优化设计有约束优化无约束优化
机械系统优化设计中的约束与优化问题
机械系统优化设计中的约束与优化问题在机械工程领域，优化设计是一项关键任务。
通过对机械系统进行优化，可以提高效率、减小能耗、延长使用寿命等。
然而，在进行机械系统的优化设计时，我们必须面对各种约束和优化问题。
首先，机械系统的约束可以分为两类：设计约束和工程约束。
设计约束包括机械系统的形状、尺寸、重量等方面的限制，以及与其他系统或部件的接口要求。
这些约束是设计者必须遵守的，因为它们直接关系到机械系统的可用性和实际应用。
另一方面，工程约束包括材料强度、制造成本、可维护性等因素。
这些约束是实际工程实施时需要考虑的，因为它们关系到机械系统的可靠性和经济效益。
在优化设计中，我们通常会面临多个冲突的目标。
例如，在减小机械系统的重量的同时，要确保其强度不下降；在提高机械系统的效率的同时，要保持其成本可控。
这就引入了多目标优化问题。
多目标优化问题需要寻找一个最佳的折中方案，将各个目标在不同约束条件下进行优化，以求达到最大化总体效益的目标。
为了解决这些优化问题，我们通常使用数学建模和优化方法。
对于约束问题，我们可以使用约束优化方法，如拉格朗日乘子法和KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入优化问题中，从而将原问题转化为一个无约束问题。
然后，我们可以使用一般的优化算法，如梯度下降、遗传算法等，来解决这个无约束问题。
此外，在实际的机械系统优化设计中，我们还会面临一些实际的限制。
例如，制造设备和制造工艺的限制，材料的可获得性等。
这些实际限制需要考虑在内，以确保设计方案的可行性和可实施性。
另一个重要问题是机械系统的不确定性。
在机械系统的设计过程中，我们通常会面临各种形式的不确定性，如设计参数的不确定性、负载的不确定性等。
这些不确定性会对设计结果产生影响，因此需要在优化设计中进行考虑。
一种常见的方法是使用鲁棒优化方法，通过考虑不确定性的范围和分布，寻找一个鲁棒的设计方案，以确保在不同的不确定条件下系统仍然能够正常工作。
最优化理论与方法
最优化理论与方法
最优化理论与方法是一门涉及在给定约束条件下寻求最佳解的学科。
其应用广泛，可用于解决诸如生产计划、资源分配、网络设计、机器学习等领域中的问题。
最优化问题通常涉及目标函数的最大化或最小化，以及一些约束条件。
最优化理论与方法旨在寻找能够满足约束条件下使目标函数达到极值的解。
最优化问题的解可能是一个点、一条线、一个曲线，甚至可以是一个函数。
最优化方法可以分为两大类：无约束优化方法和有约束优化方法。
无约束优化方法中，最常用的是求解无约束问题的导数为零的点，即寻找目标函数的极值点。
常用的算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
有约束优化问题相对复杂，求解方法依赖于约束条件的类型。
常见的算法有拉格朗日乘子法、KKT条件、线性规划等。
最优化理论与方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化方法来确定最佳的生产量，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配问题中，可以使用最优化方法来确定资源的最佳分配方案，以满足不同的需求。
在机器学习中，最优化方法常用于确定模型的最优参数，以提高模型的准确性和性能。
总之，最优化理论与方法为解决各种实际问题提供了一种有效的数学工具。
通过寻找目标函数的最佳解，可以提高效率、优化资源利用以及加强决策的科学性。
在未来的发展中，最优化
理论与方法将继续发挥重要作用，并在更多领域中得到广泛应用。
第一章 优化设计概述
绪论
二、从传统设计到优化设计：
优化设计与传统设计相比有以下三点特点：
• 设计的思想是最优设计，需要建立一个能够正确 反映实际设计问题的优化数学模型； • 设计的方法是优化方法，一个方案参数的调整是 计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选 出最优方案； • 设计的手段是计算机，由于计算机的运算速度快， 分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒， 因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。
由图中数据得：D*=6.43cm，h*=76cm，在极值点处m*=8.47kg
第一章 优化设计概述
第二节 机械优化设计问题实例
要用薄钢板制造一体积为5m3 的长方形汽车货箱(无上盖), 其长度要求不超过4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?
分析：
（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 （2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3； （3）设计约束条件： （a）体积要求 （b）长度要求
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
F1 F ( B h ) A TDh Fe 2 E (T 2 D 2 ) 钢管的临界应力是 e A 8( B 2 h 2 ) 钢管所受的压应力是
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
一个优化设计问题一般包括三个部分： 1.需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量； 2.需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的 函数，称为目标函数； 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为约束 条件（或称设计约束）。
优化设计的概念和原理
优化设计的概念和原理优化设计的概念和原则概念1前言对于任何设计者来说，其目的都是为了制定最优的设计方案，使所设计的产品或工程设施具有最佳的性能和最低的材料消耗和制造成本，以获得最佳的经济效益和社会效益。
因此，在实际设计中，科技人员往往会先提出几种不同的方案，并通过比较分析来选择最佳方案。
然而，在现实中，由于资金限制，选定的候选方案的数量往往非常有限。
因此，迫切需要一种科学有效的数学方法，于是“优化设计”理论应运而生。
优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的新技术。
这是一种现代设计方法，它根据优化原理和方法将各种因素结合起来，在计算机上以人机合作或“自动探索”的方式进行半自动或自动设计，以选择现有工程条件下的最佳设计方案。
其设计原则是优化设计:设计手段是电子计算机和计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。
本文将简要介绍优化设计中常用的概念，如设计变量、目标函数、约束条件等。
2设计变量设计变量是独立参数，必须在设计过程的最终选择中确定它们是选择过程中的变量，但是一旦确定了变量，设计对象就完全确定了。
优化设计是研究如何合理优化这些设计变量值的现代设计方法。
机械设计中常用的独立参数包括结构的整体构型尺寸、部件的几何尺寸和材料的机械物理性能等。
在这些参数中，根据设计要求可以预先给出的不是设计变量，而是设计常数。
最简单的设计变量是元件尺寸，例如杆元件的长度、横截面积、弯曲元件的惯性矩、板元件的厚度等。
3目标函数目标函数是设计中要达到的目标在优化设计中，所追求的设计目标(最优指标)可以用设计变量的函数来表示。
这个过程被称为建立目标函数。
一般目标函数表示为f(x)=f(xl，xZ，？，x)此功能代表设计的最重要特征，如设计组件的性能、质量或体积以及成本。
最常见的情况是使用质量作为一个函数，因为质量的大小是最容易量化的价值度量。
尽管费用具有更大的实际重要性，但通常需要有足够的数据来构成费用的目标函数。
目标函数是设计变量的标量函数。
约束问题的优化方法
XR
变形的复合形
可行的新点，用新点代替最坏点， 构成新的复合形，复合形的形状 每改变一次，就向最优点移动一
XC
XL
初始复合形
步，直至逼近最优点。从复合形
法工作原理可看出，实现复合形 法最关键的是:构造复合形和复 合形变换等问题。
XH
0
x1
图4-4复合形法的算法原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.3.2 方法实现的关键技术
初始点更优的新点，至此完成一
轮迭代。然后，以新点为新的初
始点，即令 X 0 X 。重复以
0
上过程，经过若干次迭代计算后，
最终取得约束最优解。
X X
X1 X0
x1 图4-1 随机方向法的原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.2.2 方法实现的关键技术
实现随机方向法的关键包括初始点的选择，可行搜方 向的产生和搜索步长的选择等问题。 (1)初始点形成 随机方向法的初始点 X 0必须是一个可行点，即满足全 部不等式约束条件：g j (X 0 ) 0 ( j 1, 2, , m)。当约束条件 较为复杂，用人工不易选择可行初始点时，可用随机 选择的方法来产生。计算随机点的步骤如下： 1）输入设计变量的下限值和上限值，即
式计算随机单位向量 e j
ej
1
rr12jj
1
n
i 1
rij
22
rnj
( j 1, 2, , k)
（4-3）
《车辆优化设计与实践》教学课件
2）取一X 试j 验X步0 长0e0，j 按（4下-4式）计算K个随机点 显然，K个随机点分布在以初始点X 0为中心，以试验 步长 0为半径的超球面上。 3）检验K个随机点X j( j 1, 2, , k)是否为可行点，除 去非可行点，计算余下的可行随机点的目标函数值， 比较其大小，选出目标函数值最小的点 X L。 4）比较X L 和 X 0两点的目标函数值，若 f (X L ) f (X 0 )，则 取X L 和X 0的连线方向 f ( X L ) f ( X 0 ) 作为可行搜索方向 为止。如果缩小到很小（例如 0 106），仍然找不到 一个X L 使 f (X L ) f (X 0 )则说明 X 0 是一个局部极小点，此 时可更换初始点，转步骤1）。
第三章无约束问题的最优化方法
赋以0.618。
2 ,
；并计算其对应
的函数值。 3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的 坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间 中计算一个新的试验点及其函数值。
如果
令 b , , f f 记N0=0； 2 2 1 2 1 如果 ，则新区间＝ ，
2
2
图2-5 黄金分割法
• 黄金分割法要求插入两点： a1 a (1 )(b a), f1 f (a1 )
a2 a (b a), f 2 f (a2 )
黄金分割法的搜索过程：
1）给出初始搜索区间及收敛精度 2）按坐标点计算公式计算 1
，将
在搜索区间内[a,b] 任取两点a1、b1，令f1＝f（a1）， f2＝f（b1） • (1)如f1<f2, 则缩小的新区间为[a,b1]; • (2)如f1>f2, 则缩小的新区间为[a1,b]; • (3)如f1=f2, 则缩小的新区间为[a1,b1]
f(b1) f(a1) f(a1) f(b1) f(a1) f(b1)
a
a1
b
a
a1
b1 b
a
a1
b1
b
§3.2 一维搜索方法
黄金分割法： • 黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对 函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种 方法的适应面相当广。 • 黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法。 • 在搜索区间内[a,b]适当插入两点，将区间分成三段；利用区间消 去法，使搜索区间缩小，通过迭代计算，使搜索区间无限缩小，从而 得到极小点的数值近似解。 •
优化设计总结最终版
15.参数选择的原则？ ①先易后难的原则：先粗后细、精度先低后高，步长先大后小。尤其工程问题，要根据实际 情况判断，合理、适用即可。②参数选择建议通过试算，再确定。 16.表格数据和图像数据的处理？ ①数据是根据公式计算值列成表格的， 则找出原计算公式； ②数据是根据实验测试值列成表 格的，数据有变化规律，则找拟合曲线，转化成公式；③无规律可循的数据，用数组处理。 求图线的拟合方程，步骤如下：①先等间隔等分，按曲线等分点取值，得离散数据； ②拟合曲线，确定多项式方程，尚有代定系数；③代入离散数据求方程系数，最后得到拟合 方程的公式。 17.程序运行过程中出现死机情况的分析及处理 可能出现分母近似为零的现象；可能超出函数可行域，计算溢出；可能有矛盾约束； 可能 模型有不合理的情况等等 运行出现 “无限循环” ：若设计点来回变化，目标函数值忽大忽小，无规律 ，则属于不 收敛。需要更换算法，或完善数学模型。若计算时间很长，仍未收敛，但目标函数还是在下 降，变化极小，几乎不变。则可能步长太小，或精度太高，需要调整 灵敏度问题：有的参数稍一改变，目标函数值发生很大变化，而有的参数怎么改变，目标函 数几乎不变。运行计算中，有的方向需要作规范化 18.确认最优解？ 1、校核和精确性运算：将未列入约束的设计限制条件 ，作校核；试算后的精确性运算：对 初步运算时，未达到的精度或还不很合理的参数，作进一步调整，再次作精确性优化运算。 2、根据工程实际情况，判断确认最优解：3、根据实用性和合理性，判断确认最优解：4、 复核性运算：(变换初始点，作复核性的优化运算;变换参数，再次作复核性的优化运算；变 换算法，再次作复核性的优化运算。) 19.对不合理运行解的处理? ①可能是局部最优解（改变初始点） ；②可能算法运用不当（变化算法的相关参数） ；③可能 算法选择不合适(重新选择算法)④可能数学模型不完全合适(改善、 完善， 甚至重建数学模型)。 三、各种算法逻辑关系 随机方向 直 统 功 协 接 一 效 调 复合形法 解 多目标 目 系 曲 标 数 线 内点惩罚函数 间 函 法 接 数 有约束转化成无约束 外点惩罚函数 解 数 学 混合惩罚函数 解析法 模 单 有约束 型 维 数值迭代 黄金分割 变 量 插值法 单目标 · 坐标 轮 换 无约束 多 维 变 量 共轭 方 向 梯度法 共轭 梯度 牛顿法 变尺度法
工程设计中的优化方法
②目标函数 优化目标为质量最轻。 梁的跨度已知，故可用梁的截面面积作为目 标函数。截面面积之半可近似为
f (X) = x1x3 + x2x4 （忽略了-2x3x4项,厚度的乘积） 使质量最轻就是使f (X)的值最小。
③约束条件 设计的箱形梁需满足一定的强度、 刚度、稳定性以及几何要求。推导得
优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大 值，即
min f (X) 或 max f (X)。
• 用效果函数(如性能指标、利润等)作目标函数，则是求极大值； • 用费用函数(如能源、材料、经费等)作目标函数，则求极小值。
单目标和多目标优化问题
• 单目标优化问题：只包含一个优化目标的问题 • 多目标优化问题：存在两个或两个以上优化目
优化结果：取出三种跨度的优化结果见表5-1。
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
无约束优化方法
无约束优化方法分为解析法和数值计算法两类。
• 解析法 用求导数或变分方法求出极值存在的 必要条件，再求出它们的解析解。然后按照充 分条件或问题的实际物理意义确定最优解。
仅适用于目标函数和约束条件较为简单明确的情况。
• 数值法 利用函数在某一局部区域的性质和一 些己知点的数值，确定下一步的计算点，经过 迭代搜索，最后达到最优点。可解决复杂的优 化设计问题，是优化设计采用的主要方法。
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1.多维有约束优化 题目对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行多维有约束优化设计。
已知条件已知数输入功p=58kw ，输入转速n1=1000r/min ，齿数比u=5，齿轮的许用应力[δ]H=550Mpa ，许用弯曲应力[δ]F=400Mpa 。
建立优化模型1.3.1问题分析及设计变量的确定由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。
由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：]3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.0222122212221222212212122221222120222222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u mz b bd m u mz b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++-----+-=πππππππ式中符号意义由结构图给出，其计算公式为b c d m umz d d d mumz D mz d mz d z z g g 2.0)6.110(25.0,6.110,21022122211=--==-===由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六个参数，则设计变量可取为Tz z T d d lm z bx x x x x x x ][][211654321==1.3.2目标函数的确定根据以上分析，可知，该齿轮减速器以体积最小的目标函数为：min)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(2625262425246316321251261231232123221→++++-+-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f1.3.3 约束条件的建立(1)为避免发生根切，应有min z z ≥17=，得017)(21≤-=x x g(2)齿宽应满足maxmin ϕϕ≤≤d b，min ϕ和max ϕ为齿宽系数d ϕ的最大值和最小值，一般取min ϕ=，max ϕ=，得:04.1))(0)(9.0)(32133212≤-=≤-=x x x x g x x x x g(3)动力传递的齿轮模数应大于2mm ，得02)(34≤-=x x g(4)为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于max 1d ，得0300)(325≤-=x x x g(5)齿轮轴直径的范围：max min z z z d d d ≤≤得0200)(0130)(0150)(0100)(69685756≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x g(6)轴的支撑距离l 按结构关系，应满足条件：l 2min 5.02z d b +∆+≥（可取min ∆=20），得0405.0)(46110≤--+=x x x x g(7)齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(224222321132242223211213211≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x g(8)齿轮轴的最大挠度max δ不大于许用值][δ，得003.0)(04.117)(445324414≤-=x x x x x x g(9)齿轮轴的弯曲应力w δ不大于许用值w ][δ，得5.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(1223246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g优化方法的选择由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab 优化工具箱中的fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。
数学模型的求解 1.5.1 确定数学优化模型将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为： （1）求变量：123456,,,,,x x x x x x（2）目标函数：)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(min 26252642546316321251261231232123221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++-+-+-+=（3）约束条件：0130)(0150)(0100)(0300)(02)(04.1))(0)(9.0)(017)(685756325343213321221≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x x g x x g x x x x g x x x x g x x g003.0)(04.117)(0400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(0405.0)(0200)(4453244142242223211322422232112132114611069≤-=≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=≤--+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x x x g x x x x g x x x x g x x g5.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(1223246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g1.5.2运用Matlab 优化工具箱对数学模型求解（1）首先在Matlab 优化工具箱中编写目标函数的M 文件 ，返回x 处的函数值f ： function f = myfun(x)f=**x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)（2）由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M文件：function[c,ceq]=myobj(x)c=[17-x(2);(1)/(x(2)*x(3));x(1)/(x(2)*x(3));2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x(5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1) +*x(6)-x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-550;7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*+*x(2)*x(2)^2))-400;7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*+*x(2)*x(2)^2))-400;*x(4)^4/(x(2 )*x(3)*x(5)^4)*x(4);(1/(x(5)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+*10^12);(1/(x(6)^3))*sqrt((285000 0*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+6*10^13)];ceq=[];（3）最后求解，调用目标函数和约束条件，用matlab软件中工具箱里的fmincon函数，求解有约束的优化，在command window里输入：x0=[230;21;8;420;120;160];%给定初始值[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@myobj,output) %调用优化过程1. 5.3最优解以及结果分析运行结果如下图所示：x =fval =+007exitflag =-2output =iterations: 43funcCount: 563lssteplength: 1stepsize:algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'firstorderopt: +007constrviolation:message: [1x750 char]故优化后的最终结果为x=[ ]f(x)=*107由于齿轮模数应为标准值，齿数必须为整数，其它参数也要进行圆整，所以最优解不能直接采用，按设计规范，经标准化和圆整后： x=[124 100 2 148 150 130] f(x)= *107 结果对比分析：若按初始值减速器的体积V 大约为×107mm 3，而优化后的体积V 则为×107mm 3，优化结果比初始值体积减少为：ΔV ＝1－×107/×107)×100%＝%所以优化后的体积比未优化前减少了%，说明优化结果相对比较成功。
2.多维无约束优化在机械设计问题中，难以避免生产，加工，装配，经济性等问题，故少有无约束优化设计问题。
在本次试验中，针对一个管道流量问题的二维函数，设计了一个非线性无约束优化设计问题，并加以求解。