，左边=1右边=1等式成立.1 X2 2 2⑵假设当n = k 时，等式成立，即7 .已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1 n + 11 1X2 亠 +••• + 3X 412n — 1 x 2n 1 n + 1 + ^^ +…+ n + 2Si 1S?2 3 5S 3 4 5 6 15S i 7 8 910 34S 5 11 12 13 14 15 65S 61617181920 21 111n 1S 1 1 14n 2S 1 S 3 16 241 2k 1 \ 2k 1 2k2k2k 1 2k 2 k 1 k 2 2k2k 1 2k2111 (1 1 、1k 2 k 3 2kQk 1 2k2 k 11 1丄1 11 11 1 2k 2k 1 2k 2k 2k 3k1 kn k(1) (2)11n N10n(1) n 0A 0112 12 (2)n kA k 1〔k 2 122k 1n k 1A k1 11k 3122k 3k 2 211 11 12 •11 11k 2 11 122k1(122 11) 12:11 (11k 2122k 1) 2k 1133 12.n k 1(1) (2)n 011(1)13311n 133(16,17,18,19,20,21)122n133(4,5,6)(7,8,9,10)(11,12,13,14,15) SiS3S5S2n1133,2 k 1(2,3)2k 1120 A n当n = 3 时，S i + S3 + S5 = 81 + 3;当n = 4 时，S i + S3 + S5 + S7= 256 = 4. 猜想：S i + S3 + S5 + …+ S2n-1 = n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n = 1时，S i= 1 = 14,等式成立.4⑵假设当n= k(k>2, k€ N + )时等式成立，即S1 + S3+ &+••• +滋_1= k , 那么，当n = k+ 1时，S1 + S3+ S5+ …+ S2k +1=k4+ [(2 k2+ k+ 1) + (2k2+ k+ 2) + …+ (2k2+ k+ 2k+ 1)]=k4+ (2k+ 1)(2k2+ 2k+ 1)=k4+ 4k3+ 6k2+ 4k+ 1=(k+ 1)4,这就是说，当n= k+ 1时，等式也成立.根据(1)和⑵，可知对于任意的n€ (N +, S + S3 + S5+- + S2n-1 = n4都成立.。
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
[悟一法]
利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数
因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减
项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼
凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑
出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．
2＋3d＋2q3＝27， 条件，得方程组 8＋6d－2q3＝10， d＝3， 解得 q＝2.
所以 an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)法一：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，
＋
①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n 1a1. ② 由②－①，得
[研一题]
[例 3] 平面上有 n(n≥2，且 n∈N＋)条直线，其中任意两
条直线不平行，任意三条不过同一点， nn－1 求证：这 n 条直线共有 f(n)＝ 个交点． 2
[精讲详析]
本题考查数学归纳法在证明几何命题中的
应用，解答本题应搞清交点随 n 的变化而变化的规律，然后 采用数学归纳法证明． (1)当 n＝2 时， ∵符合条件是两直线只有 1 个交点， 1 又 f(2)＝ ×2×(2－1)＝1. 2 ∴当 n＝2 时，命题成立．
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
2．数学归纳法的基本过程
[小问题· 大思维] 1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？ 提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有 时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，而不一定是从1 开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数 学命题的证明．
[悟一法] 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变 化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也
可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关
键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
[通一类]
1 3．证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝ n· (n－3)(n≥4)． 2 1 证明：(1)n＝4 时，f(4)＝ · (4－3)＝2，四边形有两条对角 4· 2
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3.1 数学归纳法原理 3.1.1 数学归纳法原理
1.理解归纳法和数学归纳法原理. 2.会用数学归纳法证明有关问题.
自学导引 1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法. 2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n取初始值n0时命题成立； (2)假设当n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法. 基础自测 1.设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( ) A.12n＋1 B.12n＋2 C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2 解析 f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n f(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2 ∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2，选D. 答案 D 2.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A.2k＋1 B.2k＋1k＋1
C.2(2k＋1) D.2k＋2k＋1 解析 n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1). n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).
∴增乘的代数式是（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1)，选C. 答案 C 3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4
后，猜想an的表达式是________.
解析 a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2. 答案 an＝n2
知识点1 利用数学归纳法证明等式 【例1】 通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的结果，并加以证明. －1＋3＝________；－1＋3－5＝________； －1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________. 解 上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5， 由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即 －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk 当n＝k＋1时， －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1) ＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1) ＝(－1)k＋1(k＋1). 即n＝k＋1时，命题成立. 由(1)(2)知，命题对于n∈N*都成立. ●反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.
1.用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n. 证明 (1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立. (2)假设当n＝k (k≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k ＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2
＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2. 上式表明当n＝k＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立. 【例2】 证明12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N*)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？ 证明：(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12. ∴当n＝1时，等式成立. (2)假设当n＝k (k≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＝1－12k，
那么当n＝k＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1
＝121－12k＋11－12＝1－12k＋1＝右边. 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立. 解 不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1的和，而没有利用“归纳假设”. 正确的证明如下： (1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立. (2)假设当n＝k (k∈N*，k≥2)时，等式成立，就是 12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＝1－12k，
那么当n＝k＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1
＝1－12k＋12k＋1＝1－2－12k＋1＝1－12k＋1＝右边. 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立. ●反思感悟：在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n＝k时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.
2.用数学归纳法证明： 1－141－191－116…1－
1
n2＝n＋12n (n≥2).
证明 (1)当n＝2时，左边＝1－122＝34，
右边＝2＋12×2＝34，等式成立. (2)假设当n＝k (k∈N*，k≥2)时，等式成立， 即1－141－19…1－1k2＝k＋12k 则当n＝k＋1时，
1－141－191－116…1－1k21－
1
（k＋1）2
＝k＋12k1－1（k＋1）2＝k＋12k·k2＋2k（k＋1）2＝k＋22（k＋1）， 即n＝k＋1时，等式成立. 由(1)(2)知，对于任意正整数n(n≥2)，原等式成立. 知识点2 用数学归纳法证明不等式 【例3】 用数学归纳法证明： 1＋122＋132＋…＋1n2<2－1n (n≥2). 证明 (1)当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立. (2)假设n＝k (k∈N*，k≥2)时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k2<2－1k， 当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1（k＋1）2 <2－1k＋1（k＋1）2 <2－1k＋1k（k＋1）＝2－1k＋1k－1k＋1 ＝2－1k＋1，命题成立. 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立. ●反思感悟：(1)由n＝k到n＝k＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一. (2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等. 3.求证：1＋122＋132＋…＋1n2≥3n2n＋1 (n∈N*). 证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1， ∴左边≥右边，即命题成立. (2)假设当n＝k时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k2≥3k2k＋1. 那么当n＝k＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k2＋1（k＋1）2≥3k2k＋1＋1（k＋1）2 ＝3k2k＋1＋1k2＋2k＋1≥3k2k＋1＋3（2k＋1）（2k＋3）
＝3k（2k＋3）＋3（2k＋1）（2k＋3）＝（3k＋3）（2k＋1）（2k＋1）（2k＋3）＝3k＋32k＋3＝3（k＋1）2（k＋1）＋1. 由(1)(2)知原不等式在n∈N*时均成立. 课堂小结 1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了. 2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点： (1)当n＝k＋1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化. (2)由n＝k推证n＝k＋1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把n＝k时的结论作为条件应用上. 随堂演练 1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( ) A.n＝1成立 B.n＝2成立 C.n＝3成立 D.n＝4成立 解析 因为多边形边数最少的是三角形，故应选C. 答案 C