第六章系统的状态变量分析
系统的状态变量分析
Chap.9 系统的状态变量分析1.系统状态及状态方程的基本概念2. 信号流图signal flow graph信号流图的代数运算1. 只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。
3. 并联支路的合并：并联支路的总增益等于所有各支路增益之和（并联相加）。
2. 串联支路的合并：串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积（串联相乘）。
x 3信号流图的代数运算（续）4.结点的吸收和变换：输出结点可以消掉，混合结点也可以通过增加一个具有单位传输的支路变为输出结点。
5. 环路吸收：带有环路系统的总增益等于断开环路后所有输入输出支路增益乘积除以因式（1-环路增益）。
信号流图简化步骤环路吸收，去掉结点1X 例2结点吸收环路吸收信号流图简化步骤（续）环路吸收，去掉结点闭环4X 结点吸收，去掉结点4X信号流图简化步骤（续）442233221432443322432133222244444321332243211)1)(1(1)1)(1(G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H G H G G H H G H G H H H G H G H G H H H H H ++++++=++−−−−++=得到系统函数并联相加环路吸收)()(14422332214324433224321G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H ++++++=对于例2, 用梅森公式求系统的转移函数。
求信号流图的特征行列式△△=1+(H 2G 2+ H 3G 3+ H 4G 4+H 2H 3H 4G 1)+(H 2G 2H 3G 3+ H 2G 2H 4G 4)系统具有4个环路，分别为：L1=（X 1→X 2→X 1）=-H 2G 2L2= （X 3→X 4→X 3）=-H 3G 3L3= （X 4→Y →X 4）=-H 4G 4L4= （X 1→X 2→X 3→X 4→Y →X 1）=-H 2H 3H 4G 1互不接触环路为：L1和L2, L1和L3前向通路只有一条：g1=H 1H 2H 3H 4，其特征行列式的余子式△1为△1=1 –0 + 0 -……22)()0t e b)(t e i βp 1i α−1)(t r i p α+321===λλλ&&&321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ&&&。
实验六 系统的状态变量分析
实验六 系统的状态变量分析王靖08通信 12号实验目的（1）掌握MA TLAB 在系统状态变量分析中的应用。
（2）掌握利用MA TLAB 求解系统的状态方程。
实验环境安装MA TLAB7.0以上版本的计算机实验内容1. 利用help 命令了解以下命令的基本用法和意义tf2ss ，ss2tf ，lsim ，dlsim2. 微分方程到状态方程的转换描述连续LTI 系统的微分方程为：''()5'()10()'()4()y t y t y t x t x t ++=+试求该系统的状态方程。
步骤一：建立新的m 文件，保存并命名为program1.m 。
步骤二：输入以下命令，理解命令的含义。
%program1，微分方程到状态方程的转换 [,,,]2([14],[1510])A B C D tf ss =步骤三：保存程序并运行，记录得到的结果：5101;;14;0100A B C D --====步骤四：由得到的结果可以直接获得系统的状态方程和输出方程分别为：112212()()5101[][][][]()()()100()()[14][]()qt q t x t q t q t x t y t x t --=+= ： 思考：如何使用ss2tf 命令从状态方程获得系统函数矩阵H(s)？[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,k)3. 利用MATLAB 求解离散时间状态方程离散时间系统的状态方程一般形式为[1][][][][][]q k Aq k Bx k y k C q k D x k +=+=+可用函数dlsim 获得离散状态方程的数值解，其基本调用形式为：y=dlsim(A,B,C,D,x,q0)；用MA TLAB 计算以离散时间LTI 系统的输出。
其状态方程和输出方程分别为： 1122112201[1][]0[][][][][]15[1][]166[][]15[][][][][]20q k q k x k q k q k y k q k y k q k +=++--= 初始状态和输入分别为：12[0]2[][];[][][0]3q x k u k q == 步骤一：建立m 文件，保存并命名为program2.m 。
第6章系统的状态变量分析法
• 将时域求解结果式(6. 3. 10)和式(6. 3. 11)与变换域求解结果式(6. 3. 4) 相比较，不难发现(SI -A)-1就是eAt的拉普拉斯变换，也即:
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•及 •或 • 将上面两式联立可以写成:
• 在状态变量法中，也可将状态方程用矢量和矩阵的形式表示，式((6. 1. 4)改写为:
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6. 1状态变量与状态方程
• 对于图6.1.1电路，若指定电容电压为输出信号，用y(t)表示，则输出 方程的矩阵形式为:
• 结合上面的例子，下面给出系统状态变量分析法中相关的几个名词的 定义。
• 定义状态矢量x(t)和状态矢量的一阶导数x‘(t)分别为:
•
代表矩阵的转置，再定义输入矢量e(t)为:
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6. 2连续时间系统状态方程的建立
• 另外，把由系数aσ组成的n行n列的矩阵记为A，把由系数bσ组成的n 行m列的矩阵记为B，则:
• 把式(6.2.5)、式(6.2.6)和式(6.2.7)代人式(6.2.3)中，可将状态方程简 写为:
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6. 4离散时间系统状态方程的建立
• 式中x(k)为状态矢量，e(k)为输入矢量，Y(k)为输出矢量，A, B, C, D 为相应的系数矩阵:
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6. 5离散时间系统状态方程的求解
• 6. 5. 1离散时间系统状态方程的时域求解
• 一般离散时间系统的状态方程表示为: • 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 • 设给定系统的初始条件为x(0)，将k等于0，1, 2等依次代人式(6.5.1)
系统的状态变量分析法
出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状
第6章系统的状态变量分析法
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
第六章 系统的状态变量分析 习题
例题6-2.
解：
1 2 已知A = 0 − 1
−1
, 求状态转移矩阵Φ(t )
−1
s − 1 − 2 ( sI − A ) = s + 1 0 1 s + 1 + 2 = 2 s − 1 s −1 0 1 1 1 s − 1 s − 1 − s + 1 1 0 s +1 e t e t − e − t ⇒ Φ(t ) = u (t ) −t e 0
例题6-5 例题
（1）
x1 (t ) + f (t ) = x2 (t )
'
例题6-5 例题
（2）计算系统函数矩阵
( sI − A )
−1
Q
s −1 = 1 s − 1
−1
s − 1 1 1 = 2 s − s + 1 −1 s
−1
∴ H ( s ) = C ( sI − A )
例题6-1 例题
e −αt 已知 Φ(t ) = 0 te −αt −αt e
, 求矩阵 A
解：
− αe −αt Φ' (t ) = 0
−αt − αe 1 − α ⇒ A = Φ' (0 ) = 0 − α
(1 − αt )e
−αt
例题6-4 例题
y1(t)
+
i(t) 1欧姆 1亨利 +
-
x2(t)
y2(t)
+u(t)1
x (t)
2u(t)
3Ω 1欧姆
y(t)
+
1法拉 f(t) -+
信号与系统概论PPT第六章 系统的状态变量分析 (5)
本章小结
本章小结
离散系统的状态方程也可以由系统差分方程或系 统函数得到其直接型、串联型、并联型或并串型 实现的信号流图，然后依据流图，选取延迟器输 出为状态变量，建立其状态方程。不同的系统实 现会得到不同的状态方程。
本章小结
本章小结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第六节 状态变量的线性变换和系统稳定性分析
1.状态转移矩阵及其性质 Φ n=An
性质1：
Φn m ΦnΦm ΦmΦn
性质2：
Φn1 Φn
推论1：
Φ0 I
本章小结
系统状态是适当选取的一组变量，它在 0 时的值 可提供确定 t 0时系统状态的最必要信息。若给 定系统输入，可以得到 t 0 时的系统响应。这些 变量称为状态变量，状态矢量是元素为状态变量 的矢量。
电网络状态方程的建立：首先选择电容电压和电 感电流作为状态变量或电容电荷和电感磁链为状 态变量，再应用KCL和KVL等电路分析的基本理论 列出适当形式的状态方程。
本章小结
连续系统的状态方程也可以由系统微分方程或系 统函数得到其直接型、串联型、并联型或并串型 实现的信号流图，然后依据流图，选取积分器输 出为状态变量，建立其状态方程。不同的系统实 现会得到不同的状态方程。
信号与线性系统分析系统的状态变量分析(精)
1
t
t0
u L d
1 t0 其中：iL t0 u L d L
1 iC d C1
t
0
1 iC d C1
t0
1
i
t0
t
C1
d
1 t 1 t0 uC t 0 iC d 其中： uC1 t0 iC1 d C1 t C1 1 t 1 t 1 t uC t iC d iC d iC d C2 C2 C2 t
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2018/9/15
信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
4
本章讨论一种系统的近代分析法：状态变量分
析法或状态空间分析法。这种分析方法的特点是：
①在多输入、多输出系统分析中显示出其优越性；
②它既可以描述系统的外部特性，也可以描述系统
的内部特性；③而且还可以推广到时变系统和非线 性系统中；④它与数字计算机的应用紧密地结合起 来——数值计算。由此可知状态变量分析法已为系 统理论开拓出新的研究领域。
dt
dt
i2
u1
u1
1H
iL
u2
3
uL
f1 t
1
1F 2
iC
uC
u2 i2
uC
f 2 t
iL
iC
f1 t
f 2 t
上一页
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信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
19
u L t 1 iL t uC t f1 t 1 uC t f 2 t i t i t C L 3
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§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
H
s
s
1g +1 s
1 +
2
1 +
s
1 +
3
3.2串联型结构
例6-2： e(t)
S-1 x1(t)
S-1 x2(t)
S-1 x3(t)
r(t)
-1
-2
-3
x1' y1
t t
-x1 t + y0
x1
t
rx3t't
t
y
-x1 t
第六章 系统的状态变
量分析
复习
学习要点： 1. 依据电路的独立储能器件选择状态变量，并列写相应的连续系统状
态方程； 2. 依据系统最简的传递函数、信号流图、或实现框图，列写相应的连
续系统或离散系统的状态方程； 3. 使用变域技术或凯莱-哈密顿定理，计算系统状态转移矩阵； 4. 使用时域法或变域法，求解系统状态方程； 5. 线性变换对状态方程的影响； 6. 状态方程描述的系统稳定性判断方法。
§ 6-1 引 言
4.状态变量分析方法的优点
便于研究系统内部物理量的动态变化特性。 与系统复杂程度无关，差别仅在于系统激励矢量和 状态矢量的维数不同，无论是SISO、SIMO、MISO 或MIMO都可用同一形式的状态方程描述。 适用于时变系统或非线性系统，此时状态方程及/ 或输出方程是时变的或非线性的。 状态方程的特性参数鲜明地表征了系统关键性能， 尤其是系统稳定性、系统可控性和系统可观测性。 为系统的CAA或CAD提供了有效途径。
-3x3 t 3 t x3
+ et
+ y2 t t + y2
t
-xy322'xt3ttx-+22xxt22tt
+
x3 t + x2 t
y1
t
-2
x2
t
+
x1
t
-1 0 0
1
X
'
t
1 0
-2
0
X
t
+
0
e
t
1 -3
0
r t 0 1 1 X t
A矩阵一定是下三角阵
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
e2(t) --
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程
例6-1：
1H
—13 H
i1 t
X
t
i2
t
vC t
2Ω
+ e1(t)
-
x1(t)
—12 F i1(t)
x2(t) ic +
x3(t) -
i2(t)
+
1Ω
r(t) +
e2(t) --
2 x1 1 3 x2
3.1直接型结构 H s b0sn + b1sn-1 + + bn-1s + bn
s n + a1s n-1 + + an-1s + an
1 e(t)
b0
b1
b2
bk-2 bk-1
s-1
s-1
xk
xk-1
-a1
-a2
s-1
s-1
r(t)
x3
x2
x1 bk
-ak-2 -ak-1
-ak
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程 通常，首先选取所有电容电压和电感电流为 自变量； 然后根据KCL和KVL列写电路方程； 最后，判断矩阵 A是否非奇异，若非奇异， 则所选变量就是状态变量；否则消去多余自 变量，只留下状态变量和输入变量，经整理 后就得到所需的系统状态方程。
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
1.状态方程的一般形式
一个有 m维输入、n维输出的动态系统可一般地表示
为矢性一阶非线性时变微分方程：
状态方程： X ' t f X t, et, t 输出方程： r t h X t, et, t
k 维状态矢量：X t x1 t x2 t L xk t T
§ 6-1 引 言
2.状态变量分析理论的重要意义 卡尔曼（Kalman）提出的以状态变量分析为核心
的现代系统理论用描述系统内部特性的状态变量 取代了描述系统外部特性的系统函数 这种描述可方便地运用于分析多输入-多输出系统 进一步提出的可控性和可观测性概念完整地揭示 了系统内部特性 状态空间法也能成功地应用于分析时变系统或非 线性系统 能方便地使用计算机求解系统
x2
x1 bk
-ak-2 -ak-1
-ak
n
n
r t b0 xn' t + bi xn+1-i t b0e t + bi - b0ai xn+1-i t
i 1
i 1
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
3.1直接型结构
x' 1
t
x' 2
t
x2 x3
n维非线性时变函数矢量
fk X t , e t , t T
h X t , e t , t h1 X t , e t , t h2 X t , e t , t L hn X t , e t , t T
对于线性时不变连续系统的特殊情况，有
状态方程 X ' t AX t + Bet
输出方程 r t CX t + Det
§ 6-1 引 言
1.经典系统分析方法的缺陷 经典系统分析方法包括时域法和变域法，它研
究LTI系统的冲激响应、阶跃响应、零输入响应 和零状态响应等时域特性及系统传递函数、幅 频特性、相频特性等频域特性（尤其是频率响 应特性）的概念。 经典的线性系统理论不能揭示系统内部特性， 不能有效地处理多输入-多输出系统，也不易推 广应用于分析时变系统或非线性系统。它仅适 合于分析单输入-单输出的线性时不变系统的外 部特性，具有相当大的局限性。
0
0
M O M X t + M et
0
L
1
0
-an -an-1 -an-2 L
r t bn - b0an bn-1 - b a0 n-1 L
-a1 b2 - b0a2
1 b1 - b0a1 X t + b0e t
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
D(t)
X´(t)
X(t)
r(t)
B(t)
积分
C(t)
e(t)
A(t)
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程 对含有RLC的电路，选取电容电压和电感电 流为状态变量； 对于仅含LC的电路，选取电容电荷和电感磁 链为状态变量。注意，为确保矩阵 A可逆，每 个状态变量必须是独立变量。
H s 1.5 + - 2 + 0.5
s +1 s + 2 s +3
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
1.状态方程的一般形式
X ' t AX t + Be t r t CX t + De t
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M O
ak
1
ak 2
L
a1k
b11 b12 L
a2k
,
B
b21b22L源自M M M Oakk
bk1 bk 2 L
3.由信号流图建立状态方程 由系统微分方程或系统函数可得其直接型、 串联型、并联型或并串型实现的信号流图。 3.1直接型结构
H s b0s n + b1s n-1 + + bn-1s + bn
s n + a1s n-1 + + an-1s + an
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
3.由信号流图建立状态方程
3.3并联型结构 H
每个子系统输出为：
s
b0
+
i
Hi
s ,
Hi
s
s
ki - pi
xi t
xi' t pixi t + kiet i 1, 2,L ,n
n
r t xi t
矩阵一定是个对角阵
i 1
各状态变量之间互 相解偶
p1
X
'
t
0 M
0 p2 M
L L O
3.2串联型结构
每个子系统输入为
H s
i
Hi
s ,
Hi
s
ci
+
s
di - pi
H i s yi-1 t
xi ' t yi t
pi xi t xi t
+ di yi-1 t + ci yi-1 t
i 1, 2, , n
每个子系统输出为：
yi t
y0 t et, yn t r t
b1m
b2
m
M
bkm
c11 c12 L C c21 c22 L
M M O cn1 cn2 L
c1k
d11 d12 L
c2k
,
D
d21
d22
L
M M M O
cnk
dn1 dn2 L
d1m
d2
m