第6章 无约束优化
无约束最优化方法直接搜索法课件
x2
S(1)
S2(1
)
(1)
X3 X2 (1)
X* X2 (2) X1 (2)
S(2)
X0 (1)
X 1 (1)
S1(1) x1
• 鲍威尔基本算法的缺点
鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于一般的 函数，就是对于二次函数，它也可能失效。因为在迭代过程 中的n个搜索方向有时会变成线性相关，而不能形成共轭方向， 从而张不成n维空间，导致随后的迭代搜索在降维(“退化”) 的空间中进行，可能求不到极小点，故需进行改进。
x 2 XL X2
Xn+3 Xn+2
Xn+1
Xห้องสมุดไป่ตู้ XH
X1 XG x1
6)扩张：当 fn+2 < f L 时，取扩张点Xn+3 ，即
Xn+3 = Xn+1 + (Xn+2 – Xn+1)
( =1.2~2.0 )
并计算 fn+3 = f (Xn+3 ) 。 若 fn+3 < fn+2 ，则以Xn+3 代替 X H ， fn+3 代替 fH ，构造一个新的单纯形；否则，以 X n+2 代 替XH ， fn+2 代替fH ，构造新的单纯形；然后返回到 3)。
鲍威尔条件：
若 f 3 < f 1, ( f1 - 且2f2 + f3) (f1 - f2 - △m(k))2 < 0.5 △m(k) (f1 - f3 )2 同时成立，则用 S ( k ) 替代 S m ( k ) ；否则，仍用 就是鲍威尔修正算法，通常所说的鲍威尔算法就是指这一修正算法。
• 鲍威尔算法的计算步骤及算法框图
北航刘红英数学规划教材课后习题参考答案
ri(x)∇ri(x)
=
2A(x)T r(x),
∇2f (x)
= =
2 2
∑m ∑mi=1
i=1
ri(x)∇2ri(x) ri(x)∇2ri(x)
+ +
2
∑n
i=1
∇ri
(x)(∇ri
(x))T
2A(x)T A(x).
1.6 考虑向量值函数 f (x) : Rn → Rm ，设 f 的每个分量函数 fi(x) 在 x′ 都可微. 写出 f 在 x′ 的Taylor展式，请用 A(x)T 表示 ∇f (x)T (= [∇f1(x), · · · , ∇fm(x)]).
maximize 200x + 60y + 206z
subject to 3x + y + 5z ≤ 8000000
5x + y + 3z ≤ 5000000
x, y, z ≥ 0, 且 x, y, z 是整数.
忽略掉整性要求后，调用 Matlab 中的 linprog.m 函数求解，得最优解 x = 0, y = 500000, z = 1500000，自动满足整性要求.
的最优值相同，将这个问题的最优解投影到 (x, y, z) 所在的空间可以得到原问题的解. 这个问题可以写成线性规划问题：
minimize t1 + t2 + t3 subject to x + y ≤ 1,
2x + z = 3, −t1 ≤ x ≤ t1, −t2 ≤ y ≤ t2, −t3 ≤ z ≤ t3.
解:
(a) ∇f (x) = a, ∇2f (x) = 0n×n; (b) ∇f (x) = (A + AT )x, ∇2f (x) = A + AT ;
无约束优化方法
无约束优化方法1. 最速下降法（Gradient Descent Method）最速下降法是一种基于梯度信息的迭代优化算法。
其基本思想是从任意初始点开始，沿着目标函数的梯度方向进行迭代，直到达到收敛条件。
最速下降法的迭代更新公式如下：x_{k+1}=x_k-t_k*∇f(x_k)其中，x_k是第k次迭代的解向量，t_k是第k次迭代的步长（也称为学习率），∇f(x_k)是目标函数在x_k处的梯度向量。
最速下降法的步骤如下：1）选取初始点x_0。
2）计算目标函数的梯度∇f(x_k)。
3）计算步长t_k。
4）更新解向量x_{k+1}。
5）判断迭代终止条件，如果满足则停止迭代；否则返回第2步。
最速下降法的优点是易于实现和理解，收敛性较好。
然而，最速下降法存在的问题是收敛速度较慢，特别是对于目标函数呈现狭长或弯曲形状的情况下。
这导致了在高维优化问题中，最速下降法的性能较差。
2. 牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种基于二阶导数信息的迭代优化算法。
它使用目标函数的一阶和二阶导数信息构造一个二次近似模型，然后求解该模型的最小值。
牛顿法的迭代更新公式如下：x_{k+1}=x_k-H_k^{-1}*∇f(x_k)其中，H_k是目标函数在x_k处的海森矩阵，∇f(x_k)是目标函数在x_k处的梯度向量。
牛顿法的步骤如下：1）选取初始点x_0。
2)计算目标函数的梯度∇f(x_k)和海森矩阵H_k。
3）计算更新方向H_k^{-1}*∇f(x_k)。
4）更新解向量x_{k+1}。
5）判断迭代终止条件，如果满足则停止迭代；否则返回第2步。
牛顿法的优点是收敛速度快，尤其是在目标函数曲率大的地方。
然而，牛顿法也存在一些问题。
首先，计算海森矩阵需要大量的计算资源，特别是在高维空间中。
其次，当海森矩阵不可逆或近似不可逆时，牛顿法可能会失效。
综上所述，最速下降法和牛顿法是两种常用的无约束优化方法。
最速下降法简单易实现，但收敛速度较慢；牛顿法收敛速度快，但计算量大且可能遇到海森矩阵不可逆的问题。
无约束优化算法--最速下降法
无约束优化算法无约束优化算法问题，是指优化问题的可行集为nR ，无约束的标准形式为： min ():n f x f R R →1. 最优性条件（1） 极小值点的一阶必要条件设():n f x R R →为连续可微函数，如果*x 为局部极小值点，则*x 为驻点，即梯度*()0f x ∇=。
（2） 极小值的二阶必要条件设():n f x R R →为二阶连续可微函数，如果*x 为局部极小值点，则*x 为驻点，即梯度*()0f x ∇=，二阶hesse 2*()f x ∇半正定。
（3） 极小值点的二阶充分条件设():n f x R R →为二阶连续可微函数，如果梯度*()0f x ∇=，二阶h e s s e 2*()f x ∇正定，则*x 为f 的局部极小值点，*n x R ∈。
以上三个定理为搜索最优点以及判断一个点是否为最优点的基本依据。
经典的优化算法的停止条件为*()0f x ∇=，例如在程序中*8()110f x -∇≤⨯ ，即在导数范数小于某特定误差限时停止。
误差限较大，则算法迭代次数减少，计算时间缩短，但解得质量降低；误差限较小，则算法迭代次数增加，计算时间增加，但解的质量提高；误差限一般为8110-⨯，可以根据实际情况设定合适的误差限。
当然，还有极小值点的二阶必要条件与极小值点的二阶充分条件，对2*()f x ∇的判断，由于目标函数比较复杂，二阶导数矩阵的计算量极大，所以一般算法都在迭代过程中对2()()k f x∇进行修正，得到2(1)()k f x +∇，在修正的过程中始终保持2*()f x ∇的正定性，以此方法解决极小值点的二阶条件问题。
2. 最速下降法2.1 算法原理最速下降法是早期的优化算法，其理论根据函数的一阶泰勒展开： 由()()()()Tf x d f x f x d d ααοα+=+∇+ 得到()()()()T f x d f x f x d d ααοα+-=∇+根据下降要求()()0f x d f x α+-≤ 故()()0Tf x d d αοα∇+≤实际中要求()0T f x d α∇≤根据上式选取合适的d ，得()0T f x d α∇≤。
无约束优化方法
无约束优化方法
**一、最速下降法**
最速下降法（Gradient Descent）是一种迭代优化方法，它是在梯度下降算法的基础上，通过更新梯度的方式来实现最优化目标的过程。
它的思想是：从一个初始点出发，沿着梯度方向，使得目标函数值在末尾尽可能的小。
它可以用来优化非线性的最优化问题，此外，它还可以用于估计函数的最小值。
最速下降法中的基本概念是梯度和梯度下降。
梯度描述了梯度函数的变化情况，它可以衡量函数值在特定点的变化程度。
如果梯度更大，则说明函数值发生的变化更大。
梯度下降是按照梯度的反方向进行函数的，它的目标是出函数值较小的点，也就是最优解。
最速下降法的两个基本步骤是：
1）当前点求梯度之后，按梯度负方向，沿着函数曲面降低。
2）每次迭代，都是沿着相反于梯度的方向，更新当前点，并继续。
最速下降法的优势在于：它比较简单，实现方便，只需要计算梯度，就可以出最优解；且它不需要考虑约束条件，也不需要研究局部最优点，所以它的速度比较快。
但最速下降法也有一些缺点：它有可能陷入局部最优；它缺乏判断能力，只能当前梯度的方向。
无约束常用优化方法
步长 ，作前进（或后退）试探．如试探成功（目
标函数值有所减小），则按步长序列
，加
大步长（注意每次加大步长都是由初始点算起），直
至试探失败（目标函数值比前一次的有所增加）时，
则取其前一次的步长作为沿这个坐标轴方向搜索的最
优步长，并计算出该方向上的终止点，而后以这个终
止点为始点再进行下一坐标轴方向的搜索，并重复上
处
显然 是二次函数，并且还是正定二次函数，所以 是凸函数且存在唯一全局极小点．为求此极小点，令
即可解得
即
（5.9）
对照基本迭代公式,易知，式（5.9）中的搜索方向
步长因子
方向
是直指点 处近似二次函数
的极小点的方向．此时称此方向为从点 出发的
Newton方向．从初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，
沿Newton方向并取步长 的算法称为Newton法．
另外，共轭梯度法不要求精确的直线搜 索．但是，不精确的直线搜索可能导致迭代 出来的向量不再共轭，从而降低方法的效 能．克服的办法是，重设初始点，即把经过 n次迭代得到的Xn作为初始点重新迭代．
五、坐标轮换法
在坐标轮换法中，沿各个坐标轴方向进行一维搜索
时，常选用最优步长法或加速步长法．加速步长法从
初始点出发，沿搜索（坐标轴）方向先取一个较小的
三、共轭方向法
1、概念
通常，我们把从任意点
出发，依次沿某组共轭
方向进行一维搜索的求解最优化问题的方法，叫做共
轭方向法．
2、特点
• 一般地，在n维空间中可以找出n个互相共轭的方向，对于n元正 定二次函数，从任意初始点出发，顺次沿这n个共轭方向最多作n 次直线搜索就可以求得目标函数的极小点．这就是共轭方向法的 算法形成的基本思想．
无约束优化模型
并行优化算法
并行优化算法概述
并行优化算法是一种将大规模优化问题分解为多个子问题，并在 多个计算节点上并行求解的算法。
并行优化算法的优点
能够利用大规模计算资源和分布式存储技术，加速优化过程，提 高优化效率。
并行优化算法的挑战
详细描述
在工业领域，无约束优化模型被广泛应用于各种生产流 程和工艺参数的优化问题。例如，在能源行业，无约束 优化模型可以用于求解如何最优地分配能源资源，以满 足生产需求的同时最小化能源消耗和成本。此外，无约 束优化模型还可以用于解决工业领域的其他优化问题， 如生产计划、物流配送等。
案例四：生物医学优化问题求解
解决方法
解决多目标优化问题的方法包括构建 Pareto前沿、使用分层或迭代贪婪算法等 。此外，还可以使用元启发式方法，如遗 传算法、模拟退火等，以找到各目标之间 的平衡点。
非凸优化问题
非凸优化问题
非凸优化问题是指目标函数或约束条件不是凸函数的问题。 这类问题通常比凸优化问题更难解决，因为它们可能存在更 多的局部最优解，且可能没有全局最优解。
能源管理
在能源管理方面，无约束优化模型可用于求解最优能源消耗方案，以实现能源成本的最小 化和能源利用效率的最大化。
生物医学优化
医疗资源分配
无约束优化模型可用于医疗资源的优化分配，通过调整医疗资源的分配方案，实 现医疗效率的最大化和医疗成本的最小化。
药物研发
在药物研发方面，无约束优化模型可用于优化药物分子的设计，以实现药物疗效 的最大化和药物副作用的最小化。
理论价值
无约束优化模型在数学理论和计算机科学中具有重要的理论价值，它涉及到 函数分析、微分方程、概率统计等多个领域的知识，是数学建模和计算科学 的重要组成部分。
约束优化方法的讲解
2）按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ，可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值 太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0
优化设计约束优化方法第06章-1
3、压缩
若上述方法均无效，可让复合形各顶点向xL靠拢，即压缩复 合形。
若某顶点压缩后在可行域外，可将其继续向 xL靠拢，直到其 回到可行域。
四、复合形法的迭代步骤
只含反射功能的复合形法迭代步骤为：
1、确定k值，产生初始复合形；
2、比较各顶点，排序； 3、计算除xH外的中心点xC。若可行，则继续，否则则重新 确定设计变量的下限和上限，即a=xL，b=xC，转而重新构造初始 复合形； 4、反射，反复反射，直至成功。 5、收敛条件
一、基本原理
在约束可行域S内选取一个初始点X(0)，在不破坏约束的条件 下以合适的步长 α ，沿 X(0) 点周围几个不同的方向（以某种形式 产生的随机方向）进行若干次探索，并计算各方向上等距离（ 步长α ）点的函数值，找出其中的最小值f(X(l))及点X(l)。 若f（X(l)）＜f（ X(0)），则继续沿方向（ X(l)-X(0)）以适当的 步长 α 向前跨步，得到新点 X(1) ，若 f （ X(1) ） <老 f （ X(l) ），则将 新的起点移至X(1) ，重复前面过程。 d 否则应缩短步长 α，直至取得约束好点。如此循环下去。当 迭代的步长已经很小时，则表明已经逼近约束最优点。达到计 算精度要求时，即可结束迭代计算。 随机方向探索法的一般迭代计算公式为： X(k+1)=X(k)+αd(k) (k=0,1,2,…) 式中α为步长，d(k) 为第k次迭代的可行搜索方向。 可行搜索方向产生的条件.. ..
复合形法例题
二、算法技术
1、随机数的产生 可以利用各种计算机语言的随机函数，也可利用随机数的数学 模型自行产生。 2、初始点的选择 （1）产生一个随机点
0～1之间的随机数
无法人工给出初始点时，可以用随机选择的方法得到。
无约束优化
1. 用黑塞矩阵判断驻点的性质 X 已知函数f(X)的驻点 ，可以利用驻点处的黑塞矩阵来 判断驻点的性质： （1）若 2 f ( X ) 是正定的，则驻点 X 是极小点； 2 （2）若 f ( X ) 是负定的，则驻点 X 是极大点； （3）若 2 f ( X ) 是不定的，则驻点 X 不是极值点； 2 （4）若 f ( X ) 是半定的，则驻点 X 可能是极值点； 也可能不是极值点，视高阶导数情况而定.
4 1 3 2 2 3 2 1 2
2 3
2 4 x13 2 x1 x2 x3 2 2 f ( X ) 6 x2 x1 4 x3 6 x3 4 x2 2 x1 x3
12 x12 2 x2 2 x1 2 x3 2 f ( X ) 2 x1 12 x2 4 2 x3 4 6 2 x 1
无约束优化
标准形式：
其中
X R
min f X n
X R
f : R n R1
X R
max f X = min [ f X ] n n
数学预备知识
1 梯度
定义1 设f(X)是定义在n维欧氏空间的
R n 上的
可微函数，我们称
(
为函数 f(X)在点X处的梯度，记为▽ f(X). 1，梯度方向是函数在点X处增长最快的方向， 负梯度方向是函数在点X处下降最快的方向. 2，梯度的模是函数沿这一方向的变化率.
2 极值点的必要条件和充分条件
n X R 定义1 对于问题（1），设 是任一给定点，P是
是非零向量，若存在一个数 0，使得对于任意 (0, ) 都有 f ( X P) f ( X ) ,则称P是f(X)在 X 处的下降方向.
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f X k ，
若满足，则停止迭代，得点 X * X k ，否则进行⑷； ⑷ 令 S k f X k ，从 X k 出发，沿 S k 进行一维搜索， 即求 k ,使得：
min f X k S k f X k k S k ；
k k T k k k T k f ( f ) G x ( x ) G G k 1 G k k T k (f ) x (x k )T G k x k
k 1
k 1
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k T k k k k T ( f ) H f x ( x ) k 1 k H H 1 k T k k T k ( f ) x ( f ) x x k (f k )T H k H k f k (x k )T (f k )T x k
第6章 无约束最优化
DFP（Davidon-Fletcher-Powell）公式：
k T k k k k T ( X ) G X f ( f ) k 1 k G G 1 k T k k T k ( X ) f ( f ) X f k (X k )T G k G k X k (f k )T (X k )T f k k k T k k k T k X ( X ) H f ( f ) H H k 1 H k k T k (f ) X (f k )T H k f k 1 计算时可置 H I （单位矩阵） ，对于给出的 X 1 利
二次规划 约束极小 （非线性规划） 达到目标问题
s.t. Ax≤b min F(X) s.t. G(X)≤0 min r s.t. F(x)-wr≤goal min max {Fi(x)}
x {F (x)} i
极小极大问题
s.t. G(x)≤0
第6章 无约束最优化
2.优化函数的输入变量
变量
f
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选项中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:
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(1) Display: 显示开关. 取值为 'off ' 时, 不显示输出; 取 值为 'iter' 时, 显示每次迭代的信息; 取值为 'final' 时, 显 示最终结果. 默认值为 'final'. (2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数, 取值 为正整数.
fun
H A,b Aeq,beq
vlb,vub X0 x1,x2 options
除fminbnd外所有优化函数
fminbnd
所有优化函数
第6章 无约束最优化
3.优化函数的输出变量见下表:
变量 x 描 述 由优化函数求得的值.若exitflag>0,则x为 解;否则,x不是最终解,它只是迭代停止时优 化过程的值 解x处的目标函数值 描述退出条件: exitflag>0,表示目标函数收敛于解x处 exitflag=0, 表示已达到函数评价或迭 代的最大次数 exitflag<0,表示目标函数不收敛 包含优化结果信息的输出结构. Iterations:迭代次数 Algorithm:所采用的算法 FuncCount:函数评价次数
第6章 无约束最优化
用MATLAB解无约束优化问题
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1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x) , x1 x x2
常用格式如下： （1）x = fminbnd (fun,x1,x2) （2）x = fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval] = fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag] = fminbnd（…）
第6章 无约束最优化
3. 拟牛顿法
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为克服牛顿法的缺点，同时保持较快收敛速度的优点，利用第 k 步 和第 k+1 步得到的 X k ， X k 1 ， f ( X k ) ， f ( X k 1 ) ，构造一个正定 矩阵 G 近似代替 2 f ( X k ) ,或用 H 牛顿方向改为： 从而得到下降方向.
第6章 无约束最优化
2. 牛顿法算法步骤：
(1) 选定初始点 X R ，给定允许误差 0 ，令 k = 0；
0 n
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(2) 求 f X
, f X
k
2
k
1
.检验：若 f X k ,则
停止迭代, 令X X .否则, 转(3)；
* k
(3) 令 S k [ 2 f X k ]1 f X k （牛顿方向） ； (4) X k 1 X k S k , k k 1 ,转回(2).
4.00 3.39 2.60 1.50 0.98 0.47 0.20 0.05 0.003 1E-4 1E-5
0.9997 0.9998 1E-8
第6章 无约束最优化
无约束优化问题的基本算法
1. 最速下降法(共轭梯度法)算法步骤: 0 n ⑴ 给定初始点 X R ，允许误差 0 ,令 k = 0；
0
⑸ 令 X k 1 X k k S k ，k = k+1 返回⑵.
最速下降法是一种最基本的算法,它在最优化方法中占有重要地位.最速 下降法的优点是工作量小,存储变量较少,初始点要求不高; 缺点是收敛慢， 最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤,当接近极值点时， 宜选用别种收敛快的算法.
（2）options = optimset( 'param1', value1, 'param2', value2, ... )
创建一个名称为选项的优化选项参数, 其中指定的参数具有指定 值, 所有未指定的参数取默认值. (3) options = optimset(oldops, 'param1', value1, 'param2', value2, ... ) 创建名称为oldops的参数的拷贝, 用指定的参数值修改oldops中 相应的参数. 例：opts = optimset( 'Display', 'iter', 'TolFun', 1e-8 ) 该语句创建一个称为选择的优化选项结构, 其中显示参数设为 'iter', TolFun参数设为1e-8.
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用上面的公式进行递推.这种方法称为拟牛顿法.
第6章 无约束最优化
MATLAB优化工具函数极小 无约束极小 线性规划
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模 型 min F(x) s.t. x1<x<x2 min F(X) min c X s.t. AX≤b T T min 1 x Hx+c x
求解的基本思想 ( 以二元函数为例 ) 连 续 可 微
x1
f ( x1 , x2 )
x2
f ( X 0 ) f ( X1 ) f ( X 2 )
X0
O
x2
O
3 5
1
X1
X2
x1
(12周3)
第6章 无约束最优化
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第6章 无约束最优化
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唯一极小 (全局极小)
2 f ( x1, x2 ) 2x12 2x1x2 x2 3x1 x2
f 0 f 0.298 f 0.298
多局部极小
第6章 无约束最优化
搜索过程
7/36
最优点 ( 1 , 1 ) 初始点 ( -1, 1 )
min f ( x1, x2 ) 100( x2 x12 )2 (1 x1 )2
f
x1
-1 -0.79 -0.53
x2
1 0.58
0.23 -0.18 0.00 0.09 -0.03 0.37 0.11 0.59 0.33 0.80 0.63 0.95 0.90 0.99 0.99 0.999 0.998
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无约束最优化问题
1. 求解无约束最优化问题的的基本思想
2. 无约束最优化问题的基本算法*
第6章 无约束最优化
求解无约束最优化问题的基本思想 标准形式:
min f X , n
X R
X R
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其中 f : R R
n
X R
1
max f X = min [ f X ] n n
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调用函数 所有优化函数 linprog,quadprog,fgoalattain, fmincon,fminimax,lsqcurvefit, lsqnonlin, fminbnd
fval
exitflag
output
所有优化函数
第6章 无约束最优化
4．控制参数选项的设置
如果 f 是对称正定矩阵A的二次函数，则用牛顿法，经过一 次迭代就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达 到极值点，但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因 此牛顿法的收敛速度还是很快的. 牛顿法的收敛速度虽然较快,但要求黑塞矩阵可逆,要计算 二阶导数和逆矩阵,就加大了计算机的计算量和存储量.
（5）[x，fval，exitflag，output] = fminbnd（…）
数学建模
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第6章 无约束最优化
第6章 无约束最优化
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实验目的
1.无约束最优化基本算法. 2.掌握用数学软件包求解无约束最优化问题 .
实验内容
1. 无约束优化基本思想及基本算法. 2. MATLAB优化工具箱简介. 3. 用MATLAB求解无约束优化问题. 4. 实验作业.