第八章 系统状态变量分析.
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
信号与线性系统分析 第八章 系统状态变量分析
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一阶微分方程组。 构成的一阶微分方程组。 这是由三个内部变量 、 和 构成的一阶微分方程组 若初始值u 已知， 若初始值 C(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据 0时的给定激 、 和 已知 则根据t≥t 就可惟一地确定在t≥t 励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在 0时的解 C(t)、iL1(t)和iL2(t)。 和 就可惟一地确定在 时的解u 、 和 。
信号与系统 电子教案
第八章 系统状态变量分析
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写 由输入二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 8.4 8.5
离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解
信号与系统 电子教案 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 外部法 输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： 只适用于单输入单输出系统， （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； 系统，将增加复杂性； 只研究系统输出与输入的外部特性， （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 内部法——状态变量法是用 一阶微分或差分方程组（ 变量的一阶微分或差分方程组 状态方程） 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 优点有： 提供系统的内部特性以便研究。 统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。 便于分析多输入多输出系统； （2）便于分析多输入多输出系统； 一阶方程组便于计算机数值求解。 （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。 于时变系统和非线性系统。
信号与系统---第八章 系统的状态变量分析
f1 k c11 ... c1n x1 k d11 ... d1 p f 2 k ... ... ... ... ... ... ... ... ... c ... c x k d ... d nn n np n1 n1 f k y k p n
则：x1 t 0 c x2 t c f t
x2 t
1 R RL RC x1 t C x2 t f t L L L y1 t x1 t RC x2 t RC f t y2 t 0 x2 t f t
第八章 系统的状态变量分析
绪论 §8.1 状态方程 一、状态变量与状态方程 二、状态方程的一般形式 §8.2 状态方程的建立 一、电路状态方程的列写 二、连续系统状态方程的建立 三、离散系统状态方程的建立 §8.3 连续系统状态的解 一、状态方程的时域解 二、状态方程的变换解
§8.4 离散系统状态方程的解 一、离散系统方程的建立 二、状态方程的时域解 三、状态方程的变换解 四、可控性和可测性
输出方程：
y1 ic x2 x3
y2 u r is x3 x1 y1 0 1 1 0 0 u s x2 i y 0 0 1 0 r s 2 x 3
矩阵形式： x t
用电容上电压，电感上电流来描述系统的状态。即系统在某一时刻t 的状态可由必须数目的一组变量 x1t0 , x2 t0 ,......xn t0 上例中的电容电 压电感电流来描述。在 t 0 时在一定的输入下可唯一的确定 xn t ，并可由t时刻状态和输入确定该 的任意时刻状态 x1t , x2 t ,...... 时刻的输出。xi t i 1,2,...... n 是描述系统状态变化的一组变量，叫状 态变量 由状态变量组成的变量方程叫状态方程 动态方程或系统方程 由状态变量和输入表示输出解的方程叫输出方程
第八章 系统的状态变量分析法
x1
-an-1 -an-2
b0
-am
-a2
-a1
-a0
Y(s)
输出方程：
y ( t ) b 0 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 . . b n . 1 x n b n x n
状态方程不变。 输出方程：
y(t)(b0bna0)x1(b1bna1)x2(b2bna2)x3 ...(bn1bnan1)xnbne(t)
. . .
x n 1 a n 1 x 1 x n ( b 1 a 1 b n ) e ( t) x n a 0 x 1 (b 0 a 0 b n )e (t)
称为Kalman形式2。
Ex. 1 写出系统的状态方程。
H(s)s36ss241s15
...
1
xn1
0
... an1 xn 1
x1 A
B
y(t)b0,b1,b2..b.m0..0. ...
C
xn
D0
当m=n时： bn
E(s) 1
S 1
xnS
1
xn-1
xm+1
x3
b2
S 1x2
b1 S
1
解：
x1 0 1 0 0
x20 0 1 x20e(t)
x3 5 116 x3 1
x1
y(t) 4
1
0
x2
x3
或：
x1 6 1 0 x1 0
C
xn
0 x1 0
0
x2
0
.. ...... e(t)
1
xn1
b1
信号与系统分析第八章 系统的状态变量分析
对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
第八章系统的状态变量分析
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
第5页/共47页
写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
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d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R1 1 uC iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC u
8.1 状态变量与状态方程 一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程
R1 iL1 L1
a a
uC
iL2 L2 iC
R2
us1
u
us2
du C C iL 2 iL1 0 dt d iL1 R1iL1 L1 uC u S 1 0 dt d iL 2 L2 R2iL 2 u S 2 uC 0 dt
第八 章
8.1
系统状态变量分析
状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2
状态方程的建立
一、电路状态方程的列写 二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 8.4 8.5
离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解
第八章
系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
8.2 连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程
首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。
y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
写成矩阵形式： 状态方程
(t ) Ax(t ) Bf (t ) x 输出方程 y(t ) Cx(t Байду номын сангаас Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 对离散系统，类似
状态方程
x(k 1) Ax(k ) Bf (k ) 输出方程 y(k ) Cx(k ) Df (k )
R2
us1
uC
us2
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 u (t ) R 2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 系统的输出容易地由 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t ) 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程
状态与状态变量的定义
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。 在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及 输入的线性组合；（2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
对于一般的n阶多输入-多 输出LTI连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为
f1(t) f2(t) ┇ fp(t)
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇
yq(t)
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x