九年级数学期末复习003图形与证明
九年级数学期末复习003 图形与证明
班级 姓名 学号
一、知识点回顾：
1.等腰三角形的性质： . 等腰三角形的判定： .
1.平行四边形的性质： . 平行四边形的判定： .
2.矩形的性质： . 矩形的判定： .
3.菱形的性质： 菱形的判定： .
4．正方形的性质： . 正方形的判定： .
5．等腰梯形的性质： . 等腰梯形的判定： .
6．三角形的中位线定理： 梯形的中位线定理：
二、知识技能训练:
1.四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从四个条件中选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ）
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
2.下列命题中是真命题的是 （ ）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D ．两边相等的平行四边形是菱形
3.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5
A =，BE=2，则tan ∠DBE 的值是( )
A ．
12 B ．2 C
4.边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是 （ ）
A ．2－33
B ．3
32 C ．2－43 D ．2
5.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是 （ ）
A ．1.5
B ．2
C ．2.25
D ．2.5
6. 如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C 的小路（M 、N 分别是AB 、CD 中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了 （ ）
A. 7米
B. 6米
C. 5米
D. 4米
7.如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 点Ｄ在OA 上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P 是OB 上的一个动点，试求PD +P A 和的最小值是 （ ）
A ．102
B ．10
C ．4
D ．6
8. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．
9.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.
10.如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P 在BC 上移动,则当PA+PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为 ( ) A.17172 B.17174 C.17178
D.3 11.如图,梯形ABCD 中,∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P,若EF=3，则梯形ABCD 的周长为 ( )
A. 9
B. 10.5
C. 12
D. 15
12.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,对角线AC ⊥BD 于点O,AE ⊥BC,DF ⊥BC,垂足分别为E 、F,设AD=a,BC=b,则四边形AEFD 的周长是 ( )
A ．3a+b
B ．2(a+b)
C ．2b+a
D ．
4a+b
B
13.如图,在梯形ABCD 中,AB//DC,∠D=90o
,AD=DC=4,AB=1,F 为AD 的中点,
则点F 到BC 的距离是 ( )
A.2
B.4
C.8
D.1
14.若梯形的面积为12cm 2,高为3cm,则此梯形的中位线长为_________cm.
15.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形,四边形ABCD 还应满足的一个条件是______________. 16.已知,如图,梯形ABCD 中,DC ⊥BC,沿对角线BD 折叠,点A 恰好落在DC
若AD=2,BC=8,则A ’B= . 若∠A ´BC ＝30°,则∠A ´BD 的度数为17.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC=8,∠B=60°,BC=12,连结AC.
(1)求tan ∠ACB 的值;
(2)若M 、N 分别是AB 、DC 的中点,联结MN,求线段MN 的长.
18.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC ,AB=DC=5,AD=6,BC=12.动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动,动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动.两点同时出发,当P 点到达C 点时,Q 点随之停止运动.
(1)梯形ABCD 的面积等于 ;
(2)当PQ ∥AB 时,P 点离开D 点的时间等于 秒;
(3)当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时,P 点离开D 点多少时间?
A D C
B
19.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．
(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；
(2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
20.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，AD ＝3，动点M 、N 分别从D 、B 同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M 沿DA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动。
过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连结MP 。
已知动点运动了x 秒。
⑴请直接写出PN 的长；（用含x 的代数式表示）
⑵若0秒≤x ≤1秒，试求△MPA 的面积S 与时间x 秒的函数关系式，
并求S 的最大值。
⑶若0秒≤x ≤3秒，△MPA 能否为一个等腰三角形？若能，试写出所有x 的对应值；若不能，试说明理由。
M
A B C
N
D
P。
北师大版九年级数学上第三章证明(三)复习课课件
回顾
思考
正方形的判定
D
定理:有一个角是直角的菱形是正方形. A ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. 定理:对角线相等的菱形是正方形. ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形.
B A O B
C D
C
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.
B C
回顾
思考
等腰梯形的性质
A D
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
B
C
定理:等腰梯形的两条对角线相等. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴AC=DB..
A D
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾
回顾
思考
平行四边形的性质 平行四边形的性质
A C D
定理:平行四边形的对边相等.
′
∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴AB=CD,BC=DA. A 定理:平行四边形的对角相等. O ∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. M A 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. P B ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.
定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.
A D A O B C B C D
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直 平分,每条对角线平分一组对角. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平 分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和 ∠ABC.
九年级数学总复习图形的认识和证明 Ⅰ、三角形和相似形 一、考点分析及
九年级数学总复习图形的认识和证明Ⅰ、三角形和相似形一、考点分析及难点提示1．熟练掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质、判定及作图方法.2．熟练掌握三角形的中位线定理.3．三角形全等的证题思路4．等腰三角形的性质与判定提示：“三线合一”的应用是等腰三角形的重点,在证明过程中，常常要做辅助线�底边上的高,以便使用这个性质证明线段相等、垂直或角相等.5.Rt△知识注意问题(1)勾股定理常要用到：两条直角边的平方和等于斜边的平方.(2)直角三角形中线定理也是常用到的.如图，由∠C=90°，D为AB中点，得 .6.相似三角形三角形相似的判定：两角对应相等；三边对应成比例；两边对应成比例且夹角相等.相似比问题：线段比等于相似比；面积比等于相似比的平方.相似三角形中常见的基本图形如图：注意：在判断相似三角形的有关问题时，不要忽视公共角和对顶角，另外，很多题目的结论是等积式，只要把等积式化成比例式，就能找到解决问题的途径.7．相似三角形的应用（1）位似图形.（2）平行投影在太阳光下同一时刻的物高与影长成比例.即8．黄金分割（1）定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫黄金分割点，叫黄金比.（2）比值： .（3）主要是应用于计算和作图（黄金分割点的几种作法，作黄金矩形）.9．几何证明中辅助线的特殊作法1.平移法：平行移动线段到相关位置.2.对称法：利用轴对称和中心对称判断相关线段的关系.3.旋转法：利用旋转作图的性质判断相关线段和角的关系.二、三角形部分典型题1．已知A、B两点，以A、B为其中两个顶点，作等腰直角三角形，一共可作个.2．如图，平面镜A与B之间的夹角为110°，光线经过平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为.3．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转45°.某一指令规定，机器人先向正前方行走1米，再左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，一共走了米.4．如图，OA=OB=OC，∠B=40°，∠C=25°，则∠BOC的度数为.5．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数为.6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，要使△ABD与△ACD全等，只需再添上一个条件，这个条件可以是.7．已知三角形的三边是方程的两根，那么它的周长是.8．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需要在它的内部添加一些钢管EF、FG、GH……，添加的钢管的长度都与OE相等，那么最多能添加这样的钢管根.9.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1,求AG的长.10．如图是一三角形的纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角C沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，求∠2的度数.11．如图，在△ABC中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE相交于F，∠ABC=45°，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论，组成一个正确命题，并证明这个命题.①AD⊥BD；②AE⊥BF；③AC=BF.12．如图，在3×3方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.请画出三个面积为3的格点三角形.要求：①与例图不同；②不重复（两个全等图形视为重复）；③在提供的3张图纸上各画一个.三、实战练习（一）填空题1．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是_________.2．如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是_________度.3.如图，D是ΔABC的AB边上的一点，过点D作DE//BC，交AC于E.已知AD∶DB=1∶3，那么SΔADE∶SΔABC=_________.（二）解答题1．如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR//BE.求证：ΔPQR是等腰三角形.2．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ΔADQ∽ΔQCP.3．已知：如图，正方形DEFG内接于RtΔABC,EF在斜边BC上，EH⊥AB于H.求证：（1）ΔADG∽ΔHED；（2）EF2=BE·FC.四、相似形部分典型题1．如图，把菱形ABCD沿着对角线的AC方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，若，且，则菱形移动的距离AA′是.2．上午10时，校园内的旗杆影长为15米，与此同时，高为1.5米的测杆影长为2.5米，则旗杆的高是.3．已知，如图，矩形EFGH的顶点在△ABC的三边上，AD⊥BC，若BC=10cm，AP=16cm，矩形的周长为24cm，则△ABC的面积是.4．已知，1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式.5．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么，这棵大树高为米.6．在矩形ABCD中，DH⊥AC于点H，若AH=6，CH=2，则S矩形ABCD= .7．已知：如图，正方形ABCD中，DC=12，E是CD上的一点，DE=5，AE的中垂线分别交AD、BC于M、N，垂足为P，则PM：PN= .8．在梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角线相交于点O，若AD：BC=2：3，那么S△AOD：S△ACD= .9．已知△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请你找出一个与△DEF相似的三角形，并加以证明.10．一块直角三角形木板的一条直角边长AB为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙二位同学的加工方法如图，请你用学过的知识，说明谁的加工方法符合要求.11．如图，ABCD是平行四边形，P是BD上的任意一点，过P的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC的延长线于G、H.求证：（1）PE·PG=PF·PH；（2）当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明.12．点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.13．已知直线L是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P为L上的一个动点，（点P与D不重合），连结AP、BP，作AE⊥BP于点E，交L于点C，连结BC.试问：当点P在L上运动且与点D的距离变大时，S△PAB·S△CAB 的值变小、变大、还是不变？提出你的猜想并加以证明.14．点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图中已有的线段中的一组即可），并证明你的猜想.Ⅰ、三角形与相似形参考答案二、三角形部分典型题1．6 2．35°3．8 4．130°5．15°6．略7．5 8．7 9．10.40°11.略12.略三、实战练习（一）1．30cm22．125 3．1：16（二）1．证△ABC≌△DEF2．略3．略.证△CFG≌△BED四、相似形部分典型题1．2．9m 3．100cm24．略5．9.4 6．7．5：19 8．2：59.△GAD；△ECH；△GFH；证明略10. ；11.略.PC2=12.CD2=AC·DB；120°13，不变.证△ACD≌△PAD；14，证△ABE∽△ACD；Ⅱ、四边形一、考点分析四边形一部分，是三角形内容的应用和深化.这部分中考试题所考查的知识点主要有：1.根据多边形的内、外角和公式确定多边形的边数.2.会借助平行四边形的性质定理解决线段、角相等和求值等问题.3.能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形.4.会根据平行四边形的性质定理确定特殊四边形具有的性质，并结合其定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题.5. 明确轴对称图形、中心对称图形的特性及其规律，并能结合实际图形予以辨认.6. 利用特殊四边形的面积公式（菱形、梯形面积等）解决与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折痕问题.二、难点提示1．四边形一章是平行线和三角形知识的应用和深化，因此通常需要添加辅助线把四边形转化为三角形，把梯形转化成平行四边形和三角形，把多边形转化为三角形或特殊四边形.2．矩形、菱形、正方形的性质都是在平行四边形的基础上扩展的，而平行四边形的有关性质和定理通常是证明线段相等，两个角相等，两条直线平行或垂直的依据.3．连接平行四边形和特殊平行四边形的对角线是常添辅助线，它可将四边形问题转化为三角形问题解决.4．另一个容易出问题的地方，是梯形辅助线的作法，常见的辅助线总结如下：（1）过上底一端点，作一腰的平行线，如图（1）.（2）过上底两端点，作下底的垂线，如图（2）.（3）过上底的一端点作一对角线的平行线如图（3）.（4）连结上底一端点和一腰中点的直线与下底延长线相交，通过构造全等三角形进行证明和计算如图（4）.（5）延长梯形的两腰，如图（5）.（6）作梯形的中位线，如图（6）.5.菱形的面积公式(a, b为菱形对角线的长度).S菱形=ch (c, h分别为菱形边长和边上的高) .6．折痕问题的关键（1）解决折痕问题的基本原理是轴对称性质.（2）解决折痕问题的基本途径是借助勾股定理构建方程.三、四边形部分典型题1.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,对角线AC=6,BD=8,则面积是.2.已知菱形的两条对角线长分别是4cm和10cm,则它的边长是.3.已知：平行四边形ABCD中,M是对角线AC上的一点,连结BM、DM,则图中面积相等的三角形有对.4.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是( )5.在平行四边形ABCD中,AB=6，AD=8，∠B是锐角,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,如果AE过BC的中点,那么平行四边形ABCD的面积是.6.一幅美丽的图案,在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中三个分别是三角形,正四边形, 正六边形,那么另外一个是正形.7.如图,在菱形ABCD中, ∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则∠CDF等于.8.A、B、C、D在同一平面内,从⑴AB∥CD；⑵AB=CD；⑶BC∥AD；⑷BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种.9.如图,把一个正方形三次对折后,沿虚线剪下,则所得的图形是( )10.有一腰长为5cm,底为4cm的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有个不同的四边形.11.把一块正六边形硬纸片作成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒,需在每一个顶点处剪去一个四边形，那么剪去的四边形中最小的角是度.12.一个画家把12个边长是1cm的正方体在地面上摆成三层,最上层一块,第二层四块,然后,他把露出的表面都涂上颜色,那么被涂上颜色的总面积是.13.若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状,使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是度.14.在矩形ABCD中,AB=3，BC=2，E为BC的中点,F在AB上,且BF=2AF,则四边形AFEC的面积为.15.如图，用一条宽相等的足够长的纸带,打一个结,然后轻轻拉紧,压平,就可以得到一个正五边形ABCDE,其中∠BAC=度.16. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB 和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是.17．如图，正方形硬纸片的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿虚线剪开，拼成的图中的阴影部分面积是.18．如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据图形，添加一个条件，使四边形AECF是菱形，则添加的一个条件可能是.19．如图，边长是3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转300后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是.20．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF⊥AE于F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先写出你的猜想，再加以证明.21．把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（直角边长为4）叠放在一起，且使三角板EFG的直角顶点G 与三角板ABC的斜边中点O重合.现在将三角板EFG绕点O顺时针旋转一个锐角，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分.（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GHK的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.四、实战练习（一）选择题1．在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若ΔAEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A. B. C. D.22．已知下列图形：（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形.其中是轴对称图形，而不是中心对称图形的序号是（）A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)3．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A.4个B.3个C.2个D.1个（二）解答题1．已知：如图，□ABCD中，E是AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F.求证：AB=AF.2．如图，将□ABCD沿AC折叠，点B落在B′处，AB′交DC于点M.求证：折叠后重合的部分（即ΔMAC）是等腰三角形.3．已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD<BC，且AD=5，AB=DC=2.（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.①求证：ΔABP∽Δ在DPC；②求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x, CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数y的取值范围；②当CE=1时，求出AP的长.Ⅱ、四边形参考答案三、四边形部分典型题1．24 2．3．三4．D 5．6．四边7．60°8．四9．C 10.四11.60 12.33cm213.30 14.2 15.36 16.略17.4 18.AE=CE 19.20.BF=DE 21.BH=CK；不变；S=4；；0＜x＜4四、实战练习（一）1．A 2．D 3．B（二）1．证△AEF≌△DEC2．证∠BAC=∠MAC=∠ACM3．⑴①略②1、4 ⑵①；1＜x＜4 ②AP=4Ⅲ、解直角三角形一、考点分析及难点提示1．特殊角的三角函数值，可利用特殊的直角三角形三边的比进行记忆2.解直角三角形(1)直角三角形角的关系：∠A+∠B=90°.(2)直角三角形边的关系：a2+b2=c2 .(3)直角三角形的边角关系：, , , .在直角三角形中，除直角外的其余五个元素中，已知其中两个（至少有一个是边），即可求出其余三个.3.应用问题直角三角形边角关系的应用类型主要归结为：求解距离、测量物体高度、度量角度、计算面积等解直角三角形的数学问题.步骤为：画出示意图，把实际问题抽象成数学问题；找出直角三角形或通过作辅助线构造直角三角形；利用直角三角形边角关系求解.(1)仰角、俯角的概念如图1所示，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角.(2)坡度（坡比）、坡角的概念如图2所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即.这里，α是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角.（3）方向角如图3所示，视线（视点与目标的连线）与指北（南）线的夹角.（4）直角三角形应用题的常用图形二、解直角三角形部分典型题1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=6,D是AC上一点，,则AD的长是.2．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着坡角为30°的山坡前进1000米，到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.01米）.3.升国旗时，某同学站在离旗杆24米处行注目礼，他的视线的仰角是30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度是.4．直角三角形的周长是，斜边上的中线是1，则它的面积是.5．如图，在高为2米，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米.（精确到0.1米）6．如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE:OD=1:2，,则DE=cm.7．如图，是一条山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°，为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°.（1）求山坡路AB的高度BE；（精确到0.01米）（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（精确到0.01米）(参考数据s in5°=0.0872,cos5°=0.9962,sin12°=0.2079,cos12°=0.9781)8．如图，甲乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具忘在乙船上，于是甲船快速沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇.（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？9．如图，某货船以每小时20海里的速度把一批重要物质由A处运往正西方向的B处，经过16小时的航行到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门的通知，一台风中心正以每小时40海里的速度由A向北偏西60°的方向移动，距离台风中心200海里的圆形区域（包括边界）都会受到影响.(1) 问B处是否会受到影响？请说明理由；(2) 为了避免受到台风的影响，该货船应在多少小时内卸完货物？10．如图，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°,∠BPO=30°，计算此车从A到B的平均速度是多少？（结果保留四个有效数字）并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度.11．在一次实践活动中，某课题小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案，①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α；②量出测点到旗杆底部的水平距离AN=m；③量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度MN的方案.要求：(1)在图中，画出你测量小山高度的示意图，并标出适当的字母；(2)写出你的设计方案.三、实战练习（一）填空或选择1.在△ABC中，若sinA=1，tanB=，则∠C=度.2.在△ABC中，若∠C=90°，∠A=45°，那么tanA+ sinB= ，△ABC为对称图形（只填轴或中心）.3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，sinA+cosB的值等于（）A. B.1 C. D.4.菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α,则下列式子正确的是（）A. B. C. D.5．计算：= .6.计算：= .7. 计算：＝＿＿＿＿＿.（二）证明与解答1.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，.求：（1）DC的长；（2）sinB的值.2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B = 30°，∠C = 45°，BD=10，求AC.3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B =60°。
初三数学上册知识点图形与证明
初三数学上册知识点：图形与证明1.1等腰三角形的性质和判定：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的过也相等(简称“等角对等边”)推论：等边三角形的每个内角都等于60º3个角都相等的三角形是等边三角形1.2直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角过对应相等的两个直角三角形全等(简写为“HL”) 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理：平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分定理：矩形的4个角都是直角矩形的对角线相等定理：菱形的4条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角注：菱形的面积S=底·高=1对角线·对角线正方形具有矩形和菱形的所有性质定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形反证法：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，从而证明了命题的结论一定成立。
定理：对角线相等的平行四边形是矩形有3个角是直角的四边形是矩形定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4边都相等的四边形是菱形推论：有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形在证明四边形为正方形时，可以说明它既是矩形又是菱形1.4等腰梯形的性质和判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形定理：等腰梯形同一底上的两底角相等等腰梯形的对角线相等1.5中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半注：梯形的面积公式：S=1(上底+下底)·高=中位线·高。
初三数学图形的认识、图形与证明知识精讲 北师大版
初三数学图形的认识、图形与证明知识精讲一. 本周教学内容：图形的认识、图形与证明（三）相似三角形二. 教学目标：通过对相似三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与相似三角形相关的问题四. 课堂教学：中考导航⎪⎩⎪⎨⎧黄金分割比例的性质成比例线段比例线段⎩⎨⎧相似三角形判定相似三角形性质相似三角形中考课程标准要求考点考纲要求 了解 理解 掌握 灵活应用 概念√ 性质 √ 比例线段黄金分割 √ 了解概念√ 相似三角形的判定 √ 射影定理 √ 相似三角形相似三角形的性质√ 位似图形位似√例1. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）答案：B例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE ＋PF 的值为（ ）A.512 B. 2 C.25D.513答案：A例 3. 某装饰公司要在如图所示的五角星形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯。
若)15(BC -=米，则需安装闪光灯（ ）A. 100盏B. 101盏C. 102盏D. 103盏答案：A例4. △ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ：FD=1：5，连接CF ，并延长交AB 于点E ，则AE ：EB 等于（ ）A. 1：8B. 1：6C. 1：9D. 1：10答案：D例5. （1）如图1所示，已知△ABC 中，AB>AC ，试用直尺（不带刻度）和圆规在图1中过点A 作一条直线l ，使点C 关于直线l 的对称点在边AB 上（不要求写作法，也不必说明理由，但要保留作图痕迹。
）图1（2）如图2所示，已知格点△ABC，请在图2中分别画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和格点△A2B2C2，并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于2，而△A2B2C2与△ABC的相似比等于5。
北师大初中九年级数学上册 第三章证明(三)复习课件ppt(优秀课件)
提示:作辅助线,连接BD,取BD的 中点Q,连接MQ,NQ.
P G A 1N D
则有QM∥DC,QN∥AB.
QM 1 DC,QN 1 AB.
2
2
Q.
B
M
C
由∠QNM=∠1,∠QMN=∠P,可得证.
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12
6.如图所示，在平行四边形ABCD中.点E、F在对角线AC上， 且AE＝CF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某 一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一 条线段相等（只须说明一组线段相等即可）. （1）连结____________； （2）猜想:____________＝______________； （3）说明所猜想的结论的正确性.
互相平分 既轴对称 且相等 又中心对称
菱形
对边平行、 对角相等、 互相垂直平分 四边相等 邻角互补 且平分对角
同上
正方形 同上
等腰 梯形
两底平行 不相等， 两腰相等 不平行。
四个角 是直角
互相垂直平分且 相等；平分对角
同一底上 的两个角 相等
对角线 相等
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同上
轴对称
4
几种特殊四边形的常用判定方法
（C ）
6.矩形具有平行四边形不一定具有的性质是 ( D ) A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线相等
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17
7.下列命题:
(1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形；
(2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
(3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
( D)
4.下列说法正确的是
( D)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
苏科版九年级数学全册知识点整理
圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对
应的其余各组量都分别相等。
5.3 圆周角 概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆 周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外
情况只要设问题为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）
；②
寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即
可根据其列出方程） 。
※处理问题的过程可以进一步概括为：
问题 分析 抽象
方程 求解 检验
解答
第五章 中心对称图形（二）
5.1 圆 定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。
2对角线相等的梯形是等腰梯形。 1.5 中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。
中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四
边形一定是平行四边形）。
原四边形对角线
中点四边形
相等
菱形
互相垂直
矩形
相等且互相垂直
径。
内心： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
5.6 圆与圆的位置关系 性质与判定：
如果两圆的半径分别为 R和r，圆心距为 d，那么
两圆外离←→ d＞R+r 两圆外切←→ d=R+r
北师大版九年级上册证明(三)复习课
证明(三)平行四边形的性质：平行四边形的判定方法：①平行四边形的对边平行；①两组对边分别______的四边形是平行四边形；②平行四边形的对边_______；②两组对边分别______的四边形是平行四边形；③平行四边形的对角_______；③一组对边______且______的四边形是平行四边形；④平行四边形的对角线_____________；④__________互相平分四边形是平行四边形；推论：夹在两平行线间的平行线段______. ⑤两组对角分别_______的四边形是平行四边形等腰梯形的性质：等腰梯形的常用判定方法：①等腰梯形___________的两个角相等；①同一底上的两个角相等的梯形是__________；②等腰梯形的两条对角线_______；②____________相等的梯形是等腰梯形.三角形中位线定理：三角形的________平行于第三边，且等于______________________.矩形的性质：矩形的常判定方法：①矩形的四个角都是_______；①有______角是直角的四边形是矩形；②矩形的对角线_________；②对角线相等的_____________是矩形；推论：直角三角形斜边上的中线如果一个三角形一边上的_____等于这边等于斜边的一半；的一半，那么这个三角形是_______________.菱形的性质：菱形的常用判定方法：①菱形的四条边________；①四条边相等的四边形是______；②菱形的对角线互相_______，并且___ ②__________互相垂直的平行四边形是菱形.______________________正方形的的性质：正方形的常用判定方法：①正方形的四个角都是_____，四条边都_____ ①有一个角是直角的菱形是正方形；②________的两条对角线相等，并且互相垂②对角线相等的________是正方形直平分，每条对角线平分一组对角；③对角线互相垂直的_______是正方形.中点四边形的判定①顺次连接任意四边形各边的中点，所得的四边形是②顺次连接对角线 的四边形各边的中点，所得的四边形是 ③顺次连接对角线 的四边形各边的中点，所得的四边形是 ④顺次连接对角线 的四边形各边的中点，所得的四边形是 一. 练习： (一)填空1. 如图1，在中，对角线相交于点O，AC⊥CD ，AO = 3，BO = 5，则CO =_____，CD=______，AD =________ 2. 如图2中，AB、BC 、CD 的长度分别为2x +1，3x ，x +4的周长是_____________3. 在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，若△ABC 的周长为30 cm ，则△DCE 的周长为__________4. 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠B=40°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=_____.5. 菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为___________，面积为____________.6. 中，∠A -∠B = 30°，则∠C = __________，∠D = __________.7. 判定一个四边形是正方形主要有两种方法，一是先证明它是矩形，然后证明______________，二是先证明它是一个菱形，再证明_____________________________. 8. 如图3，已知四边形ABCD 是一个平行四边形，则只须补充条件__________________，就可以判定它是一个菱形 (二)选择题1. 下列命题中错误的是 ( )A. 平行四边形的对角线互相平分；B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；C. 等腰梯形的对角线相等；D. 两对邻角互补的四边形是平行四边形.BD图3B图2图12. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 ( )A .内角和是360°； B. 对角相等； C. 对边平行且相等； D. 对角线互相垂直. 3. 平行四边形各内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是 ( ) A. 矩形； B. 平行四边形； C. 菱形； D. 正方形4. 如图4，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC= a cm ，∠A=60°，BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是 ( )A. 4a cm ；B. 5a cm ；C.6a cm ；D. 7a cm ；(三)解答、证明1. 已知：菱形ABCD 中，对角线AC = 16 cm ，BD = 12 cm ，DE ⊥BC 于点E ，求菱形ABCD 的面积和BE 的长.2. 如图6，四边形ABCD 中，AB=8 cm ，CD =9 cm ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求四边形EGFH 的周长.3、已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF 。
初三数学专题复习教案
初三数学专题复习教案【篇一：2016年数学中考第一轮复习整套教案(完整版)】中考数学一轮复习资料第一轮复习的目的1、第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过记忆关。
必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。
要求学生记牢认准所有的公式、定理，特别是平方差公式、完全平方和、差公式，没有准确无误的记忆。
我要求学生用课前5 ---15分钟的时间来完成这个要求，有些内容我还重点串讲。
（2）过基本方法关。
如，待定系数法求函数解析式，过基本计算关：如方程、不等式、代数式的化简，要求人人能熟练的准确的进行运算，这部分是决不能丢。
（3）过基本技能关。
如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。
做到对每道题要知道它的考点。
基本宗旨：知识系统化，练习专题化。
2、一轮复习的步骤、方法（1）全面复习,把书读薄:全面复习不是生记硬背所有的知识,相反,是要抓住问题的实质和各内容各方法的本质联系,把要记的东西缩小到最小程度,(要努力使自已理解所学知识,多抓住问题的联系,少记一些死知识),而且,不记则已,记住了就要牢靠,事实证明,有些记忆是终生不忘的,而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上,运用它们的联系而得到.这就是全面复习的含义（2）突出重点，精益求精:在考试大纲的要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌，会（能）两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点．在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多．”猜题”的人，往往要在这方面下功夫．一般说来，也确能猜出几分来．但遇到综合题，这些题在主要内容中含有次要内容．这时，”猜题”便行不通了．我们讲的突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容担挈整个内容．主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解．即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系，从比较中自然地突出主要内容．（3）基本训练反复进行:学习数学，要做一定数量的题，把基本功练熟练透，但我们不主张”题海”战术，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变．要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要作到不用书写，就象棋手下”盲棋”一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案．这就是我们在常言中提到的，在20分钟内完成10道客观题．其中有些是不用动笔，一眼就能作出答案的题，这样才叫训练有素，”熟能生巧”，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒．相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果，上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会作的题算错了，归为粗心大意，确实，人会有粗心的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会”粗心”地出错3、数学：过来人谈中考复习数学巧用“两段”法中考数学复习大致分为两个阶段。
湘教版九年级数学上册作业课件 第3章 图形的相似 章末复习(三)
第３章 图形的相似
章末复习(三)
知识点一 平行线分线段成比例
1．如图，在横格作业纸(横线等距)上画一条直线，
与横格线交于 A，B，C 三点，则 BC∶AC 等于
(C ) A．2∶3
B．2∶5
C．3∶4
D．3∶5
第1题图
2．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结 论一定正确的是( D )
＝AC＝
2 2
BC＝
2 2
×3
2 ＝3.∴AQ＝CQ－
AC＝92 －3＝32 ，AP＝AB－BP＝3－1＝2.在 Rt
△APQ 中，PQ＝ AQ2＋AP2 ＝ （32）2＋22
＝52 .
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10， AE＝4，AC＝( D ) A．8 B．9 C．10 D．12
第4题图
5．(天心区校级月考)如图，在三角形 ABC 中， D 为 BC 的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接 CF 交 DE 于 P 点，则DEPP 的值为__3___．
的面积比为( D )
A．13
B．14
C．15
D．16
第7题图
8．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交 BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的 长度为( D )
A．6 B．8 C．10 D．12
第8题图
9．(武陵区校级期末)如图．在▱ABCD中，E是BC上一点．BE∶EC＝ 2∶3，AE交BD于点F，则S△BEF∶S△BCD＝__4_∶__3_5_____．
九年级数学图形的认识、图形与证明七知识精讲 试题
九年级数学图形的认识、图形与证明〔七〕北师大版本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
【本讲教育信息】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明〔七〕 图形的对称、图形的平移与旋转二. 教学目的：通过对图形的对称，图形的平移与旋转根底知识的复习，解决中考中常见的问题。
三. 教学重点、难点：纯熟地解决与图形的对称，图形的平移与旋转相关的问题。
四. 课堂教学：中考导航一⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧利用轴对称设计图案镜面对称基本尺规作图性质定理及逆定理角平分线、垂直平分线图形的轴对称图形的中心对称图形的对称中考课程HY 要求一知识与技能目标考点 考纲要求 了解 理解 掌握 灵活运用轴对称的性质 √ 角平分线性质及判定 √ 垂直平分线性质及判定√ 图 形 的 对 称 镜面对称 √ 尺规作图 √ 基本作图利用轴对称设计图案√中考导航二⎪⎩⎪⎨⎧利用平移旋转设计图案图形的旋转图形的平移图形的平移与旋转中考课程HY 要求二知识与技能目标考点 考纲要求 了解 理解 掌握 灵活运用图形的平移 了解平移定义 掌握性质 √ 图形的旋转 探索旋转性质 理解其性质 √ 设计方案会用简单平移 旋转作图√【典型例题】例1. 以下由数字组成的图形中，是轴对称图形的是〔 〕答案：A例2. 如下图是一辆汽车车牌在水中的倒影，那么该车的牌照号码是〔 〕A. W17639B. W17936C. M17639D. M17936答案：D例3. 如下图，我们称每个小正方形的顶点为“格点〞，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形〞。
根据图形解答以下问题：〔1〕图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？〔写出变换过程〕〔2〕在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标。
方法一：将△ABC以点C为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C，再将△A1B1C向右平移3个格就得到△DEF。
方法二：将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；方法三：将△ABC以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1BC1，再将△A1BC向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向右平移7个格就得到了△DEF；方法四：将△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，再将△AB1C1向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向下平移5个格就得到了△DEF。