2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(文科)(6月份)(有答案解析)
2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数A. B. C. D.2.已知全集，集合，则A. B.C. D.3.已知等比数列前n项和是，且，，则A. B. 6 C. 或6 D. 或4.已知向量、满足，则向量，的夹角为A. B. C. D.5.用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，若输入k，n的值均是0，则输出T的值为A. 9B. 16C. 25D. 367.已知中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，，则sin A：A. B. C. D.8.若过直线上一点M向圆：作一条切线于切点T，则的最小值为A. B. 4 C. D.9.已知为第二象限角，，则A. B. C. 或 D.10.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D. ，十11.设A，B为双曲线：的左，右顶点，F为双曲线右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则A. 4B.C. 2D.12.已知函数，满足不等式在R上恒成立，在上恰好只有一个极值点，则实数A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在点处的切线方程为______．14.若实数x、y满足约束条件，则的最大值为______．15.一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度，水流速度，那么行驶航程最短时，所用时间是______附：，精确到．16.在三棱锥中，平面ABC，，，，，则三棱锥的外接球的半径______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和，，，．求数列的通项公式；若，求之和．18.某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查100名用户，根据这100名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为，，，．估计该地区用户对电讯企业评分不低于70分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；现从评分在的调查用户中随机抽取2人，求2人评分都在的概率精确到．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，在四边形ABCD中，，，，，，．证明：平面PAD；求B点到平面PCD的距离．20.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为，，满足．求椭圆的标准方程；若过椭圆左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆于M，N两点，问x 轴上是否存在一定点Q，使得成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由．21.已知函数，．求的单调区间；若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线C：为参数上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．求曲线，的直角坐标下普通方程；已知点Q在曲线上，求的最小值以及取得最小值时P点坐标．23.已知，．若关于x的不等式的解集为，求实数a的值；若时，不等式恒成立．求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为复数；故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．2.答案：C解析：解：因为全集，集合，．故选：C．先求出M，再利用补集的定义求出结论．本题考查集合的基本运算，是对基本知识的考查．3.答案：C解析：解：根据题意，设等比数列的公比为q，若，，则有，变形可得：，解可得或，当时，，当时，，故选：C．根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式可得，变形解可得q的值，据此计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据题意，设向量，的夹角为，又由，则有，变形可得．又由，则；故选：B．根据题意，设向量，的夹角为，由数量积计算公式可得，变形可得的值，结合的范围分析可本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．5.答案：D解析：解：用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，基本事件总数，其中奇数的个数，所有的三位数中是奇数的概率为．故选：D．基本事件总数，其中奇数的个数，由此能求出所有的三位数中是奇数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出T的值为16．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：A解析：解：由余弦定理可得，，解可得，，由正弦定理可得，sin A：：：3．故选：A．由已知结合余弦定理可求b，然后结合正弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．8.答案：D解析：解：圆：的圆心坐标为，半径为2．要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为．的最小值为．要使最小，则圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解．本题考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．9.答案：A解析：解：为第二象限角，又，，，将等式两边平方可得：，解得：，，．故选：A．由已知可求范围，，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求，的值，即可求解的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：若关于x的不等式恒成立，即任意，恒成立，令，，，令，，，所以在时，，单调递增，时，，时，，所以存在，使得，即，所以在时，，，单调递增，在时，，，单调递减，所以，将代入得，，所以，故选：C．根据题意得任意，恒成立，令，，只需，先求导得，令，，得，单调递增，时，，时，，存在，使得，即，，，将代入得，，所以，本题考查导数的综合应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：由题意可知双曲线的图形如图：设A，B为双曲线：的左，右顶点，F为双曲线右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，，，，所以，，，所以在直角三角形ABM中，．故选：A．画出图形，利用双曲线的性质，求出M坐标，然后转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.答案：D解析：解：不等式在R上恒成立，，，即，，函数在上恰好只有一个极值点，，即，，，解得，，，．故选：D．由题可知，函数在处取得最小值，即，所以，即，，由于在上恰好只有一个极值点，结合正弦函数的图象可知，，即，解得，由可得，所以，．本题考查正弦函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：由，得．，则函数在点处的切线方程为，即．故答案为：．求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究故曲线上某点处的切线方程，关键是熟记导数的运算法则，是基础题．14.答案：6解析：解：由实数x、y满足约束条件，作出可行域：联立，解得，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：6．故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：如图：行驶航程最短时，就是船垂直到达对岸，和速度为：．行驶航程最短时，所用时间是：．故答案为：．利用河的宽度为4km，结合船的静水速度船的速度，水流速度，利用数列的减法运算求出和速度，即可求解行驶航程最短时所用时间．本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，是基本知识的考查．16.答案：解析：解：，，，由余弦定理可得，外接圆的半径，设球心到平面ABC的距离为d，则．由勾股定理可得，故答案为：．由已知利用余弦定理求出BC，可得外接圆的半径，再由勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径．本题考查三棱锥的外接球的半径的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．17.答案：解：，，解得，．当时，；又当是，也适合，；，，，故．解析：先由求得b，进而求得，然后利用求得通项公式；先由中结论求得，进而求得，然后利用裂项相消法求．本题主要考查如何利用数列前n项和的表达式求通项公式及利用裂项相消法求数列的和，属于基础题．18.答案：解：该地区用户对电讯企业评分的分布评分频率因此评分不低于70分的概率为，对该电讯企业评分的中位数设为x，则；受调查用户评分在的有人，若编号依次为1，2，3，从中选2人的事件有13，14，23，24，共有种．受调查用户评分在的有人，若编号依次为1，2，3，，从中选2人的事件，同理可求有种，因此2人评分都在的概率．解析：利用频率分布直方图即可求出评分不低于70分的概率，再利用中位数左侧频率为即可求出中位数的估计值；求出受调查用户评分在和在的人数，再利用古典概型的概率公式即可算出结果．本题主要考查了频率分布直方图和古典概型的概率公式，是中档题．19.答案：证明：在平面ABCD中，，，，，即，又平面ABCD，则，，平面PAD．解：在平面ABCD中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，，，，又，则由可知：，，则，因此P点到平面PCD的距离为．解析：证明，，然后证明平面PAD．通过，转化求解P点到平面PCD的距离．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，点线面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．20.答案：解：设，则，，，则，椭圆的标准方程为．由知，且直线AM和AN的斜率存在，设直线AM和AN的方程分别为和，设，，联立，直线AM和椭圆交于A，M两点，，，同理，设x轴上存在一定点，使得成立，，，则，，，可得，因此x轴上存在一定点，使得成立．解析：设，利用直线的斜率关系，结合，求解a，b，然后求解椭圆方程．设直线AM和AN的方程分别为和，设，，联立直线方程与椭圆方程，求出M、N的坐标，设x轴上存在一定点，使得成立，，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：，定义域，求导数得：，若时，，因此在上单调递增；若时，，因此在上单调递减区间，在上单调递增．设，所以问题可转化为：任意，恒成立，求函数导数得：，在时，，在为增函数，则，符合题意，在时，由，令，，所以在上单调递增，所以，当时，在上，，，单调递增，，符合题意，当时，存在，使得时，，，单调递减，时，，，单调递增，所以，，不符合题意，综合以上可知：实数a的取值范围为．解析：定义域为，求导数得：，分两种情况若时，若时，分析单调性．设，所以问题可转化为：任意，恒成立，求函数导数得，分两大类讨论在时，在时，单调性，函数值取值范围；当时，再分两种情况当时，当时，分析单调性，函数值取值范围，进而得出答案．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．22.答案：解：由：消去参数t得到，所以曲线的直角坐标方程为．由曲线：，根据，整理得直角坐标方程为：．设，则P到直线：的距离为，当时，，当时，，所以当，且时，整理得，此时．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由得，又的解集为，所以当时，不合题意；当时，，有，则，不合题意；当时，，即有，解得；因为在恒成立，所以，即，即，所以，由，得；由，得在恒成立，所以．因为，所以．综上可知，实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的解法和已知解集，讨论，，结合方程解法，可得a的值；由题意可得在恒成立，所以，转化为，再由参数分离和恒成立思想，可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
福建龙岩市2020年高中毕业班六月份教学质量检查文科数学试题 含答案
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡
上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效.
已知数列 an 的前 n 项和 Sn, Sn =2n2 +bn,(n∈N* ),a3=11.
(1)求数列an 的通项公式;
(2)若 bn
=Leabharlann Sn n,求 Tn
=
1 b1b2
+
1 b2b3
+
+ 1 之和. bnbn+1
18. (本小题满分 12 分)
某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评
价情况，随机调查 100 名用户,根据这 100 名用户对该电讯企业的评分,绘制频率分布直方图,
12. 已知函数 f (x) = sin(x − )( 0) ,满足不等式 f (x) f (− 9 ) 在 R 上恒成立，在
4
6
（ ，3 ）上恰好只有一个极值点,则实数=__ . 22
3
A.
4
19
B.
18
27
C.
2
3
D.
2
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.函数 y = (2x2 +1)ex '在点(0,1)处的切线方程为_________________。
福建省龙岩市 2020 年高中毕业班六月份教学质量检查
文科数学
2020.6.5 本试题卷共 5 页,23 题(含选考题).全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩∁U B ＝ A ．{4，5} B ．{1，4，5} C ．{6，7} D ．{1，6，7}2. 设复数z 满足z ＝－3＋2ii (i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为 A ．－32 B.32 C ．±32 D ．14．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝A.13B.223 C ．－13 D ．－2235. 下列说法中，正确的是A ．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为“若b a >，则122-≤ba”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题6. 三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为 A.56B.45C.34D.238.下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A. 4πB. 2πC.43π D. π9. 函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B. C. D.10.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:E y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为A.2B.211. 函数()f x =的定义域为M,()g x =N ，则M N ⋂＝A ．[)1,-+∞B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．已知，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案
福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5} 2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B. y x 1=-C. y x 1=-D. xy 2=4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A. 6B. 6-C. 2-D. 45. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数6. 已知函数，且，则以下结论正确的是 A.B.C.D.7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A. 0B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=，则图中x 值为（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.110. 若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（ ）A.35 B. 25-C. -1D. 311.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ ,若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >> 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年福建省高考数学模拟试卷(文科)及答案解析
福建省普通高中高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．下列表示旅客搭乘动车的流程中，正确的是（）A．买票→候车厅候车→上车→候车检票口检票B．候车厅候车→买票→上车→候车检票口检票C．买票→候车厅候车→候车检票口检票→上车D．候车厅候车→上车→候车检票口检票→买票2．复数1﹣i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．关于衡量两个变量y与x之间线性相关关系的相关系数r与相关指数R2中，下列说法中正确的是（）A．r越大，两变量的线性相关性越强B．R2越大，两变量的线性相关性越强C．r的取值范围为（﹣∞，+∞）D．R2的取值范围为[0，+∞）4．若，则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．15．给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（）A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%7．若函数f（x）满足f（4）=2，且对于任意正数x1，x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f （x2）成立．则f（x）可能为（）A．B． C．f（x）=log2x D．f（x）=2x8．复平面上矩形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为2+3i、3+2i、﹣2﹣3i，则D点对应的复数是（）A．﹣2+3i B．﹣3﹣2i C．2﹣3i D．3﹣2i9．下表给出的是两个具有线性相关关系的变量x，y的一组样本数据：x34567y 4.0a﹣5.4﹣0.50.5b﹣0.6得到的回归方程为y=bx+a．若已知上述样本数据的中心为（5，0.9），则当x每增加1个单位时，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加7.9个单位D．减少7.9个单位10．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．23111．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a+b=c+d⇐a=c，b=d”；其中类比结论正确的情况是（）A．①②全错B．①对②错C．①错②对D．①②全对12．如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，那么|z+1+i|的最小值是（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若，则P，Q中较大的数是．14．若复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则z的虚部是．15．已知命题P：若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积．试根据命题P的启发，仿P写出关于四面体的一个命题Q：．16．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）实数m取什么数值时，复数z=（m﹣4）+（m2﹣5m﹣6）i分别是：（Ⅰ）实数？（Ⅱ）虚数？（Ⅲ）纯虚数？18．（12分）用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B是锐角．19．（12分）4月14日，某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如表：混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s总计4060（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值；（Ⅱ）利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？参考数据：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考公式：，其中n=a+b+c+d．20．（12分）已知a，b，c 是全不相等的正实数，求证：＞3．21．（12分）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的零件中有缺点的零件数随机器运转的速度而变化，如表为抽样数据：转速x（转/秒）1614128每小时生产有缺点的零件数y（件）11985（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）根据散点图判断，y=ax+b与哪一个适宜作为每小时生产的零件中有缺点的零件数y关于转速x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时生产的零件中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（参考公式：，．）22．（12分）已知数列{a n}满足a1=a，．（Ⅰ）请写出a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，不必证明；（Ⅲ）请利用（Ⅱ）中猜想的结论，求数列{a n}的前120项和．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．下列表示旅客搭乘动车的流程中，正确的是（）A．买票→候车厅候车→上车→候车检票口检票B．候车厅候车→买票→上车→候车检票口检票C．买票→候车厅候车→候车检票口检票→上车D．候车厅候车→上车→候车检票口检票→买票【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图．【分析】旅客搭乘动车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．【解答】解：旅客搭乘动车，应买票→候车→检票→上车，故选C．【点评】本题考查流程图的作用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2．复数1﹣i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先求出复数1﹣i的在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），得到复数1﹣i的在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：复数1﹣i的在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），因为﹣1＜0，1＞0，所以（1，﹣1）在第四象限，所以复数1﹣i的在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数z=a+bi（a，b∈R）与复平面的点（a，b）一一对应，属于基础题．3．关于衡量两个变量y与x之间线性相关关系的相关系数r与相关指数R2中，下列说法中正确的是（）A．r越大，两变量的线性相关性越强B．R2越大，两变量的线性相关性越强C．r的取值范围为（﹣∞，+∞）D．R2的取值范围为[0，+∞）【考点】BS：相关系数．【分析】根据题意，由两个变量的相关系数r与相关指数R2的意义，依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个选项：对于A、相关系数的绝对值|r|越大，越具有强大相关性，故A错误；对于B、个变量y与x之间的R2越大，两变量的线性相关性越强，B正确；对于C、r的取值范围为（﹣1，1），故C错误；对于D、R2的取值范围为[0，1]，故D错误；故选：B．【点评】本题考查两个变量的相关系数r与相关指数R2的意义，注意区分相关系数r 与相关指数R2的不同．4．若，则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：===i，则=1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α；结论是：a∥b；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．故选：A．【点评】本题通过演绎推理的三段论叙述，考查了空间中线面垂直的性质定理的应用问题，是基础题．6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（）A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据散点图中的点的分布，可以判断两个变化是否具有相关关系，根据点的单调性可以判断是正相关还是负相关，以及中位数．【解答】解：由散点图可知点的分布都集中在一条直线附近，所以由此可以判断两个变量具有相关关系，而且是正相关，再由散点图中点的个数得到中位数为最中间两数的平均数，则且脂肪含量的中位数小于20%，故选：B．【点评】本题主要考查利用散点图的判断变量相关关系已经线性相关性，比较基础．7．若函数f（x）满足f（4）=2，且对于任意正数x1，x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f （x2）成立．则f（x）可能为（）A．B． C．f（x）=log2x D．f（x）=2x【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】对A、B、C、D中的四种基本初等函数的运算性质逐一分析即可得到答案．【解答】解：对于A，∵，∴f（x1•x2）=≠+，故A错误；对于B，，同理可得f（x1•x2）≠f（x1）+f（x2），故B错误；对于C，∵f（x）=log2x，∴f（x1•x2）=log2（x1•x2）=log2（x1）+log2（x2）=f（x1）+f（x2）成立．故C正确；对于D，∵f（x）=2x，∴f（4）=24=16≠2，故D错误．故选：C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查基本初等函数的运算性质，属于中档题．8．复平面上矩形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为2+3i、3+2i、﹣2﹣3i，则D点对应的复数是（）A．﹣2+3i B．﹣3﹣2i C．2﹣3i D．3﹣2i【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义以及矩形的性质即可得到结论．【解答】解：根据复数的几何意义可得A（2，3），B（3，2），C（﹣2，﹣3），设D（x，y），，即（x﹣2，y﹣3）=（﹣5，﹣5），则，解得x=﹣3，y=﹣2，即D点对应的复数是﹣3﹣2i，故选：B．【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用矩形的对边平行且相等是解决本题的关键．9．下表给出的是两个具有线性相关关系的变量x，y的一组样本数据：x34567y 4.0a﹣5.4﹣0.50.5b﹣0.6得到的回归方程为y=bx+a．若已知上述样本数据的中心为（5，0.9），则当x每增加1个单位时，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加7.9个单位D．减少7.9个单位【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出a，b的关系，将样本数据的中心代入回归方程求出a，b的值，从而求出回归方程，求出答案即可．【解答】解：=（4+a﹣5.4﹣0.5+0.5+b﹣0.6）=（a+b﹣2）=0.9，故a+b﹣2=4.5，解得：a=6.5﹣b，将（5，0.9）代入方程得：0.9=5b+6.5﹣b，解得：b=﹣1.4，a=7.9，故y=﹣1.4x+7.9，故当x每增加1个单位时，y减少1.4个单位，故选：B．【点评】本题考查了求回归方程问题，考查样本数据的中心，是一道基础题．10．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．231【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．【解答】解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是231，故选D．【点评】此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．11．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a+b=c+d⇐a=c，b=d”；其中类比结论正确的情况是（）A．①②全错B．①对②错C．①错②对D．①②全对【考点】F3：类比推理．【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对2个结论逐一进行分析，不难解答．【解答】解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在有理数集Q中，若a+b=c+d，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故②正确；故选：D．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．12．如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，那么|z+1+i|的最小值是（）A．1 B．C．2 D．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，∴z的几何意义是以A（0，3），B（0，﹣3）为端点的线段AB，则|z+1+i|=|z﹣（﹣1﹣i）|的几何意义为AB上的点到C（﹣1，﹣1）的距离，则由图象知C到线段AB的距离的最小值为1，故选：A．【点评】本题主要考查点到直线的距离的求解，根据复数的几何意义进行求解是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若，则P，Q中较大的数是P＞Q ．【考点】72：不等式比较大小．【分析】作差利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：P﹣Q==＞0，∴P＞Q．故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了作差法、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．若复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则z的虚部是 3 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i（z+1）=﹣3+2i，得，∴复数z的虚部是3．故答案为：3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15．已知命题P：若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积．试根据命题P的启发，仿P写出关于四面体的一个命题Q：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积．【考点】F3：类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积．故答案为若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积．【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．16．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为10 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（m∈N*）的分解方法，从而求出m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，91是从3开始的第45个奇数当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个．故m=10．故答案为：10【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2017•泉州模拟）实数m取什么数值时，复数z=（m﹣4）+（m2﹣5m ﹣6）i分别是：（Ⅰ）实数？（Ⅱ）虚数？（Ⅲ）纯虚数？【考点】A2：复数的基本概念．【分析】（Ⅰ）直接由虚部为0求解一元二次不等式得m的值；（Ⅱ）直接由虚部不为0求解一元二次不等式得m的值；（Ⅲ）由实部为0且虚部不为0列式求解得答案．【解答】解：（Ⅰ）当m2﹣5m﹣6=0，即m=6或m=﹣1时，复数z是实数；（Ⅱ）当m2﹣5m﹣6≠0，即m≠6且m≠﹣1时，复数z是虚数；（Ⅲ）当m﹣4=0，且m2﹣5m﹣6≠0，即m=4时，复数z是纯虚数．【点评】本小题主要考查复数、虚数、纯虚数的概念等基础知识，考查解一元二次方程的运算求解能力，是基础题．18．（12分）（2017•泉州模拟）用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B是锐角．【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】利用反证法的证明步骤，即可证明．【解答】证明：假设在△ABC中∠B不是锐角，…（3分）则∠B是直角或钝角．…因为在△ABC中，∠C是直角，所以∠B+∠C≥1800．…（8分）由三角形内角和为1800，可知∠A≤00，…（10分）这与在△ABC中∠A∈（00，1800）相矛盾，…（11分）所以假设不成立，故∠B不是锐角，即命题成立．…（12分）【点评】本小题主要考查反证法、三角形内角和等基础知识，考查推理论证能力，考查分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2017•泉州模拟）4月14日，某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如表：混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s总计4060（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值；（Ⅱ）利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？参考数据：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考公式：，其中n=a+b+c+d．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据列联表中数据的关系求出s，t的值即可；（Ⅱ）通过计算k2的值，判断结论即可．【解答】解：（Ⅰ）s=40﹣25=15，t=30﹣25=5．…（4分）（Ⅱ）由已知数据可求得列联表的其它未知数据（如下表）：混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25530使用未经淡化海砂151530总计402060根据公式，得：，，计算1分）…（8分）因为7.5＞6.635，…（10分）因此，通过查找临界值表，可知，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．…（12分）【点评】本小题主要考查列联表、卡方公式、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力和数据处理能力．20．（12分）（2017•泉州模拟）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据a，b，c全不相等，推断出全不相等，然后利用基本不等式求得＞2，＞2，＞2，三式相加整理求得＞3，原式得证．【解答】解：∵a，b，c全不相等，∴全不相等∴＞2，＞2，＞2三式相加得，＞6∴＞3即＞3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．21．（12分）（2017•泉州模拟）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的零件中有缺点的零件数随机器运转的速度而变化，如表为抽样数据：转速x（转/秒）1614128每小时生产有缺点的零件数y（件）11985（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）根据散点图判断，y=ax+b与哪一个适宜作为每小时生产的零件中有缺点的零件数y关于转速x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时生产的零件中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（参考公式：，．）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据所给数据，画出散点图即可；（Ⅱ）根据散点图求出和规范性方程中的系数，从而求出回归方程即可；（Ⅲ）解关于x的不等式，求出满足条件的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）所作散点图如图： (2)（Ⅱ）根据散点图可判断y=ax+b适宜作为每小时生产有缺点的零件数y关于转速x 的拟合模型．…（3分）相关数据处理如下表：x i1614128y i1198525619614464x i y i1761269640…（6分）所以=0.73．…（8分）此时，=8.25﹣0.73×12.5=﹣0.875．…（9分）于是得到y关于x的回归方程为：．…（10分）（Ⅲ）由题意可得：，解得x≤14.9，所以机器的运转速度不能超过14.9转/秒．…（12分）【点评】本小题主要考查散点图、线性与非线回归方程判定、线性回归方程等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力与应用意识，考查化归与转化思想、数形结合思想等．22．（12分）（2017•泉州模拟）已知数列{a n}满足a1=a，．（Ⅰ）请写出a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，不必证明；（Ⅲ）请利用（Ⅱ）中猜想的结论，求数列{a n}的前120项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用递推关系可求得a2，a3，a4，a5．（Ⅱ）a n=（其中k∈N*）．（Ⅲ）由（II）利用分组求和方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）可求得a2=a+2，a3=﹣a+2，a4=﹣a+8，a5=a．（Ⅱ）a n=（其中k∈N*）．（Ⅲ）s120=30a+（30a+2+10+…+234）+（﹣30a+2×30）+（﹣30a+8+16+…+240）…（10分）=（2+10+...+234）+（2×30）+（8+16+ (240)=+60+=10860．【点评】本小题主要考查不完全周期数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，属于中档题．。
2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)(含答案解析)
2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数A. B. C. D.2.已知全集，集合，则A. B.C. D.3.设是等差数列的前n项和，且，，则A. 4B. 3C. 2D. 54.保护生态环境是每个公民应尽的职责某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的众数为A. 70B.C. 80D. 755.执行如图所示的程序框图，若输入k，n的值均是0，则输出T的值为A. 9B. 16C. 25D. 366.用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为A. B. C. D.7.在矩形ABCD中，，，平面上一点P满足，，则A. B. 3 C. 0 D. 18.已知函数在上有极值，则实数a的取值范围为A. B. C. D.9.在三棱锥中，平面ABC，，，，，则三棱锥的外接球的半径A. B. C. D.10.设A，B为双曲线：的左，右顶点，F为双曲线右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则A. 4B.C. 2D.11.已知数列满足，又的前项和为，若，则A. 13B. 15C. 17D. 3112.已知抛物线：和圆：，过圆上一点P作圆的切线MN交抛物线于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率时的直线方程为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在点处的切线方程为______．14.若实数x、y满足约束条件，则的最大值为______．15.一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度，水流速度，那么行驶航程最短时，所用时间是______附：，精确到．16.已知函数，满足不等式在R上恒成立，在上恰好只有一个极值点，则实数______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若，，．求sin B；求的面积．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，在四边形ABCD中，，，，，，．证明：平面PAD；求二面角的余弦值．19.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为，，满足．求椭圆的标准方程；若过椭圆左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆于M，N两点，问x 轴上是否存在一定点Q，使得成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由．20.由甲乙两位同学组成一个小组参加年级组织的篮球投篮比赛，共进行两轮投篮，每轮甲乙各自独立投篮一次，并且相互不受影响，每次投中得2分，没投中得0分．已知甲同学每次投中的概率为，乙同学每次投中的概率为．求第一轮投篮时，甲乙两位同学中至少有一人投中的概率；甲乙两位同学在两轮投篮中，记总得分为随机变量，求的分布列和期望．21.已知实数，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；若，求证：．22.在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线C：为参数上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．求曲线，的直角坐标下普通方程；已知点Q在曲线上，求的最小值以及取得最小值时P点坐标．23.已知，．若关于x的不等式的解集为，求实数a的值；若时，不等式恒成立．求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为复数；故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．2.答案：C解析：解：因为全集，集合，．故选：C．先求出M，再利用补集的定义求出结论．本题考查集合的基本运算，是对基本知识的考查．3.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，由，，得，即．．故选：B．设等差数列的公差为d，由已知列式求得d，再由通项公式求．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题．4.答案：D解析：解：由频率分布直方图可知，这5组中组的频率最大，所以众数为这一组的区间中点值，即众数是75，故选：D．利用众数的估计值为频率最大区间的区间中点值即可算出结果．本题主要考查了众数的估计值，是基础题．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出T的值为16．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：D解析：解：用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，基本事件总数，其中奇数的个数，所有的三位数中是奇数的概率为．故选：D．基本事件总数，其中奇数的个数，由此能求出所有的三位数中是奇数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：A解析：解：画出图形，并距离平面直角坐标系如图：由题意可知，，，，平面上一点P满足，，，，可知的坐标满足，解得或，当，此时，当时，．故选：A．画出图形，建立直角坐标系，设出坐标，然后利用向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是基础题，8.答案：B解析：解：，设，函数在区间上有极值，在上有变号零点，令，由可得，即，得到，．故选：B．求导可得，设，依题意，在上有变号零点，令，则，由此即可求得a的取值范围．本题考查根据函数的极值求参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：解：，，，由余弦定理可得，外接圆的半径，设球心到平面ABC的距离为d，则．由勾股定理可得，故选：D．由已知利用余弦定理求出BC，可得外接圆的半径，再由勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径．本题考查多面体外接球半径的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．10.答案：A解析：解：由题意可知双曲线的图形如图：设A，B为双曲线：的左，右顶点，F为双曲线右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，，，，所以，，，所以在直角三角形ABM中，．故选：A．画出图形，利用双曲线的性质，求出M坐标，然后转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.答案：A解析：解：，，．故选：A．首先根据题意，将转化为的关系式，然后求出即可．本题考查了数列的递推公式，数列的求和问题，属基础题．12.答案：D解析：解：设，，，可得，，两式相减可得，可得，若点P为MN的中点，可得，即有，又，，，由消去，，可得，由选项可得，当时，，，代入，不成立；当时，，，代入，成立．此时直线MN的方程为，即为．故选：D．设，，，代入抛物线的方程，由作差法可得直线MN的斜率，结合中点坐标公式和P的坐标满足圆的方程，以及两直线垂直的条件：斜率之积为，消去，，可得k的方程，结合选项的直线的斜率，代入求得P的坐标，检验是否满足圆的方程，即可得到所求直线的方程．本题考查抛物线和圆的方程的运用，考查直线和圆的位置关系、直线和抛物线的位置关系，主要考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：由，得．，则函数在点处的切线方程为，即．故答案为：．求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究故曲线上某点处的切线方程，关键是熟记导数的运算法则，是基础题．14.答案：6解析：解：由实数x、y满足约束条件，作出可行域：联立，解得，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：6．故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：如图：行驶航程最短时，就是船垂直到达对岸，和速度为：．行驶航程最短时，所用时间是：．故答案为：．利用河的宽度为4km，结合船的静水速度船的速度，水流速度，利用数列的减法运算求出和速度，即可求解行驶航程最短时所用时间．本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，是基本知识的考查．16.答案：解析：解：不等式在R上恒成立，，，即，函数在上恰好只有一个极值点，，即，，结合可得，当，时，．故答案为：．因为不等式在R上恒成立，所以，可解得，又函数在上恰好只有一个极值点，所以，解得，结合可得，当，时，．本题考查正弦函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.答案：解：在中，由，知：．所以；由正弦定理可知：，即，因此．由，及，可知．所以的面积为．解析：由已知结合同角平方关系及和差角公式即可求解；由已知结合正弦定理可求b，进而可求a，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了同角平方关系及和差角公式，正弦定理的应用，属于中档试题．18.答案：解：在平面ABCD中，，，，，即，又平面ABCD，则，又，平面分在平面ABCD中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，．，，，，又，则，由可知：即，则，在中，B点到直线PC的距离设二面角的平面角为，则所以分解析：依题意，可得，由线面垂直的性质可得，进而得证；利用等体积法求出B点到直线PC的距离，进而求得二面角的余弦值．本题考查线面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：设，则，，，则，椭圆的标准方程为．由知，且直线AM和AN的斜率存在，设直线AM和AN的方程分别为和，设，，联立，直线AM和椭圆交于A，M两点，，，同理，设x轴上存在一定点，使得成立，，，则，，，可得，因此x轴上存在一定点，使得成立．解析：设，利用直线的斜率关系，结合，求解a，b，然后求解椭圆方程．设直线AM和AN的方程分别为和，设，，联立直线方程与椭圆方程，求出M、N的坐标，设x轴上存在一定点，使得成立，，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．20.答案：解：第一轮投篮时，甲乙两位同学中都没有投中的概率为甲乙两位同学中至少有一人投中的概率为．对甲：，，对乙：，，，记：则有，，，，，所以，．解析：利用相互独立数据的概率的乘法，求解概率，结合对立事件的概率求解即可．求出，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的的概率的求法，期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：证明：设，则若关于x的不等式在上恒成立，可以转化为，在上恒成立，对求函数导数得：，在时，有，则在为增函数，而，因此在为增函数，有从而．所以符合要求．在时，由可知：，令，，因此在为减函数，则，单调递减，于是有在恒成立，从而矛盾，因此不符合．综合讨论可知：．设，对求函数导数得：由可知当时，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，可知：，在上为增函数，则．解析：设，问题可以转化为，在上恒成立，先求，再求，分两种情况：在时，在时，分析的正负，的增减，得的增减，进而得的函数值取值范围．是否符合题意，进而得出结论．设，对求函数导数得：，由可知当时，在上恒成立，得在上恒成立，，在上为增函数，则，进而得出结论．本题考查导数的综合应用，三角函数化简，属于中档题．22.答案：解：由：消去参数t得到，所以曲线的直角坐标方程为．由曲线：，根据，整理得直角坐标方程为：．设，则P到直线：的距离为，当时，，当时，，所以当，且时，整理得，此时．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由得，又的解集为，所以当时，不合题意；当时，，有，则，不合题意；当时，，即有，解得；因为在恒成立，所以，即，即，所以，由，得；由，得在恒成立，所以．因为，所以．综上可知，实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的解法和已知解集，讨论，，结合方程解法，可得a的值；由题意可得在恒成立，所以，转化为，再由参数分离和恒成立思想，可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
福建龙岩市2020届高三六月份教学质量检查文科数学试题
龙岩市2020年高中毕业班六月份教学质量检查文科数学本试题卷共5页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出★★答案★★后，用2B 铅笔把答题卡.上对应题目的★★答案★★标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.★★答案★★写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数13ii=+（ ） A.311010i - B.31+1010i C.131010i - D.131010i + 【★★答案★★】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则即可化简出正确结果.【详解】解：()()()1333131313101010i i i i i i i i -+===+++-. 故选:B.【点睛】本题考查了复数的除法运算.本题的易错点是误把2i 当成1进行计算.2. 已知全集U =R ，集合{}21M x x =-≤，则U C M =（ ） A. ()1,3B. []1,3C. ()(),13,-∞⋃+∞D.(,1][3,)-∞+∞【★★答案★★】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式可得13x ≤≤，从而可求出U C M .【详解】解：由21-≤x 知，121x -≤-≤，解得13x ≤≤，则U C M =()(),13,-∞⋃+∞. 故选:C.【点睛】本题考查了补集的求解.本题的关键是对绝对值不等式的求解. 3. 设n S 是等比数列{}()n a n N *∈的前n 项和，且a 3=32，S 3=92，则1a =（ ） A.32B. 6C.32或6 D. 32-或6-【★★答案★★】C 【解析】 【分析】直接利用等比数列公式计算得到★★答案★★.【详解】当1q =时，此时32n a =，验证31932S a ==，满足；当1q ≠时，23132a a q ==，2311192S a a q a q =++=，解得12q =-，16a =.综上所述：132a =或16a =. 故选：C.【点睛】本题考查了等比数列相关知识，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.4. 已知向量a 、b 满足1,2,22a b a b ==-=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.4π D.2π 【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据向量的运算得到1a b ⋅=，再根据向量夹角公式得到★★答案★★.【详解】22a b -=，则222244844a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=，故1a b ⋅=，1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，故向量a ，b 的夹角为3π. 故选：B.【点睛】本题考查了向量的夹角，向量的模，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5. 用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为（ ） A.13B.16C.12D.23【★★答案★★】D 【解析】 【分析】首先求出用数字1，2，3组成无重复数字的三位数的全部情况，再求出三位数是奇数的情况，利用古典概型公式计算概率即可.【详解】用数字1，2，3组成无重复数字的三位数共有336A =种，用数字1，2，3组成无重复数字的三位数奇数，首先排个位共有2种，再排十位和百位共有222A =种，所以用数字1，2，3组成无重复数字的三位数奇数共有224⨯=种. 故三位数中是奇数的概率4263P ==. 故选：D【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查了排列问题，属于简单题.6. 执行如图所示的程序框图，若输入k ，n 的值均是0，则输出T 的值为（ ）A. 9B. 16C. 25D. 36【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，再结合判断条件输出结果即可. 【详解】0k =，0n =，0T =，4k <，继续循环，1k =，1n =，2201(11)1T =+--=，4k <，继续循环， 2k =，2n =，2212(21)4T =+--=，4k <，继续循环， 3k =，3n =，2243(31)9T =+--=，4k <，继续循环，4k =，4n =，2294(41)16T =+--=，4k =，停止循环，输出16T =. 故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，正确判断退出循环条件为解题的关键，属于简单题. 7. 已知ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，23A π=，7a =，5c =，则sin :sin A B =（ ）A.73B.37C.53D.35【★★答案★★】A 【解析】 【分析】首先由余弦定理求b ，再根据正弦定理sin sin A aB b=求值. 【详解】由余弦定理可知22222cos 25549a b c bc A b b =+-=++=， 即25240b b +-=，解得：3b =或8b =-（舍） 由正弦定理可知sin 7sin 3A aB b ==. 故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查两个定理的基本应用，属于基础题型. 8. 若过直线3420x y+=-上一点M 向圆Γ：22(2)(3)4x y -++=作一条切线于切点T ，则MT 的最小值为（ ）B. 4C.D. 【★★答案★★】D 【解析】 【分析】要使MT 最小，则圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解. 【详解】圆Γ：22(2)(3)4x y -++=的圆心坐标为()2,3-，半径为2，要求MT 的最小，则圆心到直线3420x y+=-，∴MT=， 故选：D.【点睛】本题主要考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于基础题.9. 已知α为第二象限角，sin cos αα+=tan 2=α（ ）B.或【★★答案★★】A 【解析】 【分析】将sin cos 3αα+=22sin cos 3αα=-，再计算出sin cos αα-，最后根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为sin cos 3αα+=所以()22sin cos 3αα⎛+= ⎝⎭即221sin 2sin cos cos 3αααα++=，所以22sin cos 3αα=-所以()2225sin cos sin 2sin cos cos 3αααααα-=-+=所以sin cos 3αα-=±因为α为第二象限角，所以sin cos αα-=所以()()sin 22sin cos tan 2cos 2cos sin cos sin =ααααααααα=+-233-==⎝⎭故选：A【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题. 10. 若关于x 的不等式1ln x axe x x -≥+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. [),e +∞B. ,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,+∞D. [)2,+∞【★★答案★★】C 【解析】 【分析】分离参数转化为ln 1,0x x x a x xe ++≥>，构造函数ln 1(),0xx x f x x xe++=>，利用导数法求出max max (),()f x a f x ≥，即为所求.【详解】因为关于x 的不等式1ln x axe x x -≥+恒成立， 所以ln 1,0xx x a x xe ++≥>恒成立，需max ()a f x ≥， 令ln 1(),0xx x f x x xe++=>， 221(1)(ln 1)(1)(1)(ln )(),x xx x x x x x x x f x x e x e+-+++-++'==设()ln ,(0,)g x x x x =+∈+∞单调递增，11()10,(1)10g g e e=-<=>， 存在唯一的01(,1)ex ∈，使得000()ln 0g x x x =+=， 当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x <'>，()f x 单调递增， 当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0,()g x f x f x >'<单调递减， 所以0x x =时，()f x 取得极大值，也是最大值为0()f x ，此时0000001ln 0000111ln ln,()11x x x x x f x x x x e x-++=-====⋅， 1a ∴≥.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题以及导数与函数的单调性求最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 设A ，B 为双曲线Γ：2214x y -=的左，右顶点，F 为双曲线Γ右焦点，以原点O 为圆心，OF 为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M ，连接AM ，BM ，则tan ∠AMB =（ ） A. 4B. 5C. 2.D. 6【★★答案★★】A 【解析】 【分析】首先求点M 的坐标，并判断BM x ⊥轴，这样AMB 中，tan ABAMB MB∠=直接求解. 【详解】2225c a b =+=，以原点O 为圆心，OF 为半径的圆的方程是225x y +=，设点M 是圆与渐近线12y x =在第一象限的交点， 225120x y y x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得：2,1x y ==，即()2,1M ()2,0B ，BM x ∴⊥轴，AMB 中，4tan 41AB AMB MB ∠===故选：A【点睛】本题考查圆与双曲线的方程，双曲线的渐近线，三角函数的简单综合问题，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.12. 已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=+≥，又{}n a 的前项和为S n ，若S 6=52，则a 5=（ ） A. 13B. 15C. 17D. 31.【★★答案★★】A 【解析】 【分析】首先根据题意，将6S 转化为5a 的关系式，从而求得结果. 【详解】因为11(2)n n n a a a n +-=+≥，所以6123456334554S a a a a a a a a a a a a =+++++=+++++34552()2452a a a a =++==，所以552134a ==， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的递推公式，数列的求和问题，属于简单题目.13. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=->，满足不等式()6f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭在R 上恒成立，在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上恰好只有一个极值点，则实数=ω（ ） A.34B.1918C.272D.32【★★答案★★】D 【解析】 【分析】利用三角函数的性质即可求解. 【详解】解：函数()sin()(0)4f x x πωω=->在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上恰好只有一个极值点， 则区间长度3222T T ππ<-<，则2T ππ<<，即22πππω<<，解得12ω<<，又函数满足不等式()6f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭在R 上恒成立， 所以2642k πππωπ--=-+，()k Z ∈解得3122k ω=-，()k Z ∈ 因为12ω<<， 所以32ω=. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的周期应用，解题的关键是熟记三角函数的性质，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14. 函数2(21)xy x e =+在点()0,1处的切线方程为_________________.【★★答案★★】10x y -+= 【解析】 【分析】求导得2(214)xy x x e '=++，将0x =代入求出导数值，从而根据导数的几何意义、直线的点斜式方程得出结论．【详解】解：∵2(21)xy x e =+， ∴2(214)x y x x e '=++， ∴当0x =时，1y '=，∴函数在点()0,1处的切线方程为()110y x -=⋅-，化简得10x y -+=， 故★★答案★★为：10x y -+=．【点睛】本题主要考查函数在某点处的切线方程的求法，属于基础题．15. 若实数x 、y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z =2x -y 最大值为___________.【★★答案★★】6【解析】【分析】作出约束条件的可行域，利用数形结合思想即可确定目标函数的最大值.【详解】作出约束条件1030330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩的可行域，如图（阴影部分）：由2z x y=-，可得2y x z=-，作出直线2y x=，平移直线可知当直线过点A时，z取得最大值，由30330x yx y+-=⎧⎨+-=⎩，解得()3,0A，所以max2306z=⨯-=.故★★答案★★为：6【点睛】本题考查线性规划知识，考查数形结合思想的应用，考查考生的运算求解能力，属于基础题.16. 一条河的两岸平行，河的宽度d=4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度1v=10km/h，水流速度2v=2km/h，.那么行驶航程最短时，所用时间是_____(h).(附：6≈2.449，精确到0.01h)【★★答案★★】0.41 【解析】 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v 必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间.【详解】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v 必须垂直于对岸， 如图指：()221296/v v v km h =-=，所以()60.4196d t h v ===≈. 故★★答案★★为：0.41【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及几何意义，属于基础题.17. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA =，4AB =，3AC =，3BAC π∠=，则三棱锥P ABC -的外接球的半径R =________ 43【解析】 【分析】由已知利用余弦定理求出BC ，可得ABC 外接圆的半径，再由勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径.【详解】∵4AB =，3AC =，3BAC π∠=，∴由余弦定理可得BC == ∴ABC外接圆的半径32BC r sinπ===， 设球心到平面ABC 的距离为d ，则112d PA ==，由勾股定理可得R ===，【点睛】本题主要考查三棱锥P ABC -的外接球的半径的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，22n S =n bn +，（n R *∈），311a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nn S b n=，求12231111n n n T b b b b b b +=+++之和. 【★★答案★★】（1）41(1)n a n n =-≥（2）3(23)nn +【解析】 分析】（1）根据22(,1)n S n bn n N N =+∈≥，利用33211=-=a S S ，求得b ，然后利用数列通项与前n 项和的关系求解.（2）由（1）得到21nn S b n n==+，则111(21)(23)+=++n n b b n n ，再用裂项相消法求解. 【详解】（1）∵22(,1)n S n bn n N N =+∈≥， ∴22332(233)(222)11a S S b b =-=⋅+-⋅+=，∴1b =，22(,1)∴=+∈≥n S n n n N N ，∴113a S ==，141(2)-=-=-≥n n n a S S n n ，从而41(1)n a n n =-≥ . （2）∵21nn S b n n==+， 12231111n n n T b b b b b b +=+++， 1113557(21)(23)n n =+++⋅⋅++，111()23233(23)n n n =-=++. 【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查100 名用户，根据这100名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为[)40,50，[)50,60，……[)90,100.（1）估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；（2）现从评分在[)40,60的调查用户中随机抽取2人，求2人评分都在[)40,50的概率. 【★★答案★★】（1）0.70；77.14；（2）215. 【解析】 【分析】（1）由题意列出频率分布表，求和即可估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率；利用中位数两侧的概率和相等列方程即可估计对该电讯企业评分的中位数；（2）由题意计算出受调查用户评分在[40,50)、[40,60)的人数，求出总的基本事件个数及满足要求的基本事件的个数，由古典概型概率公式即可得解.【详解】（1）由题意，该地区用户对该电讯企业评分的频率分布如下表： 评分 [40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率 0.040.060.200.280.240.18因此可估计评分不低于70分的概率为0.280.240.180.70P =++=； 对该电讯企业评分的中位数设为x ，可得7080x <<， 则700040060200.280.5010x .+.+.+-⨯=， 解得77.14x ≈，所以可估计对该电讯企业评分的中位数为77.14； （2）受调查用户评分在[40,50)的有1000.04=4⨯人，若编号依次为1，2，3，4，从中选2人的事件有{}1,2、{}1,3、{}1,4、{}2,3、{}2,4、{}3,4，共有3216++=个基本事件；受调查用户评分在[40,60)的有()1000.040.06=10⨯+人， 若编号依次1，2，3，..9，10，从中选2人，可得共有9198719452++++⋅⋅⋅+=⨯=个基本事件； 因此2人评分都在[40,50)的概率624515P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型概率的求解与运算求解能力，属于中档题.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，在四边形ABCD 中，2ABC π∠=，4AB =，3BC =，5CD =，25AD =，4PA =.（1）证明：CD ⊥平面PAD ； （2）求B 点到平面PCD 的距离 【★★答案★★】（1）见解析（2）455【解析】 【分析】(1)在三角形ACD 中，由勾股定理可证得AD CD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，可得PA CD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；(2) 在平面ABCD 中，过A 作BC 的平行线交CD 的延长线于M ，因为 P BCM B PCM V V --=利用等体积转换即可求得距离.【详解】解：（1）在平面ABCD 中，2ABC π∠=，4AB =，3BC =，则5AC =，又CD =AD =∴2CDA π∠=，即AD CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则PA CD ⊥，又PA AD A ⋂=，∴CD ⊥平面PAD .（2）在平面ABCD 中，过A 作BC 的平行线交CD 的延长线于M ，22ABC BAM ππ∠=∴∠=因为2ABC π∠=，4AB =，3BC =，则5AC =,又因为CD =，AD =,所以AD CM ⊥.所以31tan ,tan 42BAC DAC ∠=∠= 3111142tan cot()31tan()242DAM BAC CAD BAC CAD -⋅∠=∠+∠===∠+∠+又AD =MD =MC =在Rt PAD 中，6PD ===.因为,CM PA CM AD ⊥⊥,则CM ⊥面PAD ,所以CM PD ⊥ 由P BCM B PCM V V --=可知：BCM PCM B PCM S PA S h -⋅=⋅△△，162BCM S BC AB =⨯⨯=△,1=2PCM S ⨯△所以6,4B PCM PA h PA -⋅==，则B PCM h -=， 因此P 点到平面PCD的距离为5.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查利用等体积转换求点到面的距离，属于中档题.21. 已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为F 1(2-，0)，F 220)，椭圆的左，右顶点分别为A ，B ，已知椭圆Γ上一异于A ，B 的点P ，PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，满足1212k k =-. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A 作两条互相垂直的直线AM 和AN ，分别交椭圆Γ于M ，N 两点，问x 轴上是否存在一定点Q ，使得∠MQA =∠NQA 成立，若存在，则求出该定点Q ，否则说明理由.【★★答案★★】（1）22142x y +=（2）存在；定点()Q -6,0【解析】 【分析】（1）设00(,)P x y ，根据题意可得0000PA PB y yk k x a x a⋅=⋅-+，结合椭圆的方程化简可得2212b a -=-，再由222a bc =+即可求解. （2）根据设直线AM 和AN 的方程分别为(2)y k x =+和1(2)y x k=-+，将直线方程与椭圆方程联立求出M 、N ，设x 轴上存在一定点(),0Q t ，使得MQA NQA ∠=∠成立，则0QM QN k k +=，利用两点求斜率化简即可求得.【详解】解：（1）设00(,)P x y ，0000PA PB y yk k x a x a⋅=⋅-+ 22022202222200112x b a y b x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-=---，c =则2b a ==.∴椭圆Γ的标准方程为22142x y +=.（2）由（1）可知左顶点(2,0)A -，且过点A 的直线AM 和AN 的斜率存在， 设直线AM 和AN 的方程分别为(2)y k x =+和1(2)y x k=-+， 设(,),(,)M M N N M x y N x y ，联立222222(2)(12)8840142y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 直线AM 和椭圆Γ交于,A M 两点，2222884(2),(2)1212M M k k x x k k-∴-+=--=++， 222244,(2)1212M M Mk k x y k x k k -∴==+=++，222244(,)1212k kM k k -∴++ 同理222244(,)22k kN k k --++.设x 轴上存在一定点(),0Q t ，使得MQA NQA ∠=∠成立，则0QM QN k k +=，0N MQM QN M N y y k k x t x t+=+=--，则()M N N M M N y x y x y y t ⋅+⋅=+⋅ 2222222224244244(66)122212(21)(2)M N N M k k k k k k y x y x k k k k k k ----⋅+⋅=⋅+⋅=++++++，22222444(1)122(21)(2)M N k k k k y y k k k k ---+=+=++++，即2222224(66)4(1)(21)(2)(21)(2)k k k k t k k k k ---=⋅++++，解得6t =-. 因此x 轴上存在一定点()Q -6,0，使得MQA NQA ∠=∠成立.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.22. 已知函数()()()ln 1f x x ax a R =+-∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式()21xf x e ≥-在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围； 【★★答案★★】（1）见解析；（2）(],3-∞. 【解析】 【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域与导数，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）令()()21xg x f x e=+-，由题意可得()()0g x g ≥对任意的0x ≥恒成立，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，结合()()0g x g ≥可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()ln 1f x x ax =+-的定义域为()1,-+∞，()11f x a x '=-+. 当0a ≤时，()0f x '>对任意的()1,x ∈-+∞恒成立， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()1,-+∞；当0a >时，令()0f x '=，可得11=-x a. 当111x a -<<-时，()0f x '>；当11x a>-时，()0f x '<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()1,-+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）设()()()221ln 11x x g x f x ex ax e =+-=+-+-，则()00g =， ()2121x g x e a x'∴=+-+，()()22141x g x e x ''=-+， 则函数()y g x ''=在区间[)0,+∞上单调递增，当0x ≥时，()()030g x g ''''≥=>， 所以，函数()y g x '=在区间[)0,+∞上单调递增，则()()03g x g a ''≥=-.①当30a -≥时，即当3a ≤时，()0g x '≥对任意的0x ≥恒成立，所以，函数()y g x =在区间[)0,+∞上单调递增，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，合乎题意； ②当30a -<时，即当3a >时，由于函数()y g x '=在区间[)0,+∞上单调递增， 且ln 1021ln 2a g a a ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭+， 由零点存在定理可知，存在00,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=， 当00x x <<时，()0g x '<；当0x x >时，()0g x '>.此时，函数()y g x =的单调递减区间为()00,x ，单调递增区间为()0,x +∞，所以，()()000g x g <=，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]23. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线1:C 112()x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：2=sin 3cos ρθθ- （1）求曲线C 1，C 2的直角坐标下普通方程；（2）已知点Q 在曲线C 2上，求PQ 的最小值以及取得最小值时P 点坐标.. 【★★答案★★】（1）221416x y -=；32y x -=（2；(P 【解析】【分析】（1）曲线1C 根据22114t t t t ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭消去t ，得到曲线1C 的直角坐标方程，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到2C 的直角坐标方程；（2）由（1）可知，设11,2())Pt t t t+-（，利用点到直线2C 32y x -=：的距离PQ ，利用基本不等式求最小值. 【详解】解：（1）由1C ：112()x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去参数t 得到222211()()()42y x t t t t -=+--= 221:1416x y C ∴-=. 由2C ：sin 3cos 2,ρθρθ-=32y x ∴-=.（2）设11,2())P t t t t+-（，则P 到直线2C 32y x -=：的距离PQPQ ==522t t ++≥或522t t++≤-5PQ∴≥此时(55t P =--【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用参数方程解决两点间距离的最小值，属于中档题型.[选修4-5：不等式选讲]24. 已知()1,f x ax a R =+∈（1）若关于x 的不等式()3f x ≤的解集为{}21x x -≤≤，求实数a 的值；（2）若1(0,)2x ∈时，不等式()221f x x ≤--恒成立.求实数a 的取值范围.【★★答案★★】（1）2a =（2）62a -≤≤【解析】【分析】(1)分0a =，0a <，0a >三种情况解()3f x ≤，结合{}21x x -≤≤即可求出实数a 的值.(2)由1(0,)2x ∈，可知222x a x --≤≤在102x <<恒成立，设()22x h x x--=，通过函数的单调性可知()162h x h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：(1)由|1|3ax +≤得42ax -≤≤，又()3f x ≤的解集为{|21}x x ，所以当0a =时，不符合题意；当0a <时，24x a a ≤≤-，则2241a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，无解； 当0a >时，42x a a -≤≤，则2142a a⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得2a =. 综上所述，2a =.(2)因为1212ax x ++-≤在102x <<恒成立， 所以121ax x +≤+，即(21)121x ax x -+≤+≤+，所以222x ax x --≤≤. 即222x a x --≤≤在102x <<恒成立.设()22x h x x--=因为()22121x h x x x --⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭在102x <<时单调递增，则()162h x h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 所以62a -≤≤.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解，考查了不等式恒成立问题.本题的第一问关键是对参数的取值进行分类讨论；第二问的关键是进行参变分离，利用单调性求函数的最值.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(理科)(6月份) (含答案解析)
2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）=()1.复数3−iiA. 1+3iB. −1−3iC. −1+3iD. 1−3i2.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，M={2,4,6}，则C U M=()A. {2,4,6}B. {4,6}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5,6}3.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，a1=4，则S5等于()A. −2B. 0C. 5D. 104.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是()A. 得分在[40,60)之间的共有40人B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为555.执行如图所示的程序框图，输出的值T为()A. 2B. 4C. 8D. 166. 从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为( ) A. 29 B. 13 C. 512 D. 59 7. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E 满足BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 1B. 3C. √10D. 92 8. 已知函数f(x)=x lnx −ax 在(1,+∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,14]B. (−∞,14)C. (0,14]D. [0,14) 9. 在三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB =5，BC =8，∠ABC =60°，SA =2√5，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 643πB. 2563πC. 4363πD. 2 048√327π 10. 若双曲线M ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线M 相交于点P ，且|PF 1|=16，|PF 2|=12，则双曲线M 的离心率为( )A. 54B. 43C. 53D. 511. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n+1=S n +a n +3，a 4+a 5=23，则S 8=( )A. 72B. 88C. 92D. 98 12. 已知抛物线C ：y 2=2x ，直线l ：y =−12x +b 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，则b 的值是( )A. −15B. −25C. −45D. −85 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(2x −1)e x 在点(0,−1)处的切线方程为____________．14. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3，则z =2x −y 的最大值为______．15. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d =0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB =1 km ，水的流速为2 km/ℎ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为____km/ℎ．16.已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c．(1)求A；(2)已知a=2，△ABC的面积为√32,求△ABC的周长．18.如图四棱锥P−ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=2π3，CD=CB=CP，PB⊥PD．(Ⅰ)求证：AC⊥平面PBD；(Ⅱ)若PB=PD，求二面角A−PB−C的余弦值．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是√22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴顶点分别为A ，B ，如图所示，△ABF 2的面积为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P(−1,1)且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(异于A ，B 点)，证明：直线BM 和BN 的斜率和为定值．20. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(Ⅰ)求甲获胜的概率；(Ⅱ)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列和期望．21.设函数f(x)=ax−sinx，x∈[0,π]．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；2(2)若不等式f(x)≤1−cosx恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：3−ii =−i(3−i)−i2=−1−3i，故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3−ii，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：本题考查集合的补集运算．解：全集U={1,2,3,4,5,6}，M={2,4,6}，则C U M={1,3,5}．故选C．3.答案：B解析：解：根据题意，设等差数列的公差为d，则S3=6=32(a1+a3)且a3=a1+2d，又a1=4，解得d=−2，a3=0；所以S5=5a3=5×0=0．故选：B．根据题意，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，即可求出S5的值．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．4.答案：C解析：本题考查了频率分布直方图，频率、频数与众数、中位数的计算问题．根据频率分布直方图，根据频率和为1，计算a的值；利用最高的小矩形对应的底边中点估计众数；利用中位数两侧的小矩形面积之和相等求得中位数；计算得分在[60,80)内的频率，用频率估计概率即可．解：根据频率和为1，计算(a+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1，解得a=0.005，得分在[40,60)的频率是0.40，估计得分在[40,60)的有100×0.40=40人，A正确；得分在[60,80)的频率为0.5，用频率估计概率，知这100名男生中随机抽取一人，得分在[60,80)的概率为0.5，B正确．设100名参赛者得分的中位数为x，则0.4+x−6070−60×0.3=0.5，解得x=1903，C错误；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为50+602=55，∴估计众数为55，D正确；故选C．5.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得S=1，T=1不满足条件S>10，执行循环体，S=2，T=1不满足条件S>10，执行循环体，S=3，T=2不满足条件S>10，执行循环体，S=5，T=4不满足条件S>10，执行循环体，S=9，T=8不满足条件S>10，执行循环体，S=17，T=16满足条件S>10，退出循环，输出T的值为16．故选：D．由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基。
2020年龙岩市市质检文科数学 市考
龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,3,5M =，{}2,4,5N =，则M N =U A ．{}5B ．{}3,5C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,52．设i(1i)z =-，则z = A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为4，则其渐近线方程为A ．y x =±B ．x y 2±=C ．x y 21±= D ．2y x =±4．已知0.2log 2a =,0.22b =,0.30.2c =，则A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．若变量,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =-的最小值是A ．6-B ．5-C ．5D ．66．从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（第7题图）A ．15B ．25C ．35D ．457．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么2cos 2θ=A ．310B ．35C ．710D ．458．已知()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e =-，则1(ln )2f = A ．12-B ．1-C ．1D ．129．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =,SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是 A ．4π3B C ．4π D ．8π10．已知点F 为椭圆)1(1222>=+a y ax 的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则=aA ．2B ．C ．2D ．311．函数()cos (0)f x x ωω=>在区间[0,π]2上是单调函数，且()f x 的图像关于点3()4π,0M 对称，则ω=A ．23或103 B ．23或2 C ．143或2 D ．103或14312．已知数列{}n a 满足12n a +=，则12020a a +的最大值是A ．4-B ．8C ．4+D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．曲线(1)e xy x =-在点(1,0)处的切线方程为 ．14．已知向量(1,1),(3,)m ==-a b ，若向量2-a b 与向量b 共线，则实数m = ． 15． 已知圆锥的顶点为S ，点A B C ,,在底面圆周上，且AB 为底面直径，若SA AC BC ==，则直线SA 与BC 的夹角为__________．16．有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：“在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，已知3a =， ，22330--+=c b c ，求角A ．”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案45A =︒是唯一确定的，则破损处应是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。
2020届高考数学福建文科数学模拟题含解析
2020届福建文科数学模拟题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】D ．【解答】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解答】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3. 已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫=⎪⎝⎭2758-=1308-＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =．6. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】D ． 【解答】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-． 所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素养． 【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB = A ．254B ．174C ．134D ．94【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得AB =122y y ++=917244+=．9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解答】()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x =()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022*********000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ．【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养． 【答案】4．【解答】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养． 【答案】12． 【解答】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______． 【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养． 【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()22233262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．。
【精准解析】福建省普通高等学校招生全国统一考试2020届高三模拟考试数学(文)试题
图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有（ ）.
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
【答案】B
【解析】
【分析】
由韦恩图确定所求集合为 A∩ ðU B ，由交集和补集定义即可求得结果.
2
2a 2
2 2
aiR
，
2 a 0 ，解得： a 2 . 2
故选： A .
【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
3.下列是函数
f
(x)
tan
2
x
4
的对称中心的是（
）.
A.
4
,
0
B.
4
,
0
C. (0, 0)
D.
3 8
,
0
【答案】D
对于 B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是 21.4 ，故中位数为 21.4
万台， B 错误；
对于 C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 4.9 14.1 21.4 30.0 44.7 23.02 万 5
台， C 错误； 对于 D ，从 2017 年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为 52.0% ， 61.4% ， 57.5% ，均 超过 50% ， D 正确. 故选： D .
【点睛】本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属 于基础题. 5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到， 任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去 掉，这样，原来的一条线段就变成了 4 条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的 方法把每条小线段重复上述步骤，得到 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，