【精品】2017年河南省南阳一中高考数学四模试卷(文科)含答案

2017年河南省南阳一中高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B等于（）A．（2，12）B．（2，3） C．（﹣1，3）D．（﹣1，12）2．（5分）复数z=（其中i是虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的32所学校进行抽样调查；将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是（）A．2 B．1 C．4 D．34．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（2，3），且，则λ=（）A．B．C．D．5．（5分）已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称7．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2 C．D．88．（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为a（若两数相等，则取该数），平均数为b，则事件“a﹣b=1”发生的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=（x﹣）sinx的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=x+y的最小值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣311．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP 的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）数列{a n}满足a1=，且对任意n∈N*，a n+1=a n2+a n，c n=，数列{c n}的前n项和为S n，则S2017的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出i的值是4时，输入的整数n的最大值是．14．（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，设过点F的直线l交抛物线与A，B两点，且，则|BF|=．15．（5分）设函数，若f（x）在区间[m，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m的取值范围为．16．（5分）球O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，AB=2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB （1）求角B的大小（2）若b=3，sinC=2sinA，求a、c的值及△ABC的面积．18．（12分）如图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：（Ⅰ）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；（Ⅱ）研究人员发现，空气质量指数测评中PM2.5与燃烧排放的CO两个项目存在线性相关关系，以100ug/m3为单位，如表给出PM2.5与CO的相关数据：求y关于x的回归方程，并估计当CO排放量是200ug/m3时，PM2.5的值．（用最小二乘法求回归方程的系数是）19．（12分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率不为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数．（1）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（2）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ=，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（2）若用（）代换曲线C2的普通方程中的（x，y）得到曲线C3的方程，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．2017年河南省南阳一中高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B等于（）A．（2，12）B．（2，3） C．（﹣1，3）D．（﹣1，12）【解答】解：由A中的不等式变形得：lg（x﹣2）＜1=lg10，即0＜x﹣2＜10，解得：2＜x＜12，即A=（2，12）；由B中的不等式变形得：2﹣1=＜2x＜8=23，即﹣1＜x＜3，∴B=（﹣1，3），则A∩B=（2，3）．故选：B．2．（5分）复数z=（其中i是虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵z==，∴复数z=的虚部为．故选：C．3．（5分）某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的32所学校进行抽样调查；将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是（）A．2 B．1 C．4 D．3【解答】解：根据系统抽样法，总体分成8组，组距为=4，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是3．故选：D．4．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（2，3），且，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：=（2，1），+λ=（1+3λ，1+2λ）．∵，∴•（+λ）=2（1+3λ）+1+2λ=0，解得λ=．故选：B．5．（5分）已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）﹣，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=﹣=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）﹣为增函数，故C不正确，故选：D．7．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2 C．D．8【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选：D．8．（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为a（若两数相等，则取该数），平均数为b，则事件“a﹣b=1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为a（若两数相等，则取该数），平均数为b，基本事件总数n=4×4=16，事件“a﹣b=1“包含的基本事件有：（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），共有4个，∴事件“a﹣b=1”发生的概率为p==．故选：B．9．（5分）函数y=（x﹣）sinx的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数是偶函数，当x∈（0，1）时，y＜0，且x=1是函数的零点，A、B、C均不符，只有D符合．故选：D．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=x+y的最小值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（，﹣），同时B也在直线3x﹣y﹣a=0上，即3×﹣（﹣）﹣a=0．则a=2．故选：A．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP 的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为﹣1的直线l方程为y=c﹣x ∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限∴为解得P（，）∵△OFP的面积为，∴•c•=整理得a=3b∴该双曲线的离心率为==故选：C．12．（5分）数列{a n}满足a1=，且对任意n∈N*，a n+1=a n2+a n，c n=，数列{c n}的前n项和为S n，则S2017的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．4=+a n，a1=，∴a n+1＞a n．【解答】解：∵a n+1∴a2=+=，a3=+=，a4=+=＞1．∴n≥4时，∈（0，1）．=+a n，∴=﹣，可得：=﹣，∵a n+1∴c n=﹣，∴数列{c n}的前n项和S n=++…+=﹣．∴S2017=﹣=3﹣∈（2，3）．其整数部分为2．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出i的值是4时，输入的整数n的最大值是23．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，T=1，i=1S=1≤n，T=2，S=3，i=2S=5≤n，T=4，S=9，i=3S=12≤n，T=8，S=n，i=4S=24＞n，输出i=4，故输入的整数n的最大值是23．故答案为：23．14．（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，设过点F的直线l交抛物线与A，B两点，且，则|BF|=4．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴+==1，又由，可得，则|BF|=4．．故答案为：415．（5分）设函数，若f（x）在区间[m，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m的取值范围为[﹣8，﹣1] ．【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得当m∈[﹣8，﹣1]时，f（x）∈[﹣1，2]．故答案为：[﹣8，﹣1]．16．（5分）球O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，AB=2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．【解答】解：连结OE，OF，取EF的中点M，连结OM．∵O是正方体的中心，E，F是AD，CC1的中点，∴OE=OF=，∴OM⊥EF．又EF==，∴OM==．∵球O的半径为r=1，∴EF被球O截得弦长为2=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB （1）求角B的大小（2）若b=3，sinC=2sinA，求a、c的值及△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由及正弦定理得：．∵sinA≠0，∴，而B∈（0，π），故．…（6分）（2）由sinC=2sinA及，得c=2a，①．又b=3，由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得9=a 2+c 2﹣ac ，② 由①②得，∴△ABC的面积．…（12分）18．（12分）如图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：（Ⅰ）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；（Ⅱ）研究人员发现，空气质量指数测评中PM2.5与燃烧排放的CO 两个项目存在线性相关关系，以100ug/m 3为单位，如表给出PM2.5与CO 的相关数据：求y关于x的回归方程，并估计当CO排放量是200ug/m3时，PM2.5的值．（用最小二乘法求回归方程的系数是）【解答】解：（Ⅰ）由折线图知空气质量指数分别为（0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的频数分别为2，16，8，2，∴各组对应的频率分布为，，，；∴各小矩形的高分别为，，，；补全频率分布直方图，如图所示：利用频率分布直方图，计算空气质量指数监测数据的平均数值为：×25+×75+×125+×175≈92.9；（Ⅱ）根据表中数据，计算=×（0.5+1+1.5）=1，=×（1+2+4）=，x i y i=0.5+2+6=8.5，=0.25+1+2.25=3.5，∴回归方程的系数为==3，=﹣=﹣3×1=﹣，∴y关于x的回归方程是=3x﹣，∴x=2时，=3×2﹣=；即估计当CO排放量是200ug/m3时，PM2.5的值为×100ug/m3．19．（12分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC．…（1分）又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…（2分）因为DE∩BD=D…（3分）由线面垂直的判定定理可得：AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，所以OG∥DE，且OG=DE，因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，AF=OG，所以，OG∥，且OG=．…（5分）因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF=OG，且AF∥OG…（6分）故可得四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO．…（7分）因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，…（8分）所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（9分）（Ⅲ）解：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AB因为正方形ABCD中，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．…（11分）因为AF∥DE，DE=DA=2AF=2，所以△DEF的面积为，所以四面体BDEF的体积==．…（14分）20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率不为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=，x1•x2=，设弦AB的中点为P（x P，y P），则x P=，y P=k（x P﹣1）=，则l PQ：（y+）=﹣（x﹣），令x=0，有y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；（Ⅲ）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．21．（12分）设函数．（1）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（2）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴φ（x）=f（x）+g（x）=+ax﹣3，x＞0，∴φ′（x）===，（x＞0）．①当a＞1时，由φ′（x）＞0，得x＞；②当a=1时，由φ′（x）＞0，得x＞0；③当0＜a＜1时，由φ′（x）＞0，得x＞0．综上所述，当0＜a≤1时，φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间是（0，+∞），当a＞1时，φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）当a=1时，f（x）=lnx，g（x）=x﹣3，h（x）=（x﹣3）lnx，∴单调递增，，＞0，∴存在唯一的，使得，即，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，∴h min（x）=h（x0）=（x0﹣3）lnx0=（x0﹣3）（）=﹣=6﹣（x0+），记函数r（x）=6﹣（x+），则r（x）在（，2）上单调递增，∴r（）＜h（x0）＜r（2），即h（x0）∈（﹣），由2，且λ为整数，得λ≥0，∴存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ=，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（2）若用（）代换曲线C2的普通方程中的（x，y）得到曲线C3的方程，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．【解答】解：（1）∵C1的极坐标方程是ρ=，∴4ρcosθ+3ρsinθ=11，整理得：4x+3y﹣24=0，∴C1的直角坐标方程是：4x+3y﹣24=0；曲线C2：，∴x2+y2=1，故C2的普通方程是：x2+y2=1；（2）用（）代换曲线C2的普通方程中的（x，y），得到曲线C3的方程为：+=1，则曲线C3的参数方程是：，设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离是：d===，当sin（α+θ）=1时，d有最小值，故|MN|的最小值是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f（x）在是减函数，在是增函数；∴当x=时，f（x）取最小值=．（2）由（1）知，f（x）的最小值为，∴=2，∵m，n∈R+，，（当且仅当，即m=1，n=2时，取等号），∴的最小值为2．赠送—高考物理解答题规范化要求物理计算题可以综合地考查学生的知识和能力，在高考物理试题中，计算题在物理部分中的所占的比分很大(60%)，单题的分值也很高。