随机信号分析与处理第一讲
随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析第一章
的理论与方法，必然是“张冠李戴”
t
无法得到正确的处理结果。
14
随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所 遇到的大量信号均属于随机信号。如：
（1）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。 （2）－某交叉路口每天24小时测量的噪音的分贝记录。 （3）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。 （4）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。 (5)－反映地球物理特性的“地震信号”。 (6)－人说话时发出的“语音信号”。 （7）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。 (8)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
7
分析确定信号所用的数学工具有：微富积氏分变、换线、性拉代氏数变、换复、变等函等数
分析随机信号所用的数学工具有：随机概过率程论理论
上述的所有
数学工具
概率论研究的对象－－随机变量 X
随机过程理论研究的对象－－随机过程 X (t)
8
（一）课程的特点、地位、作用和任务：
20
教材及主要参考书
教材：随机信号分析基础（第4版） 王永德 王军 （编著）
电子工业出版社
参考教材：
李晓峰,周宁等编著 随机信号分析(第4版) 电子工业出版社
随机信号分析 赵淑清 郑薇（编著） 哈尔滨工业大学出版社
随机信号处理 陆光华 彭学愚 西安电子科技大学出版社
21
参考书籍
李晓峰,周宁等编著,随机信号分析(第4版)，电子工业出版社
29
30
1.1 概率的基本概念
定义(概率的统计定义) ：
在一定条件下,重复做 N 次实验, NA为 N 次实验中
事A发生的次数,如果随着
N
逐渐增大,频率
第六章随机信号分析与处理基础
– 例
汽车车架垂直加速度时间 历程记录曲线
图中每一条曲线xi(t)都是加速度时间历程的一次试验 记录。 x1(t),x2(t),…,xn(t)构成加速度时间历程的集合， 称为样本空间，记作X（t）。每一记录曲线称为一个 样本，记作xn(t)。 由图可见，各条曲线互不相同，显然不可能用明 确的函数式描述。 在任意时刻t1，加速度量值X（t）是一个随机变 量。全部加速度记录的样本空间是无穷多个随机变量 的集合。 这种随机现象的进行过程用随机过程来描述。
对于平稳随机信号，当满足下面条件时：
τ = t 2 − t1
有：
∞ Rxy (t1 ; t 2 ) = ∫−∞ ∫−∞ xy p ( x , y ;τ ) dxdy = Rxy (τ ) ∞
4）互协方差函数 ）互协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏 变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为数学期望） ：随机信号x(t)的所有样本函数在同一时刻取值的统 计平均值。
– 离散随机信号的均值：
E[ X (t )] = ∑ x( n) (t )P (t ) n
n=1
N
– 连续随机信号的均值：
∞ E[ X (t )] = ∫−∞ x(t )p( x; t )dx
2 2 ∞
其中， (t ) —均方差； σx 对于平稳随机信号：
D[ X (t )] = ∫−∞ ( x − mx ) 2 p ( x ) dx = σx
2 ∞
可见其方差也为一个与时间无关的常数。
﹡相关函数与协方差函数 相关函数与协方差函数： 1）自相关函数：用于反映随机信号在不同时刻的内在联系，表 ）自相关函数 达式为：
•
随机信号分类
随机信号分析与处理
一、基本概念1、随机过程随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬时的精确值，任一次观测值只代表在其变动范围内可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机信号的描述必须采用概率和统计学的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。
在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。
在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，以{x(t)}表示，即2、随机信号类型3、平稳随机过程平稳随机过程就是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。
例如，对某一随机过程的全部样本函数的集合选取不同的时间t进行计算，得出的统计参数都相同，则称这样的随机过程为平稳随机过程，否则就是非平稳随机过程。
如采样记录的均值不随时间变化4、各态历经随机过程若从平稳随机过程中任取一样本函数，如果该单一样本在长时间内的平均统计参数(时间平均)和所有样本函数在某一时刻的平均统计参数(集合平均)是一致的，则称这样的平稳随机过程为各态历经随机过程。
显然，各态历经随机过程必定是平稳随机过程，但是平稳随机过程不一定是各态历经的。
各态历经随机过程是随机过程中比较重要的一种，因为根据单个样本函数的时间平均可以描述整个随机过程的统计特性，从而简化了信号的分析和处理。
但是要判断随机过程是否各态历经的随机过程是相当困难的。
一般的做法是，先假定平稳随机过程是各态历经的，然后再根据测定的特性返回到实际中分析和检验原假定是否合理。
由大量事实证明，一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。
虽然有的不一定是严格的各态历经过程，但在精度许可的范围内，也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本(理论上应为无限多)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
随机信号分析课件1(常建平)
－课程的特点与研究方法－
❖ 学会用统计的观点来看研究对象－随机信号 ❖ 由于随机信号是随机变化和不确定的，只有它的统计规律才是
设事件A表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是 合格品。则
P( A B0 ) 1，
P( A
B3 )
C10 97
C10 100
0.73
P( A
B1 )
C10 99
C10 100
=0.90，
P( A
B4
)
C10 96
C10 100
0.65
P( A
B2
)
C10 98
C10 100
0.81，
由全概率公式求出 4 P( A) P(Bi )P( A Bi ) 0.815 i0
An1)P( A1 An2 )P( A1
An 1 ) An2 )
P( A1A2 A3 ) P( A3 A1A2 )P( A1A2 ) P( A1A2 ) P( A2 A1)P( A1)
P( A1 A2 A n ) P( An A1 An1) P( A3 A1A2 )P( A2 A1)P( A1)
在概率论的发展史上，人们曾针对不同问题，从不同角度
给出了概率的三种定义和计算方法。这三种定义和计算方法都 具有各自的适用范围，存在一定的局限性，但在三种定义下概 率的性质却是完全相同的。因此，人们从概率的性质出发，给 概率赋予一个新的数学定义，即概率的公理化定义。这个定义 只指明概率应具有的基本性质，不具体规定概率的计算方法。
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2
3
4
5
6
7
8
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10
27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。 主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。 办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析 根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随 机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
10
12
瑞利分布概率密度＝2
25
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
4
5
6
7
26
指数分布概率密度
26
对数正态分布（LogNormal）
为尺度参数 为形状参数
( Inx ) 2 1 f ( x) exp U ( x) 2 2 2 x
(0 m n)
X ~ B(n, p)
•泊松分布(Poisson distribution)
20
P( X k )
k e
k!
k 0,1,...
0
X ~ P( )
20
1.3 随机变量分布函数与概率密度
•分布函数 (CDF) 设X为随机变量，x为实数，定义 F(x)=P(Xx) 为X的概率分 布函数，简称分布函数。 •分布函数性质
f ( x)dx 1
随机变量落入( x1 , x2 ) 的概率
x2 x1
P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) f ( x)dx
23
•常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布
( x ) 2 f ( x) exp 2 2 2 1
2随机过程的基本概念 8学 7检测理论及噪声中 11学时 时 信号检测
3随机过程的线性变换 8学 时 8估计理论 11学时
13
4随机过程的非线性变 4学 习题课＋复习 10学时 换 时 • 如果研究单次试验的结果，表现为确定性的形式； 5窄带正态随机过程 8学 实验课 8学时 • 若关心平均特性，结果表现为随机或概率形式。 时
y
y2
x
0
28
y1
0
x
x1
x2
28
二维分布函数图解
二维随机变量落在某一区域的概率
•二维分布函数性质
0 F ( x, y) 1
F (, y) 0 F ( x,) 0
F ( x, ) FX ( x)
F (,) 0 F (, ) 1
边缘（Marginal）分布
F ( x2 ) F ( x1 ) 0
0 F ( x) 1
x 2 x1
P( X x) 1 F ( x)
右连续
F ( x ) F ( x)
21
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
3
-5
0
50
100
150
200
接收机噪声波形
3
随处可见的随机问题
•彩票问题 •股票问题 •世界杯预测 •天气预报 •器件使用寿命 •出租车等待时间 等
24
0 -4
标准正态分布函数
24
N(0,1)正态分布概率密度
瑞利分布（Rayleigh）
x x2 2 exp 2 ， x 0 f ( x) 2 0， x0
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
25
0 0
2
4
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
P{X 1} p, P{X 0} 1 p (0 p 1)
•二项分布 (Binomial distribution) •设随机试验E只有两种可能的结果 A 和 A ，且
P( A) p, P( A) 1 p q
那么在n次试验中事件A发生m次的概率为：
m m n m Pn ( X m) Cn p q
f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)
31
称随机变量X，Y独立
31
4
4
确定性与随机性问题
v
O
B
x
d
v2 d sin 2 g
•
5
如果研究单次试验的结果，表现为确定性的形式； 若关心平均特性，结果表现为随机或概率形式。
5
•
例 1 ：通信系统中的随机信号
移动通信
卫星通信
噪 声 信 源
6
发送设备
信 道 传 输
信
接收设备
宿
通信系统模型
6
例2：雷达系统中的检测与估计
13
14
军网网址：http://www.gfkd.mtn
14
评估方法
测试与平时成绩相结合
笔试：70% 作业：10% 实验：20% 考试时间：7.15晚
15
15
4、历史回顾（一）
•17～19世纪，贝努里(Bernoulli)、拉普拉斯 (Laplace)、马尔可夫(Markov)等数学家促进随机数学 的发展； •1933年苏联科学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)发表的 《概率论的基本概念》建立的随机数学的数学基础； •由维纳将随机过程和数理统计的观点引入通信、雷达 和控制中，建立了维纳滤波理论。 •1943年诺斯（North）的匹配滤波器理论； •1958年达尔波－鲁特(Davenport-Root)与李(Lee)的随 机信号分析等。
干扰 目标
气象杂波
目标回波
雷达
地杂波
内部噪声
7
影响雷达检测目标的因素
Radar： Radio Detection And Ranging
7
例3： 雷达目标识别
8
8
随机信号分析与处理可以说是在概率论的基础上
发展起来的。随着电子技术和通信技术的发展．在消息
传输与处理领域中，概率论、数理统计和信号理论相结 合，逐渐形成了一个理论分支，即随机信号的分析与处
22
F ( x) piU ( x xi )
i
x
22
•概率密度 (PDF) 随机变量X的分布函数的导数定义为它的概率分布密度，简 称为概率密度或分布密度，记为 f ( x) 。
dF ( x ) f ( x) dx
•概率密度性质
f ( x)
f ( x) 0
0
x1
x2
x
23
F (, y) FY ( y)
29
由二维分布函数可以求出一维分布函数
29
•二维概率密度
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
• 性质
f ( x, y) 0
F ( x, y)
x
y
f ( x, y)dxdy
f X ( x) f ( x, y)dy
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
X ~ N ( , 2 )
FX ( x)
x
( x ) 2 1 exp dx 2 2 2
( x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
x2 1 exp dx 2 2
11
2、课程学习的指导思想
建立有关随机问题的思维方法和应有的 知识水平；
初步具有描述和分析研究应用中随机问
题模型和统计特性的能力； 掌握信号检测与估计的基本方法；
建立进一步学习系统理论和阅读文献资
料关于随机过程分析与处理的必要背景知 识。
12
12
3、课程学习内容及安排
1随机变量基础 6学 6马尔可夫与泊松过 时 程 6学时
16
16
历史回顾（二）
•20世纪60年代初的卡尔曼(Kalman)滤波理论； •20世纪60年代中期休伯(P．J．Huber)提出鲁棒检测、鲁 棒估计和鲁棒滤波； •1967年伯格(Burg)提出最大熵谱分析法，谱估计进入现代 谱估计理论。 •非线性检测与估计问题； •1967年威得罗(B.Widrow)提出自适应滤波； •赫尔斯特朗(C.W.Helstrom)于1976年奠定的量子理论。