概率论与数理统计课件D随机事件及其概率
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随机事件及其概率PPT资料54页
12.11.2019
例7 从一工厂的某种产品中抽出n件产 品，观察次品个数。
0,1, ,n
例8 从包含两件次品（记作 a 1 , a 2 ）和三
件正品（记作 b1 , b2 , b3 ）的五件产品
中，任取两件产品。
((a a1 2,,a b2 2)),,((a a1 2,,b b 1 3 )),,((a b 1 1 ,,b b 2 2)),,((a b 1 2 ,,b b 3 3 )),,((a b 2 1,,b b 1 3)),
A 0 =“没有抽到次品”
{ (b 1 ,b 2),(b 2,b 3),(b 1 ,b 3)}
12.11.2019
A 1 =“抽到一个次品”
((aa12,,bb11)),,((aa12,,bb22)),,((aa12,,bb33)),
A 2 =“抽到两个次品”
{(a1,a2)}
12.11.2019
C
2 5
10
(a1,a2),(a2,a1),(a1,b1),(b1,a1),(a1,b2), ((ba22,,ab12)),,((ab12,,ba32)),,((ba32,,ab13),)(,(ab23,,ba1)2,)(,b(1b,1a,b22),),
(b2,b1),(b2,b3),(b3,b2),(b1,b3),(b3,b1)
12.11.2019
例9 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 பைடு நூலகம்目标的距离。
dd0[0, )
例10 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 的分布情况。
( x ,y ) x , y R 2
例3 抛一枚硬币。 例4 从一工厂的某种产品中抽出n件产品， 观察次品个数。
例7 从一工厂的某种产品中抽出n件产 品，观察次品个数。
0,1, ,n
例8 从包含两件次品（记作 a 1 , a 2 ）和三
件正品（记作 b1 , b2 , b3 ）的五件产品
中，任取两件产品。
((a a1 2,,a b2 2)),,((a a1 2,,b b 1 3 )),,((a b 1 1 ,,b b 2 2)),,((a b 1 2 ,,b b 3 3 )),,((a b 2 1,,b b 1 3)),
A 0 =“没有抽到次品”
{ (b 1 ,b 2),(b 2,b 3),(b 1 ,b 3)}
12.11.2019
A 1 =“抽到一个次品”
((aa12,,bb11)),,((aa12,,bb22)),,((aa12,,bb33)),
A 2 =“抽到两个次品”
{(a1,a2)}
12.11.2019
C
2 5
10
(a1,a2),(a2,a1),(a1,b1),(b1,a1),(a1,b2), ((ba22,,ab12)),,((ab12,,ba32)),,((ba32,,ab13),)(,(ab23,,ba1)2,)(,b(1b,1a,b22),),
(b2,b1),(b2,b3),(b3,b2),(b1,b3),(b3,b1)
12.11.2019
例9 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 பைடு நூலகம்目标的距离。
dd0[0, )
例10 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 的分布情况。
( x ,y ) x , y R 2
例3 抛一枚硬币。 例4 从一工厂的某种产品中抽出n件产品， 观察次品个数。
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
第一章--随机事件及其概率PPT课件
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结8束
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生
也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规 律性).
或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题 用大写 A,字 B,C母 ,表.示
随机事件 事件 必然事件 (记作U)
概率论与数理统计
主编：刘韶跃 李以泉 丁碧文 杨湘桃
湘潭大学出版社
概率论与数理统计教程（第四版）
.
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结1束
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的 概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一 扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打 开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽 车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打 开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊， 他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号 门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一 个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你 是坚持1号门还是改选2号门？
个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌
若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归
胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的
时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合
理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、
天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息
论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应
用都非常广泛。
概率论与数理统计教程（第四版）
设随机 A在 n次 事试 件验m 中 次 ,则 发比 生
m称为随机事 A的件 相对频率(简称频率). n
《随机事件及其概率》课件
数据的意义
理解概率的概念有助于更好地解释和分析 数据。
《随机事件及其概率》 PPT课件
欢迎来到《随机事件及其概率》PPT课件。在本课程中，我们将探讨随机事件 的定义、概率的定义以及应用方法。让我们开始这场令人兴奋的旅程吧！
概述
在本节中，我们将概述随机事件及其相关概率概念。
1 随机事件
2 概率
了解随机事件的定义，以及如何区分随 机事件和确定性事件。
探索概率的定义，以及如何计算和解释 概率。
金融市场
了解在金融市场中如何利用 概率理论进行投资决策。
天气预报
深入研究如何利用概率模型 提高天气预报的准确性。
总结
在本课件中，我们深入学习了随机事件及其概率的定义、基本原理、计算方法以及应用举例。通 过这些知识，我们可以更好地理解和处理各种随于实际问题，提高问题解 决能力。
基本原理
在本节中，我们将介绍随机事件的基本原理。
1
事件的发生
2
深入研究事件的发生概率，以及如
何使用概率分布图表示。
3
样本空间
了解样本空间的概念，以及如何确 定特定事件的样本空间。
事件的独立性
探讨事件的独立性原则，以及如何 计算多个独立事件的联合概率。
计算方法
在本节中，我们将学习计算随机事件概率的方法。
频率法
了解使用频率法计算概率 的步骤和原理。
古典概型法
探索使用古典概型法计算 概率的方法和案例。
条件概率法
深入了解使用条件概率法 计算概率的原理和实际应 用。
应用举例
在本节中，我们将通过实际应用案例来展示随机事件及其概率的应用。
数据分析
探索如何使用随机事件及其 概率在数据分析过程中做出 准确的推断。
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
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3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计教程ppt课件
1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
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第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
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1.1.3 随机事件
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
东华大学《概率论与数理统计》课件 第一章 随机事件与概率
(2) P(S)＝1;
(3) 设A1，A何2，…时,P是(A一|列B两)两<互P不(A相)容? 的事件，即AiAj＝
，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两 色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足 条件：
(1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 规范性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
教材：
《概率论与数理统计》
魏宗舒编
高等教育出版社
本章主要内容：
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形 ；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有
(3) 设A1，A何2，…时,P是(A一|列B两)两<互P不(A相)容? 的事件，即AiAj＝
，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两 色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足 条件：
(1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 规范性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
教材：
《概率论与数理统计》
魏宗舒编
高等教育出版社
本章主要内容：
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形 ；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有
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7
例1
甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别 为0.9,0.8及0.85. 求在这段时间内有机床需要 工人照管的概率以及机床因无人照管而停工 的概率.
8
例1
(1) P( ABC) 1 P( ABC) 1 P( A)P(B)P(C) 1 0.9 0.8 0.85 0.388
10
例2
若例1中的3部机床性能相同, 即设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8
求: (1)这段时间内恰有一部机床需人照管的概率. (2)这段时间内恰有两部机床需人照管的概率.
11
例2
解答:
(1) P(E) C31 0.2 0.82 3 0.128 0.384
(2) P(F ) C32 0.22 0.8 3 0.04 0.8 0.096
17
贝努里定理:
如果事件A在每次试验中发生的概率都是 p(0<p<1), 则在n重贝努里试验事件A恰好发 生k次的概率为:
P( A) Cnk pk qnk
(q 1 p)
18
例4
一条自动生产线上产品的优质品率为0.6, 现 检查了10件,求至少有两件优质品的概率. 解:
P( A) 1 0.410 C110 0.6 0.49 0.998
随机事件及其概率Ⅴ
独立事件的概念 独立试验序列 n重贝努里试验概率模型 互不相容（互斥）与相互独立的关系， 在互斥和相互独立条件下，加法法则与乘法 法则的表现形式。
1
事件的独立性:
如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的 影响, 即P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称事 件A与事件B相互独立,简称事件A与B独立.
2
事件的独立性:
可以证明:
(1)事件A与事件B独立的充要条件是:
P(AB)=P(A)P(B) (2)若事件A与B独立,则事件A与B, A与B, A与B 也相互独立.
3
事件的独立性:
推广: 如果n (n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一
个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事
件发生与否的影响, 则称A1,A2,…,An相互独立.
(2) P(A B A C B C ) P(A B) P(A C ) P(B C ) 2P(A B C ) P( A)P(B ) P( A)P(C ) P(B )P(C ) 2P( A)P(B )P(C ) 0.1 0.2 0.1 0.15 0.2 0.15 2 0.1 0.2 0.15 0.059
-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
6
特别提醒:
例如, 常见的求AB+CD+EF的概率, 则 P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-
P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF) 如果A,B,C,D,E,F相互之间独立, 则上式中的各个交事
件的概率再变成各概率之积.
独立试验序列概型
在概率论中, 我们称在同样条件下重复进行 试验的数学模型为独立试验序列概型. 进行n次试验,若任何一次试验中各结果发生 的可能性都不受其它各次试验结果发生情况 的影响,则称这n次试验是相互独立的.
16
贝努里试验:
如果在每次试验中某事件A或者发生,或者不 发生,且每次试验的结果与其它各次试验结果 无关,即在每次试验中事件A发生的概率都是 p(0<p<1), 这样的试验我们称为贝努里试验. 如果重复进行n次, 则称为n重贝努里试验.
1 P( A1)P( A2 )P( An )
5
特别提醒:
(2)但是, 经常有的难题要求求某些独立事件的 交了再并的概率, 这时候不得不套用广义加法 法则, 尤其常用的是三个事件的并的加法法则
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- P(AC)-P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)- P(A)P(C)
12
例3
如图所示, 开关电路中开关a, b, c, d开或关的概率都是
0.5, 且各开关是否关闭相互独立. 求灯亮的概率以及若
已见灯亮, 开关a与b同时关闭的概率
a
b
c
d
13
例3
解: 令事件
A,B,C,D分别
表示开关
a,b,c,d关闭, E
表示灯亮, 则
E=AB+C+D
a
b
c
d
14
例3
P(E)=P(AB+C+D) =P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD) -P(CD)+P(ABCD)
9
例1
第二个问题也可以用对立事件来做,机床因无人照管 而停工的对立事件是，最多有一台机床需要照管，因 此其概率为：
1 P( ABC ABC ABC ABC)
1[P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)]
1 (0.9 0.8 0.85 0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15) 0.059
19
98年经济类考研题1
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛, 已知甲的命中率 为0.9, 乙的命中率为0.8, 丙的命中率为0.7, 现每 人各投一次, 求: (1)三人中至少有两人投进的概率; (2)三人中至多有两人投进的概率.
20
98年经济类考研题1
解: 设A="甲投进", B="乙投进", C="丙投进" 则三人中至少两人投中的事ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 AB+AC+BC
当然,若A1,A2,…,An相互独立, 则有 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P (An)
4
特别提醒:
(1)如果是要求多个相互独立的事件的并的概 率, 则应当利用狄.摩根定理将事件的并转换 为事件的交, 也就是考虑事件的逆的概率.即
P(A B) 1 P(A B) 1 P(A)P(B) P( A1 A2 An ) 1 P( A1A2 An )
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54 =0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)=0.25/0.815=0.3077
15
三人中至多有两人投进的事件为 ABC
例1
甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别 为0.9,0.8及0.85. 求在这段时间内有机床需要 工人照管的概率以及机床因无人照管而停工 的概率.
8
例1
(1) P( ABC) 1 P( ABC) 1 P( A)P(B)P(C) 1 0.9 0.8 0.85 0.388
10
例2
若例1中的3部机床性能相同, 即设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8
求: (1)这段时间内恰有一部机床需人照管的概率. (2)这段时间内恰有两部机床需人照管的概率.
11
例2
解答:
(1) P(E) C31 0.2 0.82 3 0.128 0.384
(2) P(F ) C32 0.22 0.8 3 0.04 0.8 0.096
17
贝努里定理:
如果事件A在每次试验中发生的概率都是 p(0<p<1), 则在n重贝努里试验事件A恰好发 生k次的概率为:
P( A) Cnk pk qnk
(q 1 p)
18
例4
一条自动生产线上产品的优质品率为0.6, 现 检查了10件,求至少有两件优质品的概率. 解:
P( A) 1 0.410 C110 0.6 0.49 0.998
随机事件及其概率Ⅴ
独立事件的概念 独立试验序列 n重贝努里试验概率模型 互不相容（互斥）与相互独立的关系， 在互斥和相互独立条件下，加法法则与乘法 法则的表现形式。
1
事件的独立性:
如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的 影响, 即P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称事 件A与事件B相互独立,简称事件A与B独立.
2
事件的独立性:
可以证明:
(1)事件A与事件B独立的充要条件是:
P(AB)=P(A)P(B) (2)若事件A与B独立,则事件A与B, A与B, A与B 也相互独立.
3
事件的独立性:
推广: 如果n (n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一
个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事
件发生与否的影响, 则称A1,A2,…,An相互独立.
(2) P(A B A C B C ) P(A B) P(A C ) P(B C ) 2P(A B C ) P( A)P(B ) P( A)P(C ) P(B )P(C ) 2P( A)P(B )P(C ) 0.1 0.2 0.1 0.15 0.2 0.15 2 0.1 0.2 0.15 0.059
-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
6
特别提醒:
例如, 常见的求AB+CD+EF的概率, 则 P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-
P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF) 如果A,B,C,D,E,F相互之间独立, 则上式中的各个交事
件的概率再变成各概率之积.
独立试验序列概型
在概率论中, 我们称在同样条件下重复进行 试验的数学模型为独立试验序列概型. 进行n次试验,若任何一次试验中各结果发生 的可能性都不受其它各次试验结果发生情况 的影响,则称这n次试验是相互独立的.
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贝努里试验:
如果在每次试验中某事件A或者发生,或者不 发生,且每次试验的结果与其它各次试验结果 无关,即在每次试验中事件A发生的概率都是 p(0<p<1), 这样的试验我们称为贝努里试验. 如果重复进行n次, 则称为n重贝努里试验.
1 P( A1)P( A2 )P( An )
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特别提醒:
(2)但是, 经常有的难题要求求某些独立事件的 交了再并的概率, 这时候不得不套用广义加法 法则, 尤其常用的是三个事件的并的加法法则
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- P(AC)-P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)- P(A)P(C)
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例3
如图所示, 开关电路中开关a, b, c, d开或关的概率都是
0.5, 且各开关是否关闭相互独立. 求灯亮的概率以及若
已见灯亮, 开关a与b同时关闭的概率
a
b
c
d
13
例3
解: 令事件
A,B,C,D分别
表示开关
a,b,c,d关闭, E
表示灯亮, 则
E=AB+C+D
a
b
c
d
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例3
P(E)=P(AB+C+D) =P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD) -P(CD)+P(ABCD)
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例1
第二个问题也可以用对立事件来做,机床因无人照管 而停工的对立事件是，最多有一台机床需要照管，因 此其概率为：
1 P( ABC ABC ABC ABC)
1[P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)]
1 (0.9 0.8 0.85 0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15) 0.059
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98年经济类考研题1
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛, 已知甲的命中率 为0.9, 乙的命中率为0.8, 丙的命中率为0.7, 现每 人各投一次, 求: (1)三人中至少有两人投进的概率; (2)三人中至多有两人投进的概率.
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98年经济类考研题1
解: 设A="甲投进", B="乙投进", C="丙投进" 则三人中至少两人投中的事ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 AB+AC+BC
当然,若A1,A2,…,An相互独立, 则有 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P (An)
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特别提醒:
(1)如果是要求多个相互独立的事件的并的概 率, 则应当利用狄.摩根定理将事件的并转换 为事件的交, 也就是考虑事件的逆的概率.即
P(A B) 1 P(A B) 1 P(A)P(B) P( A1 A2 An ) 1 P( A1A2 An )
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54 =0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)=0.25/0.815=0.3077
15
三人中至多有两人投进的事件为 ABC