系统的状态变量分析法

输出方程：
2) 已知系统信号流图或网络函数列写方程。 例1： 图示系统，列写状态方程和输出方程。
状态变量：选积分器的输出。
状态方程矩阵形式：
输出方程矩阵形式：
例2：图示系统，列写状态方程和输出方程。
选积分器的输出为状态变量
状态方程
输出方程
矩阵形式：
由一阶子系统并联组成，A为对角阵，对角线元素为特征根
三、状态空间方程的标准形式：状态方程矩阵形式：
uR t Ri(t) uL t Ri(t) uc (t) us (t)
输出方程矩阵形式：
对有m个输入，q个输出的n阶系统：
系统矩阵
状态空间方 程的 标 准形式
状态方程： 输出矩阵
输出方程：
控制矩阵
四、状态空间方程的建立
1、已知系统的电路图（直接列写法）
在含L3的回路写KVL方程 状态方程:
输出方程:
例3、图示电路，列写状态方程和 输出方程。 解： 独立电容所在节点KCL方程:
独立电感所在回路KVL方程:
2、已知系统模型列写（间接列写法）
1) 已知系统微分方程列写状态空间方程。（不含激励导数） 例：
解： 选状态变量：
写方程：
不含激励的导数
状态方程：
二、离散系统状态空间方程建立
1、 选状态变量：独立、完备（个数=系统阶数） 一般可选信号流图中延迟器的输出；
2、 列写初始方程，消去非状态变量、整理化简方程为 标准型方程：
3、 列写输出方程，并整理为标准型方程：
前向差分
例1：
选状态变量： 状态方程
输出方程
不含f(k)的移位序列。
例2：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为 状态变量：选延迟器输出
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练习3：已知系统函数，用并联型信号流图列写状态 方程和输出方程，
状态变量：选积分器输出。
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例3：图示系统，列写状态方程和输出方程。 状态变量：积分器输出 状态方程
输出方程 矩阵形式：
9-2 离散系统状态空间方程建立
1、状 态：在已知系统激励条件下求解系统所必需具备的最少信息。 2、状态变量：状态随时间变化的一组独立完备离散变量。 3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶前向差分关系的差分方 程组。 4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。 7、状态轨迹：状态在状态空间随时间变化所形成的轨迹。
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。
出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
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9-2 离散系统状态空间方程建立
一、离散系统状态方程和输出方程的标准形式 1、状态方程的标准形式 引例：一阶系统（含一个延迟单元）
通常选延迟器的输出为状态变量： x(k+1)=ax(k)+f(k) 前向差分
标准形式：
x(k+1)
f(k)
∑
D
++
a
x(k)
2、输出方程的标准形式
说明：采用前向差分利于列 写状态方程。
(d) 求以 x1= uc，x2= iL作为状 态变量列写系统的状态方程；
解：(d)
写出uL、 iR为响应的输出方程：
例2、图示电路，以 x1= uc，x2= iL2 ，x3= iL3作
A
为状态变量列写状态方程； 写出y1=uL2，
y2=uR为响应的输出方程。
解： 在节点A写KCL方程
在含L2的回路写KVL方程
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状
n阶系统m
Hale Waihona Puke Baidu
态变量x(t)为分析
个输入q个
对象；建立f(t)与
输出
输
x(t)以及f(t)、 x(t) 与y(t)的关系。
含f(k)移位序列时，一般由信号流图或 网络函数列写状态方程和输出方程。
例3：图示系统，列写状态方程和输出方程。（多输入-多输出） 状态变量：延迟器输出 状态方程
输出方程
9-3 系统状态空间方程变域求解
一、 连续系统状态空间方程s域求解
1、状态方程s域求解
2、输出方程s域求解
状态预解矩阵
系统函数矩阵
3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
1) 选状态变量：独立、完备（个数=系统阶数） 一般可选独立电容电压和独立电感电流；
2) 初始方程列写： 写出独立电容所在节点KCL方程；最好只含一个电容； 写出独立电感所在回路KVL方程；最好只含一个电感；
3) 消去非状态变量、整理化简方程为标准型方程：
4) 列写输出方程，并整理为标准型方程：
例1、图示电路，说明下列各对变量是否可以作为状态变量? (a) iR，uc； (b) iL，uc； (c) iR， uL
uR (t)和uL (t)为系统输出响应
二、几个常用术语：
1、状 态：在已知系统激励条件下求解系统所必需具备的最少信息。 状态变量在某一时刻的取值，如：uc(0+)、iL(0+)等。
2、状态变量：随时间变化的一组独立完备变量。即能够表示系统状态的 变量（个数=系统阶数）； 与激励一起可以线性表示系统的所有响应； 通常选独立电容电压和独立电感电流。