四多变量系统状态反馈

x2 Ax1 L,
Bu1,
xn1 Axn11b1
xn1 Axn11Bun11
命题已证明。
3 ） 若 不 然 ， 由 可 控 性 可 知 存 在
b 2 Im (B ) b 2B u % 2
但b2Ab1 。定义
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x
n
1
1
A x n1
b2
x
n
1
2
A x n1 1
b2
M
x
n
1
n
2
L , xn1 Axn11 b1 An11b1 L Ab1 + b1,
2也 020/4是 /30 线 性 无 关 的 。 事 实 上 ，
12
x1 x2 x3 L xn1 b1, Ab1+b1,A2b1+Ab1+b1,L,An11b1LAb1+b1
经 列 初 等变 换 b1, Ab1,A2b1,L,An11b1
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因 为 x 1 , x 2 , L , x n 线 性 无 关 ， 故
r a n k b ( A B K 1 ) b ( A B K 1 ) 2 b L ( A B K 1 ) n 1 b n
(A B K 1 ,b )可 控 。 定理证完。
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式数。中如fi (果K)表将示期某望一多个项以式K表的成元素kij为变量的非线性函
s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 L a n 1 s a n
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比较两式的系数，可知应有
f i( K ) i ( i 1 ,2 ,L ,n )
例：对多变量系统，
(S—3) 18
四、多变量系统状态反馈
基本思路：若多变量系统(A, B)可控，其极点配置 的主要思路是要将其化为单变量系统的极点配置问 题，步骤如下：
1. 任取
2.
bIm(B) , b 0，
3. 找一个状态反馈增益阵K1，使单变量系统
4. 5. 可控；
(A+BK1, b)
2. 对单变量系统(A+BK1, b)配置极点到希望的位
取 u1=[1 0]T, 可得 x2=[0 1 0 0]T ；
取 u2=[0 0] T , 可得 x3=[1 0 0 0] T ；
2020/4/30 取 u3=[0 1] T , 可得 x4=[0 0 0 1] T ；
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于是由 K 1 的计算式可得
0 0 1 0
1 K10
0 0
0 1
0010
1 0
0 1 0 1 0
ABK=0 1
0 2
10 3 0
1 0k k1 21 1
k12 k22
k13 k23
k11 k21
1
k12 1 k22 2
k13 k23 1
3
显然，det(sI A BK)的系数是非线性的。
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det(sI A BK)在单输入情况始终是线性方程组， 在多输入时，一般是非线性方程。定理4-4所提供的事 实表明：当系统可控时，可以通过牺牲K的自由参数， 使det(sI A BK)简化为一组能解出的线性方程组。
x 3 A x 2 B u 2 A x 2 B K 1 x 2 ( A B K 1 ) x 2 ( A B K 1 ) 2 b
M x n 1 A x n 2 B u n 2 (A B K 1 ) x n 2 (A B K 1 ) n 2 b
x n A x n 1 B u n 1 ( A B K 1 ) x n 1 ( A B K 1 ) n 1 b
8
定理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K， 使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的 位置（复数共軛成对出现）。
证明 首先选取非零向量L，可得 b=BL，
由定理4-4可知存在K1，使 (A+BK1, b)
可控。由单变量极点配置定理可知存在n维行向量k， 使得
A+BK1+bk
11
1 1
1 1
x1 x2 x3
1 1 0
ABK1 1 1
1
1 1 1
01 1
b(A B K 1)b(A B K 1)2b 10 1
10 1
20不20/4/3难0 验证(A+BK1 b)可控。
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解2 利用引理所给出的算法。取 x1 = Bu1 =b=[0 1 1]T, u1=[1 1]T。
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4 )如 此 下 去 ， 则 由 可 控 性 可 知 ， 存 在 R n 中 的 一 组 基 x 1 ,x 2 ,L ,x n 以 及 一 组 向 量 u 1 ,u 2 ,L ,u n 1 ,使 得
xi 1A xiB ui,i1 ,2,L,n1 ,x1:b 1b
span{x1,x2,L,xn}R n
即：
K 1 x 1 x 2 L x n u 1 u 2 L u n 1 0 p n
注意到
u 1 K 1x 1 ,
u L
2
K
1x 2 ,
u
n
1
K
1x n 1
0 K 1 x n
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3. 证明(A+BK1, b) 可控p5
易见 x1 b
x 2 A b B u 1 A x 1 B K 1 x 1 ( A B K 1 ) b
引理的证明：这里给出一个构造性的证明。
1） 任 给 b Im (B （ )且 b0）
u % 1 R p, 使 得 bB u % 1 ；
2 ） 令 b 1 b ， 设 b 1 ， A b 1 , L ,A n 1 1 b 1 是 A b 1 的 一 组 基 ,
则易于证明，
x1 b1, x2 Ax1 b1 Ab1 b1, x3 Ax2 b1 A2b1 Ab1 + b1,
根据引理，取
x1= b1, x2= Ax1+ b1 =Ax1+ Bu1= [1 2 2]T 则显然 x1 和 x2 线性无关。但
Ax2+ b1= [3 3 3]T 却与x1 和 x2 线性相关。因此取
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b2=[0 0 1]T, 有
x3= Ax2+ b2 = [3 2 3]T 则x1, x2, x3 构成线性相关组。 这里，
置：
A142B4K3 1 bk
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1
A
3.由于
bImB LRp1,
使得
b=BL
故由上式，有
ABK1bk ABK1BLkAB(1K 412L 43k).
K
因此，找状态反馈增益阵K1是关键。
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Lk
u
v
B
x&
x
y
C
A
K1 经 2状 020/4态 /30 反 馈 u K x v ( K 1 L k ) x v 后 的 多 变 量 系 3统
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令 u % 2 u n 1 1 u n 1 2 L u n 1 n 2 1 则
xn11 Axn1 b2 xn12 Axn11b2 M
xn11 Axn1 Bun1 xn12 Axn11Bun11
M
xn1n2 Axn1n21b2
xn1n2 Axn1n21Bun1n21
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定理4-4 若(A, B)可控，则对B值域中的任一非零向 量b，均存在一个状态反馈增益阵K1，使得
(A+BK1 , b) 可控，这里，K1 Rpn。
证明分以下几步完成：
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1) 利用如下结论：
引理：(见习题4-3) 若(A, B)可控，可选取向量u1,
u2, …, un1(共n1个！），使得由下式定义的n个向
期望特征式为 s4+6s3+14s2+16s+8,
比较上述两多项式的系数，可得
k1 =37, k2=21, k3=7, k4=45 状态反馈阵可取为
KK 1Lk=1 37
21 0
8 0
45 0
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在上面的做法中，在L和 ui 取定后，k 就唯一的 确定了。但 L 和 ui 是非唯一的，这一事实至少可以 说明达到同样极点配置的K值有许多。K的这种非唯 一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要 区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统
u1= [1 1]T, u2= [0 1]T
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例题2 系统方程为
0 1 0 0 0 0 x& 0 0 1 0 x 0 0u
0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 欲使闭环系统(A+BK)具有特征值2, 2, 1j, 试确定 状态反馈增益阵K。
解 先用取试L凑=[法1 求0]xT,i 和 uix1：=b1=[0 0 1 0]T；
0 0
0010
0 0
1 0
0 0
0 0 0 1
显然，(A+BK1, b1)可控。令k=[k1 k2 k3 k4], 直接计算
0 1 0 0
A
BK1
b1k
0
k11
0 k2 0
1 k3 0
0
k4 1
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它的特征式为 s4 (1+k3)s3+(k3k2)s2+(k2k1)s+k1 k4,
x2= Ax1, 也就是可令
u1=[0 0]T 又因为Ax2与x1, x2 构成线性相关组，u2不能取 [0 0]T， 可取