线性系统的状态变量分析
第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
《Simulink与控制系统仿真(第3版)》的课件 线性系统状态空间分析和非线性系统分析
11.2 非线性系统概述
含有非线性元件或环节的系统称为非线性系统。非线性特性包括 许多类型，典型的静态非线性特性包括死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性和继电非线性。
采用MATLAB绘制相轨迹图
绘制相轨迹图的实质是求解微分方程的解。求解微分方程数 值解的算法有多种，MATLAB提供了求解微分方程的函数组， 常用的有ode45，它采用的计算方法是变步长的龙格-库塔4/5 阶算法。 ode45()常用的调用格式如下： [t, y]=ode45(odefun, tspan, y0) 在用户自己编写的MATLAB函数中既可以描述线性系统特性， 也可以描述非线性系统特性。
Relay：继电非线性； Saturation：饱和非线性； Saturation Dynamic：动态饱和非 线性；
Wrap To Zero：环零非线性。
11.3 相平面法
应用相平面法分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，弄清非线性系统的稳定 性、稳定域等基本属性以及解释极限环等特殊现象，具有非常直观形象的效 果。 由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几 乎无能为力，这是相平面法的局限。
11.2.3 Simulink中的非线性模块
Backlash：间隙非线性； Coulomb&Viscous Friction：库仑 和黏度摩擦非线性；
Dead Zone：死区非线性； Dead Zone Dynamic：动态死区 非线性；
Hit Crossing：冲击非线性； Quantizer：量化非线性； Rate Limiter：比例限制非线性； Rate Limiter Dynamic：动态比例 限制非线性；
第11章 线性系统的状态变量分析法
duC 1 dt RC di 1 L dt L
1 uC 0 C i 1 uS ( t ) 0 L L
若uL,ic,uR,iR作为输出
uL iC u R iR 1 1/ R 1 1/ R 0 1 1 uC 0 0 i L 0 uS ( t ) 0 0
L + uS(t) + uL iL + uC iC iL R C R 2 + uR
选uC , iL 为状态变量
列微分方程
duC uC iC C iL dt R
di L uL L uS ( t ) uC dt
duC 1 dt RC di 1 L dt L
输出方程
x1 x 2 y b0 ,b1 ,...., bm ,0,..., 0 x 3 ... xn
bm s m bm 1s m 1 b1s b0 x(t ) A x(t ) B e(t ) H (s) n n 1 s an 1s a1s a0
输出方程：
x1 y 10 4 0 x 2 x3
r(t)=10x1+4x2
y(t ) C x(t ) D e(t )
状态方程： x(t ) A x(t ) B e(t ) 输出方程：
y(t ) C x(t ) D e(t )
取相变量为状态变量
状态方程
1 0 x1 ' 0 x ' 0 1 2 0 x 3 ' 0 0 0 .. ... .. x n a 0 a1 a 2 0
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
实验二线性系统分析
实验二线性系统分析一、实验目的通过实验，掌握线性系统的特性和分析方法，了解系统的幅频特性和相频特性。
二、实验原理1.线性系统线性系统是指遵循叠加原理和比例原理的系统，可以表示为y(t)=h(t)⊗x(t)，其中h(t)为系统的冲激响应，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号，⊗为线性卷积操作。
2.系统的频域特性系统的频域特性可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）来进行分析，DFT是将离散时间域信号变换到离散频域的方法。
3.系统的幅频特性系统的幅频特性描述了输出信号的幅度随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。
4.系统的相频特性系统的相频特性描述了输出信号的相位随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。
三、实验步骤1.准备工作：a.将信号发生器的频率设置为100Hz，幅度设置为5V。
b.将示波器的触发模式设置为自动，并调节水平位置使信号波形居中显示。
2.测量系统的幅频特性：a.将信号发生器的输出信号连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道1连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道2连接到线性系统的输出端口。
b.调节示波器的时间基准使波形显示在适当的范围内。
c.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的波形。
d.在示波器中进行幅度测量，并记录下输入信号和输出信号的幅值。
e.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到幅频特性曲线。
f.绘制输入信号和输出信号的幅频特性曲线，并进行比较和分析。
3.测量系统的相频特性：a.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的相位差。
b.在示波器中进行相位测量，并记录下输入信号和输出信号的相位。
c.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到相频特性曲线。
d.绘制输入信号和输出信号的相频特性曲线，并进行比较和分析。
信号与系统第五章
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
信号与线性系统分析系统的状态变量分析(精)
1
t
t0
u L d
1 t0 其中：iL t0 u L d L
1 iC d C1
t
0
1 iC d C1
t0
1
i
t0
t
C1
d
1 t 1 t0 uC t 0 iC d 其中： uC1 t0 iC1 d C1 t C1 1 t 1 t 1 t uC t iC d iC d iC d C2 C2 C2 t
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2018/9/15
信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
4
本章讨论一种系统的近代分析法：状态变量分
析法或状态空间分析法。这种分析方法的特点是：
①在多输入、多输出系统分析中显示出其优越性；
②它既可以描述系统的外部特性，也可以描述系统
的内部特性；③而且还可以推广到时变系统和非线 性系统中；④它与数字计算机的应用紧密地结合起 来——数值计算。由此可知状态变量分析法已为系 统理论开拓出新的研究领域。
dt
dt
i2
u1
u1
1H
iL
u2
3
uL
f1 t
1
1F 2
iC
uC
u2 i2
uC
f 2 t
iL
iC
f1 t
f 2 t
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2018/9/15
信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
19
u L t 1 iL t uC t f1 t 1 uC t f 2 t i t i t C L 3
大连理工大学852 信号与系统2021年考研专业课初试大纲
大连理工大学2021年硕士研究生入学考试大纲科目代码：852 科目名称：信号与系统一、绪论1.信号的定义﹑分类、性质，信号的时域运算；2.系统的定义﹑分类，线性时不变系统的性质及判断（要求判断过程）。
二、连续时间系统的时域分析1.线性时不变连续时间系统数学模型的建立；2.冲激信号和阶跃信号的定义、性质及时域求解，信号的时域分解；3.线性时不变系统单位冲激响应和单位阶跃响应的定义及时域求解；4.卷积积分定义、性质及求解；5.零输入响应及零状态响应的定义及时域求解。
三、连续时间信号的频域分析1.周期信号的傅立叶级数分解，周期信号的频谱及其性质；2.非周期信号的傅立叶变换及其性质，非周期信号的频谱，常见信号的频谱；3.信号功率与能量的概念及帕塞瓦尔定理。
四、连续时间系统的频域分析1.连续时间系统频率响应函数的定义及求解；2.连续时间系统的频域分析法；3.理想低通、高通、带通、带阻滤波器，系统的因果性，佩利维纳准则；4.幅度调制的基本概念、原理、频谱图及功率；5.线性系统不失真传输条件。
五、连续时间系统的复频域分析1.拉普拉斯变换的定义、收敛域、性质，以及常见信号的拉普拉斯变换；2.拉普拉斯反变换的求解；3.连续时间系统的复频域分析；4.无阻尼，临界阻尼，欠阻尼，过阻尼；5.系统模拟框图；6.信号流图。
六、连续系统的系统函数1.系统函数的定义及表示方法；2.系统函数零极点分布与系统频率响应之间的关系；3.稳定系统的定义及判别；4.最小相移网络、非最小相移网络和全通网络。
七、离散时间系统的时域分析1.采样信号，采样信号频谱及采样定理；2.离散时间信号的定义及时域运算；3.线性时不变离散时间系统的差分方程描述与模拟框图描述；4.线性时不变离散时间系统单位函数响应的定义及求解；5.卷积和及其主要性质；6.离散时间系统的零输入响应和零状态响应的时域求解。
八、离散时间系统z变换分析1.z变换的定义、收敛域、性质，以及常见信号的z变换；2.反z变换的计算方法；3.z变换与拉普拉斯变换的关系；4.离散系统的z变换分析方法；5.离散系统系统函数的概念，系统零极点的概念及其应用；6.离散时间系统的稳定性，离散系统频率响应的概念及与系统零极点分布的关系。
线性系统状态空间分析和运动解
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析
设iL 0 0, vC 0 0,
et Eut , R 2 L
则
C
i
L
t
E L
te0t
vC t E 1 e 0t 0t 1
0
1 LC
iL t
I Lmax
O 1 0
t
vC t
E
O
t
iL t
I Lmax t0
t 0 t 1 0
E vC t
用状态变量分析系统的优点:
... bn 2
... ... ...
...
bnm
f
m
•
x Ax Bf
3．输出方程
y1 c11 c12 ... c1n x1 d11 d12 ... d1m f1
y2
c21
c22
...
c2n
x2
d21
d22
...
d2m
f2
... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ...
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
9.2 连续时间系统状态方程的建立
1．状态变量的选取
对于一个电路,选择状态变量最常用的方 法时取全部独立的电感电流和独立的电 容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.
3．状态方程的矢量表示
•
x1
a11
a12
...
a1n x1 b11
b12
... b1m f1
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计算机控制系统
第五章 线性系统的状态变量分析
5.2 用状态方程描述线性定常连续系统
5.2.1 由高阶微分方程化为状态方程
y(n) a1 y(n1) an1 y an b0u(m) b1u(m1) bm1u bmu
(m＜n)
其中y为输出函数，u为输入函数。列写状态方程就是 把上式的高阶微分方程化为与确定的状态变量相应的 一阶微分方程组，然后用矩阵表示。
i(t)
u(t)
系统。
（1）微分方程
L
di dt
Ri
1 C
idt
e
1 C
idt
u
u R u 1 u 1 e L LC LC
（2）传递函数
U (s) E(s)
LCs 2
1 RCs
1
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第五章 线性系统的状态变量分析
（3）状态空间表示。定义状态变量
定义输入和输出变量
x1 u x2 u
ue
y u x1
则可得状态方程
输出方程
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
LC
u
y 1
0
x1 x2
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第五章 线性系统的状态变量分析
写成标准形式 式中
X AX BU Y CX DU
0 1
A
1 LC
R L
,
0 B 1 ,
X (t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
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第五章 线性系统的状态变量分析
3 状态空间 状态向量所有可能的集合 — 以状态向量各元素 x1,
x2 ,, xn 为坐标轴组成的n维正交空间称为状态
空间。
4 状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分 方程组，用向量矩阵表示的方程式称为状态方程。
（1）微分方程
m
d 2 y(t) dy2
c
dy(t) dt
ky(t)
f
(t)
（2）传递函数
Y (s)
1
G(s) F (s) ms 2 cs k
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（3）一阶微分方程组
dy v dt m dv f ky cv
dt
这是系统的状态方程，
当已知初始位移 y(t0 )、 速度 v(t0 ) 、和输入量 f (t) 时，系统的状态就 唯一确定了。
第五章 线性系统的状态变量分析
定义状态变量
x1 y x2 v
则
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
1 m
f
定义状态向量
X
x1
x2
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第五章 线性系统的状态变量分析
则得到状态方程
x1
x2
0
k m
1
c m
x1
x2
0 1 m
f
（5.1-1）
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第五章 线性系统的状态变量分析
2 输出方程
标准形式
Y CX DU
式中
Y — p×1维输出向量；
C — p×n维系数矩阵（输出矩阵；
D — p×m维系数矩阵（直传矩阵）。
注意 在状态方程中不能含有X高于一阶的导数项 和U的任何阶的导数项；在输出方程中不含有任 何导数项。
中南大学机电工程学院
● 现代控制理论与经典控制理论的区别
前者适用与多输入-多输出系统，可以是线性的或 非线性的，也可以是定常的或时变的；后者仅适用 于线性、定常、单输入-单输出系统。
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第五章 线性系统的状态变量分析
5.1 状态变量分析的基本概念
【引例】
1. 右图所示质量-阻尼-弹簧系统，有三种描述方法。
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第五章 线性系统的状态变量分析
5.1.3 状态方程与输出方程的标准形式
1 状态方程 标准形式
式中
dX AX BU 或 X AX BU
dt
X为n×1维状态向量； U 为m×1维输入向量；
A为n×n维系数矩阵（状态矩阵）；
B 为n×m维系数矩阵（输入矩阵）。
பைடு நூலகம்
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第五章 线性系统的状态变量分析
第 5 章 线性系统的状态变量分析
本章主要教学内容
1. 状态变量分析的基本概念 2. 用状态方程描述线性定常连续系统 3. 线性离散系统的离散状态空间表达式 4. 线性定常连续系统的状态方程分析 5. 用线性离散状态方程分析系统 6. 线性连续系统的离散化
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第五章 线性系统的状态变量分析
（1）定常系统 — A和B中的各元素都是不随时间变 化的常数；
（2）时变系统 — 有一些元素是时间的函数，即
A A(t), B B(t);
（3）非线性系统 — 其状态方程不可能写成上述标准 形式，只能一般地表示为
dX F(X ,U ,t) dt
中南大学机电工程学院
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第五章 线性系统的状态变量分析
研究对象、数学工具与理论
研究对象
单输入单输出 系统
连续 离散
多输入多输出 系统
连续 离散
数学工具 时域
频域
理论
微分方程
传递函数法 (Laplace变换) 经典控制理论
差分方程
Z传递函数法 计算机控制理
(Z变换)
论
一阶微分方程组 (状态空间法)
传递矩阵法 现代控制理论
一阶差分方程组 (离散状态空间法) Z传递矩阵法
计算机控制理 论
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第五章 线性系统的状态变量分析
● 现代控制理论 由于复杂的任务和高精度的要求，工程系统正朝
着更加复杂的方向发展。复杂系统可能具有多输入
量和多输出量，并且可能是时变的。从1960年开始 发展起来的现代控制理论，就是对复杂系统进行分 析和设计的新方法，它建立在“状态”概念之上。
输出方程
y 1
0
x1 x2
写成标准形式
X AX BU
式中
Y CX DU
0 1
0
A
k m
c m
,
B 1 , m
C 1 0,
（5.2-2） D0
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第五章 线性系统的状态变量分析
2. 由一个电阻R（欧姆）、
电感L（亨利）和一个电
容C（法拉）组成的电路 e(t)
LC
C 1 0,
D0
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第五章 线性系统的状态变量分析
5.1.2 状态变量、状态向量、状态空间、状态方程 1 状态变量
动力学系统的状态是指能完整地、准确地描述系统
的时域行为的最小一组变量：x1(t), x2 (t),..., xn (t).
2. 状态向量 以状态变量 x1(t), x2 (t),..., xn (t) 为元组成的列向量 X (t) 称为状态向量.