大学课件：数学归纳法及原理
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选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
数学归纳法课件
更深入的学习和研究
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
2024年完整版《数学归纳法》课件
2024年完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的原理，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤及运用。
教学重点：理解数学归纳法的原理，能够运用数学归纳法解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。
2. 例题讲解以教材中的一个例题为例，详细讲解数学归纳法的证明步骤。
a. 基础步骤：验证命题在第一个自然数上成立。
b. 归纳步骤：假设命题在第n个自然数上成立，证明命题在第n+1个自然数上也成立。
3. 随堂练习让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的数学问题，巩固所学知识。
4. 知识拓展介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。
六、板书设计1. 《数学归纳法》2. 主要内容：a. 数学归纳法的原理b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明2^n > n (n为自然数)2. 答案：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/21. 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
2. 假设当n=k时等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2。
当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。
所以，等式在n=k+1时也成立。
综上，等式对所有自然数n成立。
b. 证明2^n > n (n为自然数)1. 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
2. 假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。
当n=k+1时，2^(k+1) = 2^k 2 > 2k > k+1。
选修4-5数学归纳法PPT
应用
双数学归纳法在证明一些与两个自然数集有 关的定理时非常有用，例如排列组合中的一 些问题。
反向数学归纳法
定义
反向数学归纳法是一种从特殊到一般的归纳推理方法 ，它从给定的特殊情况出发，逐步推导出一般情况。
应用
反向数学归纳法在证明一些与自然数有关的定理时非 常有用，例如一些与自然数有关的数学问题。
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05 数学归纳法的扩展与推广
超数学归纳法
定义
超数学归纳法是一种对自然数和集合进行归纳推理的方法，它不仅考虑自然数的性质， 还考虑集合的性质。
应用
超数学归纳法在证明集合论中的一些定理时非常有用，例如集合的基数、集合的运算性 质等。
双数学归纳法
定义
双数学归纳法是一种对两个自然数集进行归 纳推理的方法，它需要同时考虑两个自然数 集的性质。
然后根据已知条件或已知事实，推导出当$n=k+1$ 时命题与当$n=k$时命题之间的关系。
结论
通过初始状态和递推关系，得出对于所有正整 数$n$，命题都成立的结论。
04 数学归纳法的应用实例
等差数列求和公式
要点一
等差数列求和公式
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项， $d$是公差，$n$是项数。
反向证明法
反证假设
首先假设数学命题不成立，即假设存在某个正整数 $n$使得命题不成立。
导出矛盾
然后根据这个假设，推导出与已知条件或已知事实相 矛盾的结论。
结论
通过反证假设和导出矛盾，得出原命题成立的结论。
递推证明法
初始状态
首先验证数学命题在初始状态下的成立情况 ，即当$n=1$时，命题成立。
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
数学归纳法 课件
数学归纳法
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0， 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定 都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心 在第二步证明 n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n＝k 时命题成立”作为条件来导出 “n＝k＋1”，在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子 写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核 心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明不等式
[典例] 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋31n＞56(n≥2，n∈N*) [证明] (1)当 n＝2 时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立． 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＞56.
则当 n＝k＋1 时，k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋31k＋3k1＋1＋
1 3k＋2
＋
1 3k＋1
＝
1 k＋1
＋
1 k＋2
＋
…
＋
1 3k
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
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则命题T对一切自然数正确. .
证明 如果命题T不是对所有自然数都成立，那么使 命题不成立的自然数集合M就是非空集合，由定 理2，M中含有一个最小数k，且k>1(因为k=1命题
正确)，所以对一切n < k,命题T成立，又由（2）
推出命题T对k正确. 结论矛盾. 下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法 而不能应用第一数学归纳法解题的例子
命题3 若 b > a,则b a+1. (即数a与a+1是邻接的两个数，中间没有其他
自然数，不存在b，使得a+1>b>a. )
证明 若b > a,则b = a + k. 因为k 1，所以a+k a+1，即b a+1.
最小数原理
定理2 自然数的任何非空集合A含有一个最小数，
即存在一个数 a A ，使得对集合A中任意数b， 均有 b a .
证明 设M这样的集合：
对于M中任意元素 m M ，对A中任意元素a，均
有
am
,则M是非空集合.
因为1 M ，由归纳公理（4）知，一定存在一 个元素 m M . ， 但 m M ,即 m 1 M 可能.
否则由 m M m M 得M=N，这显然不
现在我们证明 m A . 因为若 m A 则A中任意元素a>m.
足够了: 但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是
不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳 法的严格证明.
定理1 如果某个命题T，它的叙述含有自然数，如果
命题T对n=1是正确的，而且假定如果命题T对n的正确性
就能推出命题T对n+1也正确，则命题T对一切自然数都成 立.（第一数学归纳法）
证明 设M是使所讨论的例题T正确的自然数集合，则 （1） 1 M .
，有
假设命题对 n k 正确，则
ak 3ak 1 2ak 2 3(2k 1 1) 2(2k 2 1)
= 3 2 3 2 所以命题对n=k正确.
k 1 k 1
2 2k 1
例3 已知对任意自然数 n N 均有
3 a i ( ai ) i 1 i 1 n n 2
那么当 k n 1 时,有
12 22 n2 (n 1)2 (12 22 n2 ) (n 1)2
= =
=
=
n(n 1)(2n 1) 6(n 1) 6 (n 1) n(2n 1) 6(n 1) 62 ( n 1)(2n 7 n 6) 6
数学归纳法及原理
数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然
数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n-1正确，
就能推出命题对
n 也正确，则命题对所有自然数都正
确. 通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也 正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有 自然数都正确. 对于中学生来说，这样形象地说明就
a m 1
所以 m 1 M ，与 m 1 M
所以m即为A中最小元素. 上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公 理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第 二数学归纳法.（第二数学归纳法）
矛盾。
定理3 对于一个与自然数有关的命题T，若 (1)当n=1时命题T正确;
(2)假设命题T对n < k正确，就能推出命题T对n=k正确.
n( n 1)(2n 1) (n 1) 2 6 2
=
(n 1)((n 1) 1)(2(n 1) 1) = 6 所以公式对n+1也正确.
(n 1)(n 2)(2n 3) 6
在利用数学归纳法证明某些命题时，证
明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是
n-1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第 二数学归纳法. 在叙述第二数学归纳法之前， 我们先证明几个与自然数有关的命题.
设 n M ，则命题T对n正确，这时命题对 n 1 n
也正确，即 （2）n M . 所以由归纳公理D，M含有所有自然数，即命题T对所 有自然数都成立.
例1 求证
n(n 1)(2n 1) 6 证明 （1）当n=1时，有 1 (1 1) (2 1 1) 2 1 1 6 所以n=1，公式正确. （2）假设当 k n 时,公式正确， 即 n(n 1)(2n 1) 12 22 n 2 6 12 22 n 2
但是
3 2 2 a ( a ) ( a a ) i i i k 1
2 ( ai ) 2 2( ai )ak 1 ak 1 i 1
k 1 i 1
k 1 i 1
k
k
k 1 i 1
i 1
命题1 若a > b,则a + c > b + c. 证明 因为a > b 所以 a = b + k a + c= b + k + c=（b + c）+ k 所以 a + c > b + c 命题2 1是自然数中最小的一个. 证明 若 a 1 ，则a有前元b，所以 b a , a = b + 1 ( a>1. )
(这里ai
0
)
求证 : an n 3 2 a1 a1 ，得a1 证明（1）当n=1时, 由 所以命题对n=1正确. （2假设 n k 命题正确，这时 当 n=k+1时， a , a k 1 1 a2 2
k
k 1 i 1a ( a ) a i i k 1 i k 1 i 1 i 1
例2 已知数列
3 an 3an1 2an2 且 a1 , a0 2 2 求证 ： an 2n 1
3 1 a 3 a 2 a 3 2 2 2 1 证明 对 n 1 ,有 1 0 1 2 所以命题对 n 1 正确。
a1, a0, a1, a2 an
证明 如果命题T不是对所有自然数都成立，那么使 命题不成立的自然数集合M就是非空集合，由定 理2，M中含有一个最小数k，且k>1(因为k=1命题
正确)，所以对一切n < k,命题T成立，又由（2）
推出命题T对k正确. 结论矛盾. 下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法 而不能应用第一数学归纳法解题的例子
命题3 若 b > a,则b a+1. (即数a与a+1是邻接的两个数，中间没有其他
自然数，不存在b，使得a+1>b>a. )
证明 若b > a,则b = a + k. 因为k 1，所以a+k a+1，即b a+1.
最小数原理
定理2 自然数的任何非空集合A含有一个最小数，
即存在一个数 a A ，使得对集合A中任意数b， 均有 b a .
证明 设M这样的集合：
对于M中任意元素 m M ，对A中任意元素a，均
有
am
,则M是非空集合.
因为1 M ，由归纳公理（4）知，一定存在一 个元素 m M . ， 但 m M ,即 m 1 M 可能.
否则由 m M m M 得M=N，这显然不
现在我们证明 m A . 因为若 m A 则A中任意元素a>m.
足够了: 但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是
不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳 法的严格证明.
定理1 如果某个命题T，它的叙述含有自然数，如果
命题T对n=1是正确的，而且假定如果命题T对n的正确性
就能推出命题T对n+1也正确，则命题T对一切自然数都成 立.（第一数学归纳法）
证明 设M是使所讨论的例题T正确的自然数集合，则 （1） 1 M .
，有
假设命题对 n k 正确，则
ak 3ak 1 2ak 2 3(2k 1 1) 2(2k 2 1)
= 3 2 3 2 所以命题对n=k正确.
k 1 k 1
2 2k 1
例3 已知对任意自然数 n N 均有
3 a i ( ai ) i 1 i 1 n n 2
那么当 k n 1 时,有
12 22 n2 (n 1)2 (12 22 n2 ) (n 1)2
= =
=
=
n(n 1)(2n 1) 6(n 1) 6 (n 1) n(2n 1) 6(n 1) 62 ( n 1)(2n 7 n 6) 6
数学归纳法及原理
数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然
数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n-1正确，
就能推出命题对
n 也正确，则命题对所有自然数都正
确. 通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也 正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有 自然数都正确. 对于中学生来说，这样形象地说明就
a m 1
所以 m 1 M ，与 m 1 M
所以m即为A中最小元素. 上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公 理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第 二数学归纳法.（第二数学归纳法）
矛盾。
定理3 对于一个与自然数有关的命题T，若 (1)当n=1时命题T正确;
(2)假设命题T对n < k正确，就能推出命题T对n=k正确.
n( n 1)(2n 1) (n 1) 2 6 2
=
(n 1)((n 1) 1)(2(n 1) 1) = 6 所以公式对n+1也正确.
(n 1)(n 2)(2n 3) 6
在利用数学归纳法证明某些命题时，证
明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是
n-1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第 二数学归纳法. 在叙述第二数学归纳法之前， 我们先证明几个与自然数有关的命题.
设 n M ，则命题T对n正确，这时命题对 n 1 n
也正确，即 （2）n M . 所以由归纳公理D，M含有所有自然数，即命题T对所 有自然数都成立.
例1 求证
n(n 1)(2n 1) 6 证明 （1）当n=1时，有 1 (1 1) (2 1 1) 2 1 1 6 所以n=1，公式正确. （2）假设当 k n 时,公式正确， 即 n(n 1)(2n 1) 12 22 n 2 6 12 22 n 2
但是
3 2 2 a ( a ) ( a a ) i i i k 1
2 ( ai ) 2 2( ai )ak 1 ak 1 i 1
k 1 i 1
k 1 i 1
k
k
k 1 i 1
i 1
命题1 若a > b,则a + c > b + c. 证明 因为a > b 所以 a = b + k a + c= b + k + c=（b + c）+ k 所以 a + c > b + c 命题2 1是自然数中最小的一个. 证明 若 a 1 ，则a有前元b，所以 b a , a = b + 1 ( a>1. )
(这里ai
0
)
求证 : an n 3 2 a1 a1 ，得a1 证明（1）当n=1时, 由 所以命题对n=1正确. （2假设 n k 命题正确，这时 当 n=k+1时， a , a k 1 1 a2 2
k
k 1 i 1a ( a ) a i i k 1 i k 1 i 1 i 1
例2 已知数列
3 an 3an1 2an2 且 a1 , a0 2 2 求证 ： an 2n 1
3 1 a 3 a 2 a 3 2 2 2 1 证明 对 n 1 ,有 1 0 1 2 所以命题对 n 1 正确。
a1, a0, a1, a2 an