必修五数列单元练习题(带答案)

数列单元练习题一、选择题：1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2972．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a =（ ） A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．1924．若)32lg(),12lg(,2lg +-xx成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 25．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ） A． B． C． D ．)251,251(++-6．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+7．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A ．9 B ．12C ．16D ．178．在等比数列{}n a 中，若62=a ，且0122345=+--a a a 则n a 为（ ） A ．6 B ．2)1(6--⋅n C ．226-⋅n D ．6或2)1(6--⋅n 或226-⋅n9．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b =（ ） A ．23 B ．2131n n -- C ．2131n n ++ D ．2134n n -+ 10．设数列{a n }是公比为a (a ≠1)，首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，对任意的n ∈N ＋ ，点(S n ，S n +1)在（ ）A ．直线y ＝ax －b 上B ．直线y ＝bx ＋a 上C ．直线y ＝bx －a 上D ．直线y ＝ax ＋b 上 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ） A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．100 二、填空题：13．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________.14．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。

15.已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 16.观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-照此规律, 第n 个等式可为______ _ . 三、解答题：17．已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=（1） 判断{}n a 是何种数列，并给出证明；(2)若2021138,b b b m a a 求=+18.已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =. (I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥ ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．20．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．21．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n n ∈N （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求s n ;（3）设b n ＝1n(12－a n ) ( n ∈N)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ( n ∈N)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N ，均有T n ＞m32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

22.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .数列单元练习题参考答案一、选择题：1．B 147369464639,27,339,327,13,9a a a a a a a a a a ++=++===== 91946999()()(139)99222S a a a a =+=+=+=2．D 依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 3．B 43521423(13)27,3,3,12013a a q q a S a q -=======- 4．D 2lg 2lg(23)2lg(21),2(23)(21)x x x x ++=-+=-22(2)4250,25,lo g 5x x x x -⋅-===5．D 设三边为2,,,a aq aq则222a aq aq a aq aq aq aq a ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222101010q q q q q q ⎧--<⎪-+>⎨⎪+->⎩得q q R q q ⎪⎪∈⎨⎪⎪⎪⎩或q <6．B 5103132310312103563log log ...log log (...)log ()log (3)10a a a a a a a a +++==== 7．A 4841,3,S S S =-=而48412816122016,,,,,S S S S S S S S S ----成等差数列 即1,3,5,7,9,1718192020169a a a a S S +++=-=8．D 225432534232220,22,(1)2(1)a a a a a a a a a q a q --+=-=--=- 232210,2,11a a q q =-==-或或，当1q =时，6n a =；当1q =-时，1216,6(1)6(1)n n n a a --=-=-⋅-=⋅-； 当2q =时，1213,3262n n n a a --==⋅=⋅；9．B 121212112121()22(21)2122123(21)131()2n n n n n n n n n a a a a S n n n b b T n n b b -----+--=====--+-+ 10．D aa b S nn --=1)1( a a b S n n --=++1)1(11 ∴111)1(1)1(1)1(++=--=--+--=+n n n n S aa b a a b a a a b b aS故点),(1+n n S S 在直线y ＝ax ＋b 上11．A20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a12．C 数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210b b b a a a +++ =11119b b b a a a +++++ ，111(1)4b a a b =+-=， ∴ 11119b b b a a a +++++ =4561385++++=二、填空题：13．-2 471102a a a a ==- 14． 18 77999172317,,1177,7,,(9)73k a a a a d a a k d =====-=-2137(9),183k k -=-⨯=15. ()10313--16. )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（三、解答题：17.解：（1）{}n b 是等比数列，依题意可设{}n b 的公比为)0(>q q2(1≥=∴-n q b b n n ） )2(331≥=∴-n q n na a )2(31≥=∴--n q n n a a )2(log 31≥=-∴-n q a a n n 为一常数。

所以{}n a 是以q 3log 为公差的等差数列（2）m a a =+138 所以由等差数列性质得m a a a a =+=+138201m a a a b b b m a a a a a 10202120120213310220)(2021==⇒=⨯+=+++∴+++18.解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=- 或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,不存在这样的正整数m . 19.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则依题意有0q > 且解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，①3252321223222n n n n n S ----=+++++ ，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ， 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-． 20.解：（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和． （Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． 21．解 （1）由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1 ＝－2 ∴a n ＝10－2n（2）由a n ＝10－2n≥0得n≤5 ∴当n≤5时，S n ＝－n 2＋9n当n>5时，S n ＝n 2－9n ＋40 故S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n 1≤n≤5n 2－9n ＋40 n ＞5（n ∈N ）（3）b n ＝1n(12－a n ) ＝1n(2n ＋2) ＝12 (1n －1n ＋1 ) ∴T n ＝ b 1＋b 2＋…＋b n＝12 [(1－12 )＋(12 －13 )＋(13 －14 )＋……＋(1n －1 －1n )]＝12 (1－1n ＋1)＝n2(n ＋1) ＞n －12n =T n －1＞T n －2＞……＞T 1.∴要使T n >m 32 总成立，需m 32 <T 1＝14 恒成立，即m<8，（m ∈Z ）。